近似解析解multispecies对流输运方程和变量参数gydF4y2Ba

1介绍gydF4y2Ba

污染是由许多来源,如农业化肥、侵蚀,工业,能源,废物处理,医院浪费、车辆运输、核废料,国内浪费。产生的污染很大一部分这些来源找到它的方式直接或间接进入地下水(gydF4y2BaSposito et al ., 1979gydF4y2Ba;gydF4y2Ba多梅尼科1987gydF4y2Ba;gydF4y2Ba贝尔1988gydF4y2Ba;gydF4y2Ba克莱门特et al ., 1998gydF4y2Ba;gydF4y2Ba巴图2005gydF4y2Ba)。污染物往往是不同的物种,它们的化学特性是不同的。一般来说,在地下水污染物传输建模使用水的质量守恒定律,流动的水通量法,污染物的质量守恒定律,为污染物传输通量法。根据类型不同,污染物可以物理、化学或生物。化学污染物可以保守或保守的生产和衰变函数需要指定。当这些方程相结合,得到的方程的对流扩散方程。这个方程是为一个特定的物种。论述了两种污染物的运输。gydF4y2Ba

有几个作品multispecies污染物运输问题的分析。这些作品采用分析或数值方法。分析解决方案获得使用傅里叶变换,拉普拉斯变换,一般积分变换,分解方法、系列解决方案等。gydF4y2Ba卢恩et al ., 1996gydF4y2Ba;gydF4y2BaVan Genuchten 1985gydF4y2Ba;gydF4y2Ba藤川和福井1990gydF4y2Ba;gydF4y2Ba太阳和克莱门特1999gydF4y2Ba;gydF4y2Ba太阳et al ., 1999gydF4y2Ba;gydF4y2BaChamkha 2005gydF4y2Ba;gydF4y2BaSlodička Balažova, 2008gydF4y2Ba;gydF4y2BaSlodička Balažova, 2010gydF4y2Ba;gydF4y2BaNatarajan Kumar 2010gydF4y2Ba;gydF4y2Ba陈et al ., 2012gydF4y2Ba;gydF4y2Ba辛普森和埃勒里2014gydF4y2Ba)。数值方法基本上采用了有限差分法(gydF4y2Ba阿诺德et al ., 2017gydF4y2Ba;gydF4y2BaNatarajan Kumar 2018gydF4y2Ba)。然而,上述作品使用常数交通参数考虑在数学上更容易解决它。在现实中,有必要使用可变参数模型系统,为了充分了解污染物扩散行为。有一些可用的变量传输参数工作;然而,一些是针对单一物种或限制。gydF4y2Ba乔杜里和辛格(2020)gydF4y2Ba利用同伦分析方法(火腿)生态对流扩散输运方程,考虑时空不同弥散系数和渗流速度。他们使用pde的标准火腿处理系统管理的现象。然而,由于火腿的《盗梦空间》,有几个修改完成。最受欢迎的方法是同伦摄动方法的变体(HPM)和最优同伦渐近方法(OHAM)。另一方面,值得一提的是,地下水中重金属的运输和它们之间的交互和土壤介质是环境工程的重要概念。这样运输过程是有用的研究对环境的破坏造成金属材料的冶炼,垃圾填埋场渗滤液的渗流,农药和化肥的使用,城市污水的处理,等。此外,固体颗粒(细菌、硅粉等)存在土壤中与传输机制加速重金属的迁移率。因此,为了选择一个特定的悬浮物去除重金属从土壤,它是至关重要的理解的耦合机制。事实上,由于悬浮粒子吸附重金属,它们显示出影响迁移过程的渗流条件下土壤中金属。有几个因素影响重金属和悬浮粒子的耦合机制,如粒子的大小和浓度、渗流速度,类型的重金属、多孔介质、耦合机制(固相固相、固液、气液等)。细节的讨论中可以找到gydF4y2Ba白et al。(2021)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba白et al。(2021 b)gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

homotopy-based方法的核心思想是基于同伦从拓扑的概念。它创建了一个连续映射,变形持续获得从另一个函数。gydF4y2Ba辽(1992)gydF4y2Ba这个概念开发分析方法用于解决非线性问题的一系列解决方案。自那时以来,它已被广泛用于不同领域的科学与工程(gydF4y2Ba廖,2003gydF4y2Ba;gydF4y2Ba廖,2012gydF4y2Ba)。另一方面,gydF4y2Ba他(1999)gydF4y2Ba提出了一个名为HPM的分析方法。最近,gydF4y2BaMarinca和Herişanu (2008)gydF4y2Ba扩展的概念火腿用近似方法推导出所谓的OHAM。这些方法有自己的优点/缺点的适用性。因此,目前的工作提出了三种近似系列解决方案使用火腿,HPM和OHAM。本文认为空间的情况下不同交通参数。事实上,方法可采用等其他情况下提供的gydF4y2Ba乔杜里和辛格(2020)gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

