原始研究的文章

前面。理论物理。,02June20.23
秒。跨学科物理
<年代p一个ncl作为年代="volumeInfo">卷11 - 2023 | https://doi.org/10.3389/fphy.2023.1178154

同伦摄动方法孤子解time-fractional(2 + 1)维Wu-Zhang系统描述长分散重力水波浪在海洋

穆Qayyum<年代up>1, www.雷竞技rebatfrontiersin.org

Efaza艾哈迈德<年代up>1, www.雷竞技rebatfrontiersin.org

Syed总会有赛义德<年代up>1,<一个href="//www.thespel.com/people/u/2230058" class="user-id-2230058">

汉志艾哈迈德 ^2、3、4*和 www.雷竞技rebatfrontiersin.org

Sameh阿<年代up>5

¹科学与人文、计算机和新兴科学的国立大学,拉合尔,巴基斯坦
²数学部分,国际远程信息处理大学Uninettuno,罗马,意大利
³运筹学中心医疗、近东大学梅尔辛,土耳其
⁴美国大学计算机科学和数学,黎巴嫩,贝鲁特,黎巴嫩
⁵部门统计和运筹学,理学院,沙特国王大学,利雅得,沙特阿拉伯

物理现象和自然灾害,如海啸和洪水,导致由于色散水波和浅波由地震引起的。为了分析和减少破坏性影响的情况下,给出了数学模型,不同的研究人员。Wu-Zhang (WZ)系统就是这样的一个模型,描述色散波。在这方面,目前的研究集中在一个非线性(2 + 1)维耗散time-fractional Wu-Zhang武政)系统由于其重要性在捕捉分散重力水波浪在海洋里。卡普托分数导数WZ体系被认为是在这个研究。为了解决方案,修改同伦摄动方法(HPM)以及用于提供改进的拉普拉斯变换结果的准确性。有效性和收敛,结果比较分数微分变换法(FDTM),修改变分迭代法(mVIM),和修改Adomian分解方法(mADM)。分析结果表明提出方法的有效性。此外,分数的影响参数对给定模型数值分析和图形化积分和部分订单。此外,卡普托、Caputo-Fabrizio Atangana-Baleanu方法应用部分衍生品和当前的研究中以图形的方式相比。 Analysis affirms that the proposed algorithm is a reliable tool and can be used in higher dimensional fractional systems in science and engineering.

1介绍

微分方程(DEs)的研究是一个重要的话题,因为他们捕获的大多数实际现象,即。、地震(<一个href="#B1">1,<一个href="#B2">2)、天然气消费(<一个href="#B3">3,<一个href="#B4">4),电流(<一个href="#B5">5,和烹饪<一个href="#B6">6]。另外可以将这些方程为线性和非线性微分方程的特征。许多重要的和有趣的现象像电路<一个href="#B7">7,<一个href="#B8">8),DNA测序(<一个href="#B9">9,<一个href="#B10">10)、疾病建模和分析(<一个href="#B11">11,<一个href="#B12">12),和食物链模型(<一个href="#B13">13,<一个href="#B14">14通过微分方程)捕获。自德描述的顺序捕获现象的性质和范围,因此重要的人员,以满足更一般研究分数阶导数的物理方面的现象。部分模型允许更好地理解模型动力学和促进研究人员准确地预测物理系统的变化。混沌理论(<一个href="#B15">15),纳米技术(<一个href="#B16">16),流体流动(<一个href="#B17">17],宇宙学[<一个href="#B18">18),和机器人(<一个href="#B19">19用微分方程问题公式化。这些方程也经常出现在数学的许多分支<一个href="#B20">20.,<一个href="#B21">21)、金融(<一个href="#B22">22)、经济(<一个href="#B23">23),和生物学(<一个href="#B24">24]。

