我们为什么要研究动物种群?gydF4y2Ba

科学家需要收集信息，这样他们才能了解如何保护环境和生活在那里的动物。科学家有时用数学来检验他们关于动物的理论，甚至试图预测未来!这就是所谓的数学建模。模拟捕食者和猎物之间的关系有助于科学家了解它们的种群是如何随着时间的推移而变化的，它可以让科学家知道一种动物何时可能面临灭绝的风险。为了建立一个成功的数学模型，我们需要从环境中收集数据。在这篇论文中，我们将展示一些基本的数学，如加法、减法和乘法，可以用来模拟在野外看到的捕食者-猎物关系。gydF4y2Ba

首先，我们需要数据!gydF4y2Ba

好的模型始于好的数据。为了模拟捕食者-猎物关系，我们将使用一家公司收集的种群数据(动物数量的记录)，该公司在19世纪和20世纪为获取捕食者和猎物的皮毛而猎杀它们。哈德逊湾公司每年都会记录他们收集到的雪山猫和雪靴兔皮毛的数量。gydF4y2Ba图1gydF4y2Ba显示该公司野兔和山猫皮毛数量的数据。收集到的野兔或山猫皮毛的数量告诉我们每种动物的种群水平，并能让我们对捕食者-猎物关系有一个合理的了解。数据显示，在某些年份，如1927年，猞猁(捕食者)更多，野兔(猎物)更少，而在其他年份，如1932年，野兔更多，猞猁更少。gydF4y2Ba

哈德逊湾的数据告诉我们什么?gydF4y2Ba

随着时间的推移，有记录的野兔和猞猁数量的上升和下降表明，这两种动物之间存在某种关系，这是有道理的，因为我们知道猞猁吃野兔。在gydF4y2Ba图1gydF4y2Ba，你能看到猞猁和野兔的数量几乎同时下降和上升吗?猞猁越多，它们吃的野兔就越多，野兔的数量就会减少。当野兔数量减少时，猞猁的食物就会减少，从而导致猞猁数量的减少。当猞猁的数量减少时，野兔的数量又会增加，这样的上升-下降循环继续下去。如果捕食者和被捕食者的数量是平衡的，它们会随着时间的推移而上升和下降，在生命的循环中相互追逐。数学家问的问题是:“我能用加法、减法和乘法来解释这个吗?我能预测未来的人口吗?”gydF4y2Ba

解释与数学模型的关系gydF4y2Ba

数学家使用gydF4y2Ba微分方程gydF4y2Ba用数据来描述他们在世界上看到的东西。捕食者与猎物的关系是由两位名叫洛特卡[Lotka]的科学家首次用微分方程描述的。gydF4y2Ba1gydF4y2Ba]和Volterra [gydF4y2Ba2gydF4y2Ba］．他们想用数学来解释在一般的捕食者-猎物关系中观察到的上升和下降。gydF4y2Ba

这些方程有时看起来非常复杂，但它们只是一种描述人口如何以及为什么变化的方法。著名数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler, 1707-1783)指出，微分方程可以写成加号和减号，再加一点乘法。利用哈德逊湾公司的数据，可以用微分方程来模拟猞猁(捕食者)和野兔(猎物)的数量。我们用数学方法拟合原始数据[gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba),gydF4y2Ba估计gydF4y2Ba的值gydF4y2Ba增长速度gydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Ba_{增长gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba_，gydF4y2Ba死亡率gydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Ba_{死亡gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba_，gydF4y2Ba吃的速度gydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Ba_吃gydF4y2Ba）gydF4y2Ba_，gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba食物率gydF4y2Ba(右gydF4y2Ba_{食物gydF4y2Ba})，我们将用它来预测野兔和猞猁的数量。gydF4y2Ba

雪鞋兔种群建模gydF4y2Ba

数学家在提出方程时，会考虑整个世界。现在，让我们想想野兔种群随着时间的推移发生了什么。如果没有猞猁，那么未来野兔的数量，HgydF4y2Ba_FgydF4y2Ba，将等于当前野兔数量HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba，加上出生率，减去死亡率。我们称这个为增长率rgydF4y2Ba_{增长gydF4y2Ba}．出生和死亡的数量取决于现在活着的野兔的数量，所以我们乘以rgydF4y2Ba_{增长gydF4y2Ba}通过HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba（gydF4y2Ba图2)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