2 homotopy-based方法的简要概述gydF4y2Ba

在这里,我们首先描述homotopy-based方法pde的一般框架考虑系统。在这样做之前,它是相关的,所有的这些方法都是基于拓扑的数学概念叫做“同伦”(gydF4y2Ba廖1992gydF4y2Ba)。两个对象(数学)是等位的如果一个人可以连续变形到另一个。在数学上,同伦gydF4y2Ba $\mathcal{HgydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)$ 两个函数之间gydF4y2Ba $\mathrm{fgydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ ;gydF4y2Ba $\mathrm{ggydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ ,在那里gydF4y2Ba $\mathrm{tgydF4y2Ba}$ 是一个维度(时间或空间),本身就是一个连续函数,定义为gydF4y2Ba $\mathcal{HgydF4y2Ba}:gydF4y2Ba\mathrm{TgydF4y2Ba}\times gydF4y2Ba\left[\mathrm{0\; 1gydF4y2Ba}\right]\to gydF4y2Ba\mathrm{UgydF4y2Ba}$ 和满足gydF4y2Ba $\mathcal{HgydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba\mathrm{fgydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 当gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba $\mathcal{HgydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba\mathrm{ggydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 当gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ ,在那里gydF4y2Ba $\mathrm{TgydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba $\mathrm{UgydF4y2Ba}$ 拓扑空间。这表明,gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}$ 从0到1,gydF4y2Ba $\mathcal{HgydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)$ 不同gydF4y2Ba $\mathrm{fgydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 来gydF4y2Ba $\mathrm{ggydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 。的函数gydF4y2Ba $\mathrm{fgydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 和gydF4y2Ba $\mathrm{ggydF4y2Ba}\left(\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 被称为等位的。例如,在2 d,可以不断地变形为一个椭圆或圆广场;同样,在3 d,甜甜圈和咖啡杯是等位的。因为代数或微分方程表示曲线(或功能),可以使用同伦的概念求解非线性微分代数方程。使用这个概念,gydF4y2Ba辽(1992)gydF4y2Ba提出了所谓的“同伦分析方法(火腿)。另外两个受欢迎的该方法的变体是同伦摄动方法(HPM)和最优同伦渐近方法(OHAM)。这三种方法用于本文。gydF4y2Ba

2.1同伦分析方法gydF4y2Ba

让系统pd被写成:gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathcal{NgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}$ 是非线性算子或原始方程组的运营商;gydF4y2Ba ${\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}$ 的未知变量是说什么gydF4y2Ba $\mathrm{我gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{1、2gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\dots gydF4y2Ba,gydF4y2Ba\mathrm{ngydF4y2Ba}$ ;gydF4y2Ba $\mathrm{xgydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba $\mathrm{tgydF4y2Ba}$ 是独立的变量。零阶变形方程可以建立如下(gydF4y2Ba廖2003gydF4y2Ba):gydF4y2Ba

的初始和边界条件:gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}$ 是嵌入参数,gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)$ 解决方案的代表吗gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 最初的近似,gydF4y2Ba ${\mathrm{ħgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}$ 是辅助参数,gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 是辅助功能,gydF4y2Ba ${\mathcal{lgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}$ 和gydF4y2Ba ${\mathcal{NgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}$ 分别是线性和非线性的运营商。情商。gydF4y2Ba2gydF4y2Ba显示为gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ ,当gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 。这意味着如gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}$ 变化从0到1,gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)$ 将从最初的近似转换成最终的解决方案。高阶项从高阶变形方程可以计算给定如下(gydF4y2Ba廖2003gydF4y2Ba):gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba

和gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{米gydF4y2Ba}}$ 为gydF4y2Ba $\mathrm{米gydF4y2Ba}\ge gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ 高阶项。情商。gydF4y2Ba4gydF4y2Ba通过差异化的零阶变形情商。gydF4y2Ba2gydF4y2Ba在继承。此外,有趣的是情商。gydF4y2Ba4gydF4y2Ba原控制方程转化为无穷线性方程组,容易解决。这个想法是所有perturbation-based方法的核心概念。现在,可以获得最终的解决方案如下:gydF4y2Ba