“分形”这个词最初是由数学家Benoit Mandelbrot(创建于1975年<一个href="#B25">25]。这是一个几何形状,展品相同级别的non-regularity尺度。分形是无限模式,本质上我们经常看到。雪花,树木,山脉,云,海岸线分形表示为他们是高度不均匀在大大小小的鳞片。许多重要的模型包括红墨水的扩散模型<一个href="#B26">26和薄膜<一个href="#B27">27),混凝土梁的振动模型<一个href="#B28">28和电子设备<一个href="#B29">29日[],COVID-19数学模型<一个href="#B30">30.)包含分形几何。分级和分形之间的区别在于,前者是分数的的一份声明中,而后者是一个几何图形,类似的尺度。

Wu-Zhang系统(<一个href="#B31">31日]包含非线性偏微分方程(pde)和处理水的波浪在海洋。1996年,首次导出了三套模型方程吴和张名叫Wu-Zhang系统pd (<一个href="#B31">31日]。这个系统是用于自定义几个港口和沿海的设计。这个非线性(2 + 1)维耗散部分系统描述了浅水色散长重力波在两个水平方向,给出

\begin{aligned} \frac{\partial^{ζ} U}{\partial t^{ζ}} + U \frac{\partial U}{\partial x} + V \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial x} = 0, \\ \frac{\partial^{ζ} V}{\partial t^{ζ}} + U \frac{\partial V}{\partial x} + V \frac{\partial V}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial y} = 0, \\ \frac{\partial^{ζ} W}{\partial t^{ζ}} + \frac{\partial (U W)}{\partial x} + \frac{\partial (V W)}{\partial y} + \frac{1}{3} (\frac{\partial^{3} U}{\partial x^{3}} + \frac{\partial^{3} U}{\partial x \partial y^{2}} + \frac{\partial^{3} V}{\partial x^{2} \partial y} + \frac{\partial^{3} V}{\partial y^{3}}) = 0, \end{aligned} (1)

在哪里<在l在e-formula id="inf1"> $U$ 和<在l在e-formula id="inf2"> $V$ 代表着速度在水的表面x和y方向,而<在l在e-formula id="inf3"> $W$ 描绘了海拔水波。上述WZ体系是一个分数,而小王和他(<一个href="#B32">32)得出的结论是,当时间部分,空间也必须分数。这叫做小组组长王和时空分数的关系(更多细节见<一个href="#B32">32])。由于大量WZ体系的重要性,许多学者试图通过各种方法解决和分析这些系统像mVIM<一个href="#B33">33],ADM [<一个href="#B34">34,<一个href="#B35">35),扩展的双曲正切和exp-function方法(<一个href="#B36">36),动力分析方法(<一个href="#B37">37]。更通用的解决方案和预测,最近WZ体系也尝试一些略微的科学家。考尔和Gupta讨论了色散的分析(2 + 1)维time-fractional WZ体系(<一个href="#B38">38]。帕特尔和帕特尔调查了分数阶WZ体系分析(<一个href="#B39">39]。可以利用不同的方法部分衍生品,如卡普托(<一个href="#B40">40],Atangana-Baleanu [<一个href="#B41">41],Caputo-Fabrizio [<一个href="#B42">42),他的分数导数<一个href="#B43">43]。

为了解决这样的高度非线性部分系统,许多分析和数值方法是利用不同的研究人员。Anjum et al。<一个href="#B44">44应用Li-He的改进的同伦摄动方法解决微机电系统。Baitiche et al。<一个href="#B45">45)使用分数DEs的单调迭代方法与非线性边界。做et al。<一个href="#B46">46切比雪夫小波扩展到二维分数DEs。Hashemi et al。<一个href="#B47">47使用最小化技术]调查multi-term fd。田和刘使用修改后的exp-function分数pd (<一个href="#B48">48]。此外,为了解决复杂问题,增强同伦方法中可以找到(<一个href="#B49">49,<一个href="#B50">50]。在这项研究中,提出了一种混合算法通过混合经典的同伦摄动法(<一个href="#B51">51,<一个href="#B52">52)与拉普拉斯变换(<一个href="#B53">53]随着不同的分数阶导数(Atangana-Baleanu Caputo-Fabrizio,卡普托)的高度非线性time-fractional(2 + 1)维WZ体系。在本文的其余部分,第二部分包含初步定义。第三节包含该方法处理time-fractional(2 + 1)维WZ体系,而证明了收敛性和误差分析在第四节给出。解决方案和结果与讨论部分5和6,分别,第七节给出结论。