让我们用哈德逊湾的数据来计算这个等式。当数据开始于1895年时，野兔的数量是85，所以我们让HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba= 85只野兔。野兔种群的增长率是rgydF4y2Ba_{ggydF4y2BargydF4y2BaogydF4y2BawgydF4y2BatgydF4y2BahgydF4y2Ba}= 0.9。自rgydF4y2Ba_{增长gydF4y2Ba}是积极的，我们预计未来人口会增长。这就得到了未来野兔种群HgydF4y2Ba_FgydF4y2Ba1896年:gydF4y2Ba

HgydF4y2Ba_{F =gydF4y2Ba}HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba+ (rgydF4y2Ba_{增长gydF4y2Ba}×HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba), HgydF4y2Ba_FgydF4y2Ba= 85 + (0.9 × 85) =161.5。gydF4y2Ba

我们预测未来野兔的数量为161.5只。如果人口继续增长，整个世界将被野兔覆盖，这被称为gydF4y2Ba指数级增长gydF4y2Ba（gydF4y2Ba图2一个gydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

模拟雪山猫种群gydF4y2Ba

接下来，让我们考虑一下随着时间的推移，猞猁种群发生了什么变化。如果没有野兔，猞猁就没有食物，因此猞猁的数量就会下降。为了建立模型，我们使用减法。未来猞猁的数量(LgydF4y2Ba_FgydF4y2Ba)等于目前猞猁的数量(LgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba)减去死亡率rgydF4y2Ba_{dgydF4y2BaegydF4y2Ba一个gydF4y2BatgydF4y2BahgydF4y2Ba}，乘以猞猁的数量(gydF4y2Ba图2 bgydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

1895年山猫的数量是51只，通过拟合数据，我们将死亡率设为rgydF4y2Ba_{死亡gydF4y2Ba}= 0.25。现在方程给出:gydF4y2Ba

lgydF4y2Ba_FgydF4y2BaL =gydF4y2Ba_CgydF4y2Ba- (rgydF4y2Ba_{死亡gydF4y2Ba}×LgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba)，gydF4y2Ba

lgydF4y2Ba_FgydF4y2Ba= 51 - (0.25 × 51) = 38.25。gydF4y2Ba

根据我们的计算，1896年猞猁的数量将达到38.25只。这就是所谓的指数下降，如果这种情况持续下去，猞猁将不复存在(gydF4y2Ba图2 bgydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

模拟野兔和山猫的互动gydF4y2Ba

兔子的数量增加了，而猞猁的数量减少了。我们知道这些种群之间是如何相互作用的吗?山猫吃野兔，因此野兔数量减少;因此，我们使用减法来建模。我们需要一个关于进食速率的术语，rgydF4y2Ba_吃gydF4y2Ba这取决于目前山猫和野兔的数量，它们既可以吃也可以被吃。我们乘以rgydF4y2Ba_吃gydF4y2Ba由LgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba和HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

同样的逻辑，野兔也是猞猁的食物来源，所以我们在猞猁方程中使用加法，用当前野兔数量乘以当前猞猁数量乘以食物速率rgydF4y2Ba_{食物gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba图2 cgydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

H的值gydF4y2Ba_CgydF4y2Ba= 85只野兔，rgydF4y2Ba_{增长gydF4y2Ba}= 0.9, lgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba= 51只猞猁，rgydF4y2Ba_{死亡gydF4y2Ba}= 0.25不变。从数据中，我们得到r的进食率gydF4y2Ba_吃gydF4y2Ba= 0.024，进食率为rgydF4y2Ba_{食物gydF4y2Ba}= 0.005。将这些数字代入预测未来野兔数量的方程，得到:gydF4y2Ba

HgydF4y2Ba_FgydF4y2Ba= HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba+ (rgydF4y2Ba_{增长gydF4y2Ba}×HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba) - (rgydF4y2Ba_吃gydF4y2Ba×LgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba×HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba)，gydF4y2Ba