一个可以截断系列情商。gydF4y2Ba7gydF4y2Ba获得一个非线性系统的近似解。可以看出,该方法涉及到几个运营商和功能,应充分选择为了收敛级数。为此,gydF4y2Ba辽(2003)gydF4y2Ba提出了三种广义规则,即gydF4y2Ba解表达式的规则gydF4y2Ba,gydF4y2Ba遍历性规则的系数gydF4y2Ba,gydF4y2Ba解决方案存在的规则gydF4y2Ba。这些规则将在后面的小节中讨论的问题正在考虑。gydF4y2Ba

2.2同伦摄动方法gydF4y2Ba

在这里,我们重写pde制度如下:gydF4y2Ba

现在,我们可以构建一个满足的同伦(gydF4y2Ba他1999年gydF4y2Ba):gydF4y2Ba

的符号表示在前一节中提到的变量一样。另外,类似于火腿,情商。gydF4y2Ba9gydF4y2Ba显示,在gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ ,在gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 。现在让我们表达gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)$ 作为一个系列的gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}$ 如下:gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{米gydF4y2Ba}}$ 为gydF4y2Ba $\mathrm{米gydF4y2Ba}\ge gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ 高阶项。作为gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}\to gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ ,情商。gydF4y2Ba10gydF4y2Ba产生最终的解决方案为:gydF4y2Ba

在这种方法中,类似于经典摄动方法,一个可以用情商的系列(10)。gydF4y2Ba9gydF4y2Ba然后把喜欢的权力gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}$ 获得系列的条款gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{kgydF4y2Ba}}$ 。火腿和HPM的区别是明显的施工零阶变形方程。火腿包含一个额外的辅助功能和辅助参数,有助于获得一个快速收敛级数(gydF4y2Ba廖,2003gydF4y2Ba;gydF4y2Ba廖,2012gydF4y2Ba)。有趣的是,受到相同的线性和非线性的运营商和单位辅助函数,HPM解决方案是火腿的子用例gydF4y2Ba ${\mathrm{ħgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ 。gydF4y2Ba

2.3最优同伦渐近方法gydF4y2Ba

为了获得一个精确的近似解与系列的几方面,gydF4y2BaMarinca和Herişanu (2008)gydF4y2Ba提出homotopy-based方法的一个变种,称为最优同伦(OHAM)渐近方法,使用渐近展开的函数和运算符。我们考虑一个pd的非线性系统:gydF4y2Ba

的初始和边界条件:gydF4y2Ba

在符号表示相同的变量在前一节中讨论。火腿后,可以构造一个家庭之一方程如下:gydF4y2Ba

符号与它们通常的意义和在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}$ 是未知参数。辅助函数定义为:gydF4y2Ba

很容易验证时gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 当gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 火腿和HPM是一样的,即,因为gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}$ 从0到1,我们已经从最初的近似连续变形最终的解决方案。现在,初始近似gydF4y2Ba ${\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 可以通过解决以下的方程,这是替换后得到吗gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$ 在情商。gydF4y2Ba14gydF4y2Ba:gydF4y2Ba

受边界条件:gydF4y2Ba

在OHAM,扩大辅助函数对嵌入参数是关键的一步。辅助函数gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)$ 可以表示如下:gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)$ 的辅助函数,取决于独立变量gydF4y2Ba $\mathrm{xgydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba $\mathrm{tgydF4y2Ba}$ 和参数gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}$ 。它可以指出,情商。gydF4y2Ba18gydF4y2Ba情商是按照属性。gydF4y2Ba(15)gydF4y2Ba。现在,情商的解决方案。gydF4y2Ba12gydF4y2Ba可以认为是形式:gydF4y2Ba

用情商。gydF4y2Ba19gydF4y2Ba为情商。gydF4y2Ba14gydF4y2Ba,将喜欢的权力gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}$ ,下列方程得到[gydF4y2Ba ${\mathrm{问gydF4y2Ba}}^{\mathrm{0gydF4y2Ba}}$ 对应于方程式。gydF4y2Ba16gydF4y2Ba,gydF4y2Ba17gydF4y2Ba:gydF4y2Ba

$\mathrm{年代gydF4y2Ba}\mathrm{ugydF4y2Ba}\mathrm{bgydF4y2Ba}\mathrm{jgydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{cgydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}\mathrm{ogydF4y2Ba}$ 初始和边界条件:gydF4y2Ba