2基本定义

定义1:为一个函数<在l在e-formula id="inf4"> $U (t, x, y)$ 卡普托的time-fractional导数<在l在e-formula id="inf5"> ${}^{C}D_{t}^{ζ}$ 是(<一个href="#B54">54]

{}^{C}D_{t}^{ζ} U (t, x, y) = \frac{1}{Γ (问 - ζ)} \int_{0}^{t} {(t - G)}^{问 - ζ - 1} U^{(问)} (G, x, y) d G, 问 - 1 < ζ \leq 问 。 (2)

定义2:根据(<一个href="#B55">55拉普拉斯变换),一个可以表达l函数的<在l在e-formula id="inf6"> $U (t, x, y)$ 已经被卡普托的time-fractional导数<在l在e-formula id="inf7"> ${}^{C}D_{t}^{ζ}$ 。

l \{{}^{C}D_{t}^{ζ} U (t, x, y)\} = {年代}^{ζ} l \{U (t, x, y)\} - \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} U^{(p)} (0, x, y), 问 - 1 < ζ \leq 问 。 (3)

定义3:Caputo-Fabrizio time-fractional的导数<在l在e-formula id="inf8"> ${}^{C F}D_{t}^{ζ}$ 的一个函数<在l在e-formula id="inf9"> $U (t, x, y)$ 是(<一个href="#B42">42]

{}^{C F}D_{t}^{ζ} U (t, x, y) = \frac{1}{1 - ζ} \int_{0}^{t} e^{\frac{- ζ (t - G)}{1 - ζ}} \frac{\partial U (G, x, y)}{\partial G} d G, 0 < ζ < 1 。 (4)

定义4:拉普拉斯变换lCaputo-Fabrizio time-fractional的导数<在l在e-formula id="inf10"> ${}^{C F}D_{t}^{ζ}$ 的一个函数<在l在e-formula id="inf11"> $U (t, x, y)$ (给药<一个href="#B56">56]

l \{{}^{C F}D_{t}^{ζ + 问} U (t, x, y)\} = \frac{{年代}^{问 + 1} l \{U (t, x, y)\} - \sum_{p = 0}^{问} {年代}^{问 - p} U^{(p)} (0, x, y)}{年代 + ζ (1 - 年代)}, 0 < ζ \leq 1 。 (5)

定义5:一个函数<在l在e-formula id="inf12"> $U (t, x, y)$ 在这个意义上Atangana-Baleanu time-fractional的导数<在l在e-formula id="inf13"> ${}^{一个 B}D_{t}^{ζ}$ 表示为(<一个href="#B41">41]

{}^{一个 B}D_{t}^{ζ} U (t, x, y) = \frac{K (ζ)}{1 - ζ} \int_{0}^{t} E_{ζ} [- \frac{ζ {(t - G)}^{ζ}}{1 - ζ}] \frac{\partial U (G, x, y)}{\partial G} d G, 0 < ζ \leq 1 。 (6)

在这里,<在l在e-formula id="inf14"> $K (ζ)$ 是一个归一化函数的属性<在l在e-formula id="inf15"> $K (0)$ =<在l在e-formula id="inf16"> $K (1)$ = 1。