HgydF4y2Ba_FgydF4y2Ba= 85 + (0.9 × 85) - (0.024 × 85 × 51) = 59.24，gydF4y2Ba

预测未来猞猁数量的公式现在给出了:gydF4y2Ba

lgydF4y2Ba_FgydF4y2BaL =gydF4y2Ba_CgydF4y2Ba- (rgydF4y2Ba_{死亡gydF4y2Ba}×LgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba+ (rgydF4y2Ba_{食物gydF4y2Ba}×LgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba×HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba)，gydF4y2Ba

lgydF4y2Ba_FgydF4y2Ba= 51 - (0.25 × 51) + (0.005 × 51 × 85) = 59.925。gydF4y2Ba

我们的模型(上面的两个方程)预测1896年野兔的数量会减少，而猞猁的数量会增加，如图所示gydF4y2Ba图3gydF4y2Ba绿色和红色箭头。gydF4y2Ba

为了预测接下来的1897年人口的变化，我们把HgydF4y2Ba_FgydF4y2Ba和LgydF4y2Ba_FgydF4y2Ba值转换为HgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba和LgydF4y2Ba_CgydF4y2Ba在新的方程中。每次这样做都会得到新的值，每个值都是图中的一个点gydF4y2Ba图3gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

想象捕食者与猎物的关系gydF4y2Ba

使用上面的方程和一些计算机代码[gydF4y2Ba4gydF4y2Ba]，我们模拟野兔和山猫种群，并制作我们自己的数据，显示捕食者-猎物关系如何随时间演变(gydF4y2Ba图3gydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

另一种显示两个物种之间联系的方法是绘制野兔数量(x轴)和山猫数量(y轴)相互关系的变化(gydF4y2Ba图3 cgydF4y2Ba)．中间的x表示野兔的平均数量(39只)和猞猁的平均数量(45只)gydF4y2Ba平衡点gydF4y2Ba．猞猁和野兔的数量围绕着这个平均值，随着数量的上升和下降，绘制出了生命周期。它看起来有点像地球绕太阳的轨道。种群在不断变化，这代表了它们随时间的起伏。在一个平衡的生态系统中，就像这个模型一样，轨道保持稳定;但如果它开始螺旋上升或下降，这可能是变化的早期迹象。gydF4y2Ba

其中一个变化发生在1995年，当时狼被重新引入黄石公园。这给周围的生态系统带来了一些令人惊讶的结果gydF4y2Ba^3.gydF4y2Ba．基于这些惊人的观察和类似于我们在这里展示的数学，古德曼和他的同事们开发了一个电脑游戏来建立一个平衡的生态系统gydF4y2Ba^4gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

模型不准确gydF4y2Ba

当数学家试图描述复杂的事物时，他们会把事情简化。我们所展示的方程也必须简化。这种简化意味着预测和模拟不能gydF4y2Ba完美的gydF4y2Ba遵循原始数据。以下是我们在模型中遗漏的一些信息:gydF4y2Ba

• 雪靴兔的天敌不止一种。gydF4y2Ba
• 雪猞猁不仅仅捕食雪靴兔;它们还可以吃鱼和松鼠。gydF4y2Ba
• 在我们的模型中，雪靴兔不会耗尽食物，但在冬天却不是这样。gydF4y2Ba
• 那些同时捕猎猞猁和野兔的人类毛皮猎人呢?gydF4y2Ba

为了使方程适用于所有这些情况，我们必须包含额外的方程和更多的正负。如果我们有了所有的数据，我们就可以完美地模拟未来。即使有了这些简化，数学仍然很好地模拟了野兔和猞猁的种群。gydF4y2Ba

这个模型还可以如何使用?gydF4y2Ba

在这个模型中，如果你把“雪猞猁”换成“鲨鱼”，把“雪鞋兔”换成“鱼”，只要数据正确，数学仍然可以计算。gydF4y2Ba2gydF4y2Ba］．你甚至可以用同样的公式把“山猫”改成“僵尸”，把“野兔”改成“人类”!捕食者-猎物关系可以进一步扩展到动物种群之外，并可用于模拟公司如何相互作用，化学反应如何发生，以及病毒如何传播。你可以点击阅读另一篇“年轻心灵前沿”的论文，了解更多关于病毒的数学知识雷竞技rebatgydF4y2Ba在这里gydF4y2Ba［gydF4y2Ba5gydF4y2Ba］．gydF4y2Ba