为gydF4y2Ba $\mathrm{kgydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{2、3、4gydF4y2Ba},gydF4y2Ba。gydF4y2Ba。gydF4y2Ba。gydF4y2Ba$ ,gydF4y2Ba

的初始和边界条件:gydF4y2Ba

在这个术语gydF4y2Ba ${\mathcal{NgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{kgydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\left[{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right),gydF4y2Ba{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right),gydF4y2Ba\dots gydF4y2Ba,gydF4y2Ba{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{kgydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)\right]$ 的系数gydF4y2Ba ${\mathrm{问gydF4y2Ba}}^{\mathrm{米gydF4y2Ba}}$ 通过扩大gydF4y2Ba ${\mathcal{NgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left({\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}};gydF4y2Ba\mathrm{问gydF4y2Ba}\right)\right)$ 如下:gydF4y2Ba

它可以观察到从情商。gydF4y2Ba22gydF4y2Ba像火腿和HPM OHAM也将原非线性方程转化为线性sub-equations的无限集合。此外,该方法不依赖于小参数的控制方程。级数的收敛情商。gydF4y2Ba19gydF4y2Ba取决于的选择gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\left({\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)$ ,存在很多方法来选择它。根据Marinca Herişanu(2015),一个可以选择gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\left({\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)$ 在这样一种产品gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\left({\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)\left[{\mathcal{lgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left[{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{kgydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)\right]+gydF4y2Ba{\mathcal{NgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{kgydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\left[{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right),gydF4y2Ba{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right),gydF4y2Ba\dots gydF4y2Ba,gydF4y2Ba{\mathrm{ygydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{kgydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)\right]\right]$ 情商。gydF4y2Ba22gydF4y2Ba是相同的形式的吗gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\left({\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)$ 。考虑函数可以是任何类型,如多项式、指数,三角,等。现在,基于辅助函数的选择,如果情商。gydF4y2Ba19gydF4y2Ba是收敛的gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ ,然后gydF4y2Ba

最后,近似解可以通过考虑有限数量的系列的情商。gydF4y2Ba25gydF4y2Ba。未知的参数gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}$ 和辅助函数的选择将在稍后讨论的问题正在考虑。gydF4y2Ba

3控制方程和解决方法gydF4y2Ba

一维流场的一般形式的被动运输系统时空上描述了多物种迁移的现象有不同的参数可以参照如下(gydF4y2Ba乔杜里和辛格2020gydF4y2Ba):gydF4y2Ba

在这里,gydF4y2Ba ${\mathrm{kgydF4y2Ba}}_{\mathrm{0gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba $\mathrm{ngydF4y2Ba}$ 代表物种的数量;gydF4y2Ba $\mathrm{xgydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba $\mathrm{tgydF4y2Ba}$ 分别表示时空坐标;gydF4y2Ba ${\mathrm{rgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}$ 的缺陷因素吗gydF4y2Ba $\mathrm{我gydF4y2Ba}$ th物种;gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}$ 集中力量对吗gydF4y2Ba $\mathrm{我gydF4y2Ba}$ th物种;gydF4y2Ba ${\mathrm{kgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}$ 的衰变速率系数吗gydF4y2Ba $\mathrm{我gydF4y2Ba}$ th物种;和gydF4y2Ba $\mathrm{DgydF4y2Ba}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 和gydF4y2Ba $\mathrm{vgydF4y2Ba}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 分别是弥散系数和渗流速度。gydF4y2Ba

目前的研究认为生态系统(例如,gydF4y2Ba $\mathrm{我gydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}$ ),包括时空上依赖交通的影响参数对污染物迁移。为此,模型变得(gydF4y2Ba乔杜里和辛格2020gydF4y2Ba):gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}$ 和gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$ 代表父母和女儿的物种,污染物的浓度水平。gydF4y2Ba

的初始和边界条件给定的模型可以如下:gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{fgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba}\right)$ 和gydF4y2Ba ${\mathrm{fgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba}\right)$ 被认为是(gydF4y2Ba辛普森和埃勒里2014gydF4y2Ba):gydF4y2Ba

方程式gydF4y2Ba29日gydF4y2Ba,gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba,gydF4y2Ba31日gydF4y2Ba表明,最初为父物种存在空间依赖性污染。然而,对于女儿的物种,初始浓度为零。gydF4y2Ba