定义6:拉普拉斯变换l与Atangana-Baleanu time-fractional导数<在l在e-formula id="inf17"> ${}^{一个 B}D_{t}^{ζ}$ 的一个函数<在l在e-formula id="inf18"> $U (t, x, y)$ 可以被描述为(<一个href="#B57">57]

l \{{}^{一个 B}D_{t}^{ζ} U (t, x, y)\} = 一个 B (ζ) 。 \frac{{年代}^{ζ} l \{U (t, x, y)\} - {年代}^{ζ - 1} U (0, x, y)}{{年代}^{ζ} (1 - ζ) + ζ}, 0 \leq ζ \leq 1 。 (7)

在这里,一个B(ζ)是一个标准化的功能。

定义7:他是分段函数的导数<在l在e-formula id="inf19"> $U (t, x, y)$ 可以定义为<一个href="#B43">43]

D_{t}^{ζ} U (t, x, y) = \frac{1}{Γ (问 - ζ)} \frac{d^{问}}{d t^{问}} \int_{t_{0}}^{t} {(G - t)}^{问 - ζ - 1} [U_{0} (G, x, y) - U (G, x, y)] d G, 问 - 1 < ζ \leq 问 。 (8)

定义8:背后的核心理念双刻度尺寸(<一个href="#B58">58,<一个href="#B59">59],它常发生在非线性问题,是,尽管自相似性很难发现在实际应用程序中,在所有尺度分形结构的自组装。双刻度尺寸允许成功创建模型的各种物理事件的描述。

定义9:巴拿赫空间 $B$ 是一个为赋范空间。∥,完成对指标来源于它的常态。

3混合算法(2 + 1)维耗散time-fractional系统

考虑一个(2 + 1)维耗散,time-fractional系统

\begin{aligned} D_{t}^{ζ} 一个 1 (t, x, y) + l [一个 r (t, x, y)] + N [一个 r (t, x, y)] - l (t, x, y) = 0, \\ D_{t}^{ζ} 一个 2 (t, x, y) + l [一个 r (t, x, y)] + N [一个 r (t, x, y)] - 米 (t, x, y) = 0, \\ D_{t}^{ζ} 一个 3 (t, x, y) + l [一个 r (t, x, y)] + N [一个 r (t, x, y)] - n (t, x, y) = 0, \\ r = 1、2、3, t > 0, \\ 问 - 1 < ζ \leq 问, \end{aligned} (9)

的初始条件

\begin{aligned} 一个 1 (0, x, y) = J 1, \\ 一个 2 (0, x, y) = J 2, \\ 一个 3 (0, x, y) = J 3, \end{aligned} (10)

的未知函数<在l在e-formula id="inf21"> $一个 1 (t, x, y)$ ,<在l在e-formula id="inf22"> $一个 2 (t, x, y)$ ,和<在l在e-formula id="inf23"> $一个 3 (t, x, y)$ time-fractional衍生品,<在l在e-formula id="inf24"> $D_{t}^{ζ}$ ,<在l在e-formula id="inf25"> $l (t, x, y)$ ,<在l在e-formula id="inf26"> $米 (t, x, y)$ ,和<在l在e-formula id="inf27"> $n (t, x, y)$ 是一些已知的函数。这些符号<在l在e-formula id="inf28"> $N$ 和<在l在e-formula id="inf29"> $l$ 分别代表非线性和线性算子。

程序将首先应用拉普拉斯变换<一个href="#e9">(9),这使

\begin{aligned} l \{D_{t}^{ζ} [一个 1 (t, x, y)]\} + l \{l [一个 r (t, x, y)] + N [一个 r (t, x, y)] - l (t, x, y)\} = 0, \\ l \{D_{t}^{ζ} [一个 2 (t, x, y)]\} + l \{l [一个 r (t, x, y)] + N [一个 r (t, x, y)] - 米 (t, x, y)\} = 0, \\ l \{D_{t}^{ζ} [一个 3 (t, x, y)]\} + l \{l [一个 r (t, x, y)] + N [一个 r (t, x, y)] - n (t, x, y)\} = 0 。 \end{aligned} (11)