总结gydF4y2Ba

为了建立真实世界的模型，数学家需要从好的数据开始。这意味着它对科学家、自然资源保护主义者乃至毛皮猎人都至关重要!-从周围环境中收集信息。使用数据，我们可以发现关系中的模式，然后使用数学来重新创建这些模式，并预测能够代表和预测这些关系的未来数据。这些预测可以帮助我们保持生态系统的平衡。希望从这篇文章中，您可以看到如何只需要基本的加法、减法和乘法数学，以及一些聪明的思考，就可以模拟和预测捕食者、猎物的数量等等。gydF4y2Ba

术语表gydF4y2Ba

微分方程gydF4y2Ba：gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba这些方程描述了人口如何随时间变化，或者描述了许多其他过程，包括直升机如何飞行，行星如何围绕恒星运行，或者血液如何在我们的静脉中流动。gydF4y2Ba

估计gydF4y2Ba：gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba一个与准确答案足够接近的值，通常基于您对系统的一些知识或通过预先进行计算而创建。gydF4y2Ba

增长速度gydF4y2Ba：gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba增长率是指在没有天敌的情况下野兔数量的增加。用出生人数减去死亡人数可以从数据中估计出来。gydF4y2Ba

死亡率gydF4y2Ba：gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba死亡率是猞猁在没有食物的情况下随着时间的推移而减少的数量。这是死亡人数减去出生人数。gydF4y2Ba

吃的速度gydF4y2Ba：gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba吃掉率是猞猁猎杀并吃掉的野兔的数量。gydF4y2Ba

食物率gydF4y2Ba：gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba食物率是猞猁为了生存需要吃掉的野兔的数量。gydF4y2Ba

指数级增长gydF4y2Ba：gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba平稳较快增长。gydF4y2Ba

平衡点gydF4y2Ba：gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba这是两个种群的平衡点。当一个系统处于平衡时，我们说它是稳定的。gydF4y2Ba

利益冲突gydF4y2Ba

作者声明，这项研究是在没有任何商业或财务关系的情况下进行的，这些关系可能被解释为潜在的利益冲突。gydF4y2Ba

致谢gydF4y2Ba

这项工作得到了爱尔兰研究委员会的资助(GOIPG/2020/943)。gydF4y2Ba

脚注gydF4y2Ba

1.gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba链接到图形的动画版本gydF4y2Ba在这里gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba链接到图形的动画版本gydF4y2Ba在这里gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

3.gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba观看:可持续的人类2014。gydF4y2Ba

4.gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba玩:gydF4y2Bahttps://ecobuildergame.orggydF4y2Ba．gydF4y2Ba

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参考文献gydF4y2Ba

[1]gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba洛卡，1920年。有机系统中某些节奏关系的解析注记。gydF4y2Ba美国国家科学研究院。gydF4y2Ba6:410-5。gydF4y2Ba

[２]gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba沃尔泰拉，1926年。丰度:用数学方法考虑的物种丰度的波动gydF4y2Ba自然gydF4y2Ba．118:558-60。gydF4y2Ba

[3]gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba德·席尔瓦，B. M.，冠军，K.，奎德，M.，卢瓦索，J. C.，库茨，J. N.和布伦顿，S. L. 2020。PySINDy:一个python包，用于从数据中稀疏识别非线性动力学。gydF4y2BaarXiv预印本gydF4y2BaarXiv: 2004.08424。gydF4y2Ba

[4]gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba巴特勒，J. S.布雷迪，R. M. 2020。gydF4y2Ba捕食者捕食代码的年轻头脑gydF4y2Ba．GitHub。网上订购地址:gydF4y2Bahttps://github.com/john-s-butler-dit/Predator-Prey-for-Young-MindsgydF4y2Ba

［5］gydF4y2Ba↑gydF4y2Ba布鲁克斯，H. Z.， Kanjanasaratool, U.，库雷，Y. H.和梅森。第2021页。gydF4y2Ba疾病侦探:用数学来预测传染病的传播gydF4y2Ba．gydF4y2BaFront Young Minds。gydF4y2Ba9:577741。doi:gydF4y2Ba10.3389 / frym.2020.577741gydF4y2Ba