基于形式的gydF4y2Ba $\mathrm{DgydF4y2Ba}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 和gydF4y2Ba $\mathrm{vgydF4y2Ba}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 可以考虑,几个场景。在这里,我们考虑一个特定的情况下,特别是稳定迁移现象在稳定的地下水。可能需要注意的是这里的解决方案方法报道等其他情况下可采用稳定和不稳定流动的瞬态迁移(gydF4y2Ba乔杜里和辛格2020gydF4y2Ba)。然而,我们的目标是显示不同的homotopy-based方法的适用性通过扩展的工作gydF4y2Ba乔杜里和辛格(2020)gydF4y2Ba我们限制我们的分析稳定的情况下迁移在稳定流。为此,我们假设:gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{0gydF4y2Ba}}$ 和gydF4y2Ba ${\mathrm{vgydF4y2Ba}}_{\mathrm{0gydF4y2Ba}}$ 分别初始分散和速度;gydF4y2Ba ${\mathrm{\alpha gydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}$ 和gydF4y2Ba ${\mathrm{\alpha gydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$ 参数,在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{\alpha gydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$ 知道的异质性参数。情商。gydF4y2Ba32gydF4y2Ba表明,扩散速度的平方正比(gydF4y2Ba巴图2005gydF4y2Ba)。为gydF4y2Ba ${\mathrm{\alpha gydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba ${\mathrm{\alpha gydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\to gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$ ,也就是说,gydF4y2Ba ${\mathrm{\alpha gydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$ 很小,系统转换成一个均匀,空间色散的影响和渗透速度是缺席。作为gydF4y2Ba ${\mathrm{\alpha gydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$ 增加,系统成为异类。这可能指出,色散可以表达不同的但情商。gydF4y2Ba32gydF4y2Ba本研究的目的是合理的。此外,渗流速度在情商。gydF4y2Ba32gydF4y2Ba也可以表示指数或权力形式。然而,对于本研究的目的,情商。gydF4y2Ba32gydF4y2Ba是合理的,特别是对于均质含水层。在应用homotopy-based之前方法,为方便起见,让我们重新执政的方程式gydF4y2Ba27gydF4y2Ba,gydF4y2Ba28gydF4y2Ba在以下形式:gydF4y2Ba

3.1 HAM-based解决方案gydF4y2Ba

正如2.1节中所讨论的,一个系统可以用火腿的方程式gydF4y2Ba33gydF4y2Ba,gydF4y2Ba34gydF4y2Ba通过构造一些运营商和下面的函数。的非线性算子问题是选为:gydF4y2Ba

上面的方程是原方程的运营商,这始终是一个简单和方便的考虑框架的非线性算子的火腿。因此,使用方程式gydF4y2Ba35gydF4y2Ba,gydF4y2Ba36gydF4y2Ba、条款gydF4y2Ba ${\mathrm{RgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{米gydF4y2Ba}}$ 可以计算出从情商。gydF4y2Ba6gydF4y2Ba如下:gydF4y2Ba

现在,正如前面所讨论的,我们需要遵循三个基本原则所提供的gydF4y2Ba辽(2003)gydF4y2Ba收敛级数的解决方案。首先,我们考虑下面的基函数来表示解决方案gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 目前的问题:gydF4y2Ba

这gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{\beta gydF4y2Ba}}_{\mathrm{米gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{ngydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{pgydF4y2Ba}}$ 级数的系数。情商。gydF4y2Ba40gydF4y2Ba提供了所谓的gydF4y2Ba解表达式规则gydF4y2Ba。解表达式的规则之后,选择了线性算子和初始近似,分别如下:gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{EgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$ 是一个积分常数。它可能是指出情商的选择。gydF4y2Ba41gydF4y2Ba并不是唯一的。用情商。gydF4y2Ba41gydF4y2Ba从情商,可以获得高阶项。gydF4y2Ba4gydF4y2Ba如下:gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{RgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{米gydF4y2Ba}}$ 由方程式给出gydF4y2Ba37gydF4y2Ba,gydF4y2Ba38gydF4y2Ba,常数gydF4y2Ba ${\mathrm{EgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$ 可以确定初始条件的高阶变形方程,它的收益率gydF4y2Ba ${\mathrm{EgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$ 对所有gydF4y2Ba $\mathrm{米gydF4y2Ba}\ge gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ 。gydF4y2Ba