现在,通过利用第二节中给出的基本定义,我们可以发现分数阶导数的拉普拉斯变换。(2)给出了定义

\begin{aligned} l [一个 1 (t, x, y)] - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} 一个 1^{(p)} (0, x, y) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r (t, x, y)] \\ + N [一个 r (t, x, y)] - l (t, x, y)\} = 0, \\ l [一个 2 (t, x, y)] - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} 一个 2^{(p)} (0, x, y) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r (t, x, y)] \\ + N [一个 r (t, x, y)] - 米 (t, x, y)\} = 0, \\ l [一个 3 (t, x, y)] - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} 一个 3^{(p)} (0, x, y) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r (t, x, y)] \\ + N [一个 r (t, x, y)] - n (t, x, y)\} = 0 。 \end{aligned} (12)

系统的同伦

\begin{aligned} H_{1} = (1 - 年代) (l \{一个 1 (t, x, y)\} - 一个 1_{0} (t, x, y)) + 年代 (l \{一个 1 (t, x, y)\} - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} \\ 一个 1^{(p)} (0, x, y) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r (t, x, y)] + N [一个 r (t, x, y)] - l (t, x, y)\}), \\ H_{2} = (1 - 年代) (l \{一个 2 (t, x, y)\} - 一个 2_{0} (t, x, y)) + 年代 (l \{一个 2 (t, x, y)\} - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} \\ 一个 2^{(p)} (0, x, y) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r (t, x, y)] + N [一个 r (t, x, y)] - 米 (t, x, y)\}), \\ H_{3} = (1 - 年代) (l \{一个 3 (t, x, y)\} - 一个 3_{0} (t, x, y)) + 年代 (l \{一个 3 (t, x, y)\} - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} \\ 一个 3^{(p)} (0, x, y) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r (t, x, y)] + N [一个 r (t, x, y)] - n (t, x, y)\}), \end{aligned} (13)

在哪里<在l在e-formula id="inf30"> $一个 1_{0}$ ,<在l在e-formula id="inf31"> $一个 2_{0}$ ,和<在l在e-formula id="inf32"> $一个 3_{0}$ 是最初的猜测。的扩张<在l在e-formula id="inf33"> $一个 1 (t, x, y)$ ,<在l在e-formula id="inf34"> $一个 2 (t, x, y)$ ,和<在l在e-formula id="inf35"> $一个 3 (t, x, y)$ 在幂级数与尊重年代导致

\begin{aligned} 一个 1 (t, x, y) = 一个 1_{0} (t, x, y) + {年代}^{1} 一个 1_{1} (t, x, y) + {年代}^{2} 一个 1_{2} (t, x, y) + \dots \\ 一个 2 (t, x, y) = 一个 2_{0} (t, x, y) + {年代}^{1} 一个 2_{1} (t, x, y) + {年代}^{2} 一个 2_{2} (t, x, y) + \dots \\ 一个 3 (t, x, y) = 一个 3_{0} (t, x, y) + {年代}^{1} 一个 3_{1} (t, x, y) + {年代}^{2} 一个 3_{2} (t, x, y) + \dots \end{aligned} (14)

后用情商。<一个href="#e14">14在<一个href="#e13">(13)然后比较的相似系数年代,我们obtainAt年代¹

\begin{aligned} l \{一个 1_{1} (t, x, y)\} + 一个 1_{0} (t, x, y) - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} 一个 1^{(p)} (0, x, y) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r_{0} (t, x, y)] \\ + N [一个 r_{0} (t, x, y)] - l (t, x, y)\} = 0, \\ l \{一个 2_{1} (t, x, y)\} + 一个 2_{0} (t, x, y) - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} 一个 2^{(p)} (0, x, y) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r_{0} (t, x, y)] \\ + N [一个 r_{0} (t, x, y)] - 米 (t, x, y)\} = 0, \\ l \{一个 3_{1} (t, x, y)\} + 一个 3_{0} (t, x, y) - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} 一个 3^{(p)} (0, x, y) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r_{0} (t, x, y)] \\ + N [一个 r_{0} (t, x, y)] - n (t, x, y)\} = 0 。 \end{aligned} (15)