现在,辅助功能gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 可以确定的吗gydF4y2Ba遍历性规则的系数gydF4y2Ba。基于解决方案的规则表达式,一般形式的gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 应该是:gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{ngydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{ngydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{ngydF4y2Ba}}_{\mathrm{3gydF4y2Ba}}$ 是整数。但是,为了简单起见,我们可以gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ (gydF4y2BaVajravelu和Van Gorder 2013gydF4y2Ba)。最后,可以获得近似的解决方案如下:gydF4y2Ba

为方便读者,提供包含方法的步骤的流程图gydF4y2Ba图1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

3.2 HPM-based解决方案gydF4y2Ba

在2.2节中讨论,为简单起见,我们考虑线性算子如下:gydF4y2Ba

非线性算子选择方程式gydF4y2Ba35gydF4y2Ba,gydF4y2Ba36gydF4y2Ba。在HPM的框架,这些操作符的选择不是唯一的;事实上,一个人可以选择任何其他形式来检查一个更好的解决方案。使用这些表达式在情商。gydF4y2Ba9gydF4y2Ba然后用系列情商。gydF4y2Ba10gydF4y2Ba之后,我们获得以下微分方程组等同的权力gydF4y2Ba $\mathrm{问gydF4y2Ba}$ :gydF4y2Ba

继续以这样的方式,我们可以得出以下递推关系:gydF4y2Ba

可以选为初始近似gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{1,0gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba{\mathrm{fgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{一个gydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{xgydF4y2Ba}\mathrm{pgydF4y2Ba}\left(-gydF4y2Ba{\mathrm{一个gydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}\right)$ 和gydF4y2Ba ${\mathrm{\Phi gydF4y2Ba}}_{\mathrm{2、0gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba{\mathrm{fgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba}\right)=gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$ 。使用这个初始近似,我们可以解决方程迭代使用象征性的软件。最后,可以近似HPM-based解决方案如下:gydF4y2Ba

流程图包含步骤的方法gydF4y2Ba图2gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

3.3 OHAM-based解决方案gydF4y2Ba

在2.3节中给出的讨论,我们选择以下操作:gydF4y2Ba

和gydF4y2Ba

这些考虑,我们可以解决零级情商。gydF4y2Ba16gydF4y2Ba有以下解决方案:gydF4y2Ba

现在的高阶方程,我们需要表达gydF4y2Ba ${\mathcal{NgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}}$ ,gydF4y2Ba ${\mathcal{NgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}}$ ,gydF4y2Ba ${\mathcal{NgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}}$ 等我们可以看到从情商。20。,一个可以用情商。24的关系方程式gydF4y2Ba57gydF4y2Ba,gydF4y2Ba58gydF4y2Ba。用这个我们有一阶方程:gydF4y2Ba

辅助函数在很多方面可以选择。在这里,我们选择gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1,-\; 1gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1,-\; 1gydF4y2Ba}}$ 和gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2、1gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2、1gydF4y2Ba}}。gydF4y2Ba$ 把gydF4y2Ba $\mathrm{kgydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}$ 在情商。gydF4y2Ba22gydF4y2Ba然后使用的扩张gydF4y2Ba $\mathcal{NgydF4y2Ba}$ ,我们有下列二阶方程:gydF4y2Ba

在这里,我们选择gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1、2gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1、2gydF4y2Ba}}$ 和gydF4y2Ba ${\mathrm{HgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2、2gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}}\right)=gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2、2gydF4y2Ba}}$ 。系列的条款可以使用这里开发的方程计算。一个可以计算这些术语使用符号计算软件没有任何困难,如MATLAB。此外,情商。gydF4y2Ba22gydF4y2Ba,高阶项可以以类似的方式计算。然而,我们的目标是产生一个精确的解决方案只有2 - 3 OHAM-based系列。因此,我们限制我们的计算gydF4y2Ba $\mathrm{kgydF4y2Ba}=gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}$ 。最后,可以找到近似解为:gydF4y2Ba

术语是由方程式。gydF4y2Ba60gydF4y2Ba,gydF4y2Ba61年gydF4y2Ba,gydF4y2Ba62年gydF4y2Ba,gydF4y2Ba63年gydF4y2Ba,gydF4y2Ba64年gydF4y2Ba。流程图包含的步骤中提供的方法gydF4y2Ba图3gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

在第2部分中,我们讨论了homotopy-based pde的一般框架系统的方法。事实上,方法也同样适用于单一方程,积分方程,等。然后,在第三节中,方法是应用于描述污染物生态交通的方程组。它可以从这些方法的应用,他们不同于不同的功能建设,运营商和参数,因此可能有优势或劣势在处理特定的问题。从理论的角度来看,火腿,OHAM-based收敛定理提供了解决方案gydF4y2Ba附录AgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