导致拉普拉斯逆变换

\begin{aligned} 一个 1_{1} (t, x, y) {+ l}^{- 1} \{一个 1_{0} (t, x, y) - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} 一个 1^{(p)} (0, x, y)\} {+ l}^{- 1} \{(\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \\ l {l [一个 r_{0} (t, x, y)] + N [一个 r_{0} (t, x, y)] - l (t, x, y)} = 0, \\ 一个 2_{1} (t, x, y) {+ l}^{- 1} \{一个 2_{0} (t, x, y) - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} 一个 2^{(p)} (0, x, y)\} {+ l}^{- 1} \{(\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \\ l \{l [一个 r_{0} (t, x, y)] + N [一个 r_{0} (t, x, y)] - 米 (t, x, y)} = 0, \\ 一个 3_{1} (t, x, y) {+ l}^{- 1} \{一个 3_{0} (t, x, y) - (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \sum_{p = 0}^{问 - 1} {年代}^{ζ - p - 1} 一个 3^{(p)} (0, x, y)\} {+ l}^{- 1} \{(\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \\ l \{l [一个 r_{0} (t, x, y)] + N [一个 r_{0} (t, x, y)] - n (t, x, y)} = 0 。 \end{aligned} (16)

在年代^k

\begin{aligned} l \{一个 1_{k} (t, x, y)\} + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r_{k - 1} (t, x, y)] + N [一个 r_{k - 1} (t, x, y)]\} = 0, \\ l \{一个 2_{k} (t, x, y)\} + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r_{k - 1} (t, x, y)] + N [一个 r_{k - 1} (t, x, y)]\} = 0, \\ l \{一个 3_{k} (t, x, y)\} + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r_{k - 1} (t, x, y)] + N [一个 r_{k - 1} (t, x, y)]\} = 0 。 \end{aligned} (17)

操作给出了拉普拉斯逆变换:

\begin{aligned} 一个 1_{k} (t, x, y) {+ l}^{- 1} \{(\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r_{k - 1} (t, x, y)] + N [一个 r_{k - 1} (t, x, y)]\}\} = 0, \\ 一个 2_{k} (t, x, y) {+ l}^{- 1} \{(\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r_{k - 1} (t, x, y)] + N [一个 r_{k - 1} (t, x, y)]\}\} = 0, \\ 一个 3_{k} (t, x, y) {+ l}^{- 1} \{(\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{l [一个 r_{k - 1} (t, x, y)] + N [一个 r_{k - 1} (t, x, y)]\}\} = 0 。 \end{aligned} (18)

的近似解给出通用time-fractional(2 + 1)维PDE系统

\begin{aligned} \tilde{一个} 1 & = 一个 1_{0} (t, x, y) + 一个 1_{1} (t, x, y) + 一个 1_{2} (t, x, y) + 一个 1_{3} (t, x, y) + \dots, \\ \tilde{一个} 2 & = 一个 2_{0} (t, x, y) + 一个 2_{1} (t, x, y) + 一个 2_{2} (t, x, y) + 一个 1_{3} (t, x, y) + \dots, \\ \tilde{一个} 3 & = 一个 3_{0} (t, x, y) + 一个 3_{1} (t, x, y) + 一个 3_{2} (t, x, y) + 一个 3_{3} (t, x, y) + \dots 。 \end{aligned} (19)

剩余的系统错误

\begin{aligned} R e 年代 1 & = D_{t}^{ζ} [\tilde{一个} 1] + l [\tilde{一个} r] + N [\tilde{一个} r] - l (t, x, y), \\ R e 年代 2 & = D_{t}^{ζ} [\tilde{一个} 2] + l [\tilde{一个} r] + N [\tilde{一个} r] - 米 (t, x, y), \\ R e 年代 3 & = D_{t}^{ζ} [\tilde{一个} 3] + l [\tilde{一个} r] + N [\tilde{一个} r] - n (t, x, y) 。 \end{aligned} (20.)