4结果与讨论gydF4y2Ba

首先,我们讨论所需的表达式和参数的值的评估开发解决方案。然后,HAM-based的数值收敛性分析的解决方案是建立一个特殊的测试用例,然后解决方案是对数值解进行验证。最后,HPM和OHAM-based解析解与数值解验证通过比较它们。gydF4y2Ba

4.1选择和参数的表达式gydF4y2Ba

评估的解决方案,可以看出,色散系数gydF4y2Ba $\mathrm{DgydF4y2Ba}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 和渗流速度gydF4y2Ba ${\mathrm{vgydF4y2Ba}}_{\mathrm{0gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ 作为由情商。gydF4y2Ba2gydF4y2Ba。利用这些方程,我们有:gydF4y2Ba

验证的解决方案,是空间和时间域gydF4y2Ba $\mathrm{0gydF4y2Ba}\le gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}\left(\mathrm{cgydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}\right)\le gydF4y2Ba\mathrm{3000年gydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba $\mathrm{0gydF4y2Ba}\le gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\left(\mathrm{hgydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\right)\le gydF4y2Ba\mathrm{40gydF4y2Ba}$ 。所需的参数选为(gydF4y2Ba辛普森和埃勒里2014gydF4y2Ba;gydF4y2Ba乔杜里和辛格2020gydF4y2Ba):gydF4y2Ba ${\mathrm{一个gydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{一个gydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{0.0025gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{kgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{0.05gydF4y2Ba}\left(/gydF4y2Ba\mathrm{hgydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\right)$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{kgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{0.01gydF4y2Ba}\left(/gydF4y2Ba\mathrm{hgydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\right)$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{vgydF4y2Ba}}_{\mathrm{0gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{0.2gydF4y2Ba}\left(\mathrm{cgydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}/gydF4y2Ba\mathrm{hgydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\right)$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{0gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{0.5gydF4y2Ba}\left({\mathrm{cgydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}/gydF4y2Ba\mathrm{hgydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\right)$ 。同时,其他参数被认为是gydF4y2Ba ${\mathrm{rgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{rgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{2.5gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{\alpha gydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{\alpha gydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{0.05gydF4y2Ba}\left(/gydF4y2Ba\mathrm{cgydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}\right)。gydF4y2Ba$

4.2数值收敛性和火腿的验证的解决方案gydF4y2Ba

有两种方法可以处理含的融合:一个基于gydF4y2Ba $\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba$ 曲线,另一种是通过残差平方(gydF4y2Ba廖2012gydF4y2Ba)。它可以指出,这里方程组考虑,我们选择gydF4y2Ba ${\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba{\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}=gydF4y2Ba\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}$ 。一个确实可以选择两种不同的辅助参数;然而,最好首先考虑一个常见gydF4y2Ba $\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}$ 解决方案的准确性,这种假设简化了问题。在这里,我们所谓的计算gydF4y2Ba $\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{cgydF4y2Ba}\mathrm{ugydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{vgydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{年代gydF4y2Ba}$ 找到一个合适的选择辅助参数gydF4y2Ba $\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}$ ,这决定了HAM-based级数解的收敛性。在这方面,近似为一个特定的顺序,我们画出近似解gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}\right)$ (或其衍生物)域内。是平的gydF4y2Ba $\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba$ 辅助参数曲线确定一个合适的选择gydF4y2Ba $\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}$ 。在gydF4y2Ba图4gydF4y2Ba,我们的阴谋gydF4y2Ba $\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba$ 曲线5gydF4y2Ba^thgydF4y2Ba和第十HAM-based近似的价值gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{1,-\; 1gydF4y2Ba}\right)$ 。精确解,可以计算这些量,观察到的数据曲线表现出平面为一个特定范围的性质gydF4y2Ba $\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}$ 。任何的选择gydF4y2Ba $\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}$ 在这个范围内确定一个最优值的收敛系列解决方案(gydF4y2BaAbbasbandy et al ., 2011gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

这里,我们测试的性能HAM-based存在问题的解析解与数值解进行比较。使用一个有效的MATLAB工具数值解,即“pdepe”。这个MATLAB程序使用直线法通过离散化抛物线PDE(单或系统)在一个空间方向(gydF4y2Ba斯基尔和贝尔津什1990gydF4y2Ba)。在前一节中描述的参数,计算使用pdepde污染物浓度gydF4y2Ba $\mathrm{tgydF4y2Ba}=gydF4y2Ba$ 0、20和40 h。另一方面,火腿的情况下计算的解决方案。辅助参数gydF4y2Ba $\mathrm{\hslash gydF4y2Ba}$ 选为−0.87。gydF4y2Ba图5gydF4y2Ba描述了污染物浓度的值选择的情况下。从图可以看出,第三阶火腿同意与数值解很好解决方案。gydF4y2Ba

4.3验证HPM-based解决方案gydF4y2Ba

HPM-based分析解决方案所选择的测试用例验证了使用获得的数值解gydF4y2BapdepegydF4y2BaMATLAB。看到,对决的HPM系列产生精确的结果在选定的领域。gydF4y2Ba图6gydF4y2Ba比较了数字解决方案和HPM-based近似。gydF4y2Ba

4.4验证OHAM-based解决方案gydF4y2Ba

的评估OHAM-based分析解决方案,需要计算常数gydF4y2Ba ${\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}$ 的年代。为此,我们计算剩余如下:gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{OgydF4y2Ba}\mathrm{HgydF4y2Ba}\mathrm{一个gydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)$ 是近似解。当gydF4y2Ba ${\mathrm{RgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)=gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$ ,gydF4y2Ba ${\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{OgydF4y2Ba}\mathrm{HgydF4y2Ba}\mathrm{一个gydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}}\left(\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba{\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}\right)$ 就具体的解决问题的办法。的一个方法来获取最优gydF4y2Ba ${\mathrm{DgydF4y2Ba}}_{\mathrm{我gydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{jgydF4y2Ba}}$ 的,解收敛,平方剩余误差的最小化,即,gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba $\mathrm{DgydF4y2Ba}$ 是问题的领域。情商的最小化。gydF4y2Ba68年gydF4y2Ba导致一个代数方程组如下:gydF4y2Ba

解决这一系统中,人可以获得最优的参数值。使用MATLAB程序得到最优值gydF4y2BafminsearchgydF4y2Ba最小化一个无约束多变量函数。连任三届的OHAM方案计算和比较gydF4y2Ba图7gydF4y2Ba获得的数值解使用pdepe看到该方法的有效性。可以看出OHAM-based近似同意所有情况下的数值解。gydF4y2Ba

4.5不同方案之间的比较gydF4y2Ba

这项工作发展三种分析生态解决方案使用homotopy-based污染物输运方程的方法。在本节中,我们验证了表演不同的解决方案。结果表明,他们同意与相应的数值解非线性问题。然而,方法有自己的优点或者缺点。具体来说,火腿提供了一个很好的自由选择线性,非线性操作符和辅助功能基函数的选择。此外,convergence-control参数出现在火腿大大增强了级数的收敛半径和监控收敛的速度。另一方面,OHAM的解决方案是homotopy-based方法的一个改进版本,目的是获得一个精确的近似只有2 - 3系列。定量评估,表现不同的解决方案比较数值gydF4y2Ba表1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba3gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

5结束语gydF4y2Ba

在这里,我们推导出火腿,HPM和OHAM-based分析解决方案具有空间结构的传输方程生态不同弥散系数和渗流速度。使用火腿,相同的方程进行了研究分析gydF4y2Ba乔杜里和辛格(2020)gydF4y2Ba。一个数值解也使用MATLAB程序开发gydF4y2Bapdepe。gydF4y2Ba提出的方法产生准确的解决方案的情况下。这项工作表明潜在的火腿,HPM和OHAM的上下文中获取抛物线pd制度的一系列解决方案。的理论以及数值收敛系列提供了解决方案。gydF4y2Ba

数据可用性声明gydF4y2Ba

最初的贡献提出了研究中都包含在本文/辅料,可以针对相应的作者进一步询问。gydF4y2Ba

作者的贡献gydF4y2Ba

可:概念、方法论、原创作品。VS:概念化、监督writing-review和编辑、项目管理。gydF4y2Ba

的利益冲突gydF4y2Ba

作者声明,这项研究是在没有进行任何商业或财务关系可能被视为一个潜在的利益冲突。gydF4y2Ba

出版商的注意gydF4y2Ba

本文表达的所有索赔仅代表作者,不一定代表的附属组织,或出版商、编辑和审稿人。任何产品,可以评估在这篇文章中,或声称,可能是由其制造商,不保证或认可的出版商。gydF4y2Ba

引用gydF4y2Ba