同样的程序可以扩展到一个系统,包括超过三个方程。

4混合算法的收敛性和误差分析(2 + 1)维分级系统

4.1收敛

定理1:如果巴拿赫空间<在l在e-formula id="inf36"> $一个 r_{n} (t, x, y)$ 和<在l在e-formula id="inf37"> $一个 r (t, x, y)$ 中定义了r= 1,2,3,分数的级数解(2 + 1)- d系统在情商。<一个href="#e19">19收敛于问题的解决<一个href="#e9">(9)为一个常数μϵ(0,1)。

证明:让我们定义的序列部分和的情商。<一个href="#e19">19作为问r_n。证明问r_n(t,x,y巴拿赫空间)形成一个柯西序列,我们可以继续使用

\begin{aligned} 为 问 r_{n + 1} (t, x, y) - 问 r_{n} (t, x, y) 为 & = 为 一个 r_{n + 1} (t, x, y) 为 \\ \leq μ 为 一个 r_{n} (t, x, y) 为 \\ \leq μ^{2} 为 一个 r_{n - 1} (t, x, y) 为 \\ \leq \dots \leq μ^{n + 1} 为 一个 r_{0} (t, x, y) 为 。 \end{aligned} (21)

如果问r_n和问r_米有部分和n≥米和n,米ϵN,然后利用三角不等式

\begin{aligned} 为 问 r_{n} - 问 r_{米} 为 = 为 (问 r_{n} (t, x, y) - 问 r_{n - 1} (t, x, y)) + (问 r_{n - 1} (t, x, y) - 问 r_{n - 2} (t, x, y)) \\ + \dots + (问 r_{米 + 1} (t, x, y) - 问 r_{米} (t, x, y)) 为 \\ \leq 为 问 r_{n} (t, x, y) - 问 r_{n - 1} (t, x, y) 为 + 为 问 r_{n - 1} (t, x, y) - 问 r_{n - 2} (t, x, y) 为 \\ + \dots + 为 问 r_{米 + 1} (t, x, y) - 问 r_{米} (t, x, y) 为 。 \end{aligned} (22)

从情商。<一个href="#e21">21,我们得到

\begin{aligned} 为 问 r_{n} - 问 r_{米} 为 & \leq μ^{n} 为 一个 r_{0} (t, x, y) 为 + μ^{n - 1} 为 一个 r_{0} (t, x, y) 为 + \dots + μ^{米 + 1} 为 一个 r_{0} (t, x, y) 为 \\ \leq (μ^{n} + μ^{n - 1} + \dots + μ^{米 + 1}) 为 一个 r_{0} (t, x, y) 为 \\ \leq μ^{米 + 1} (μ^{n - 米 - 1} + μ^{n - 米 - 2} + \dots + μ + 1) 为 一个 r_{0} (t, x, y) 为 \\ \leq μ^{米 + 1} (\frac{1 - μ^{n - 米}}{1 - μ}) 为 一个 r_{0} (t, x, y) 为 。 \end{aligned} (23)

考虑到0<在l在e-formula id="inf38"> $< μ <$ 1,因此,1−μ^n−米< 1。因此,我们有

\begin{aligned} 为 问 r_{n} - 问 r_{米} 为 \leq \frac{μ^{米 + 1}}{1 - μ} 马克斯 | 一个 r_{0} (t, x, y) |, \forall t ϵ [0, T] 。 \end{aligned} (24)

自<在l在e-formula id="inf39"> $一个 r_{0}$ 是有界的,所以

\lim_{n, 米 \to \infty} 为 问 r_{n} (t, x, y) - 问 r_{米} (t, x, y) 为 = 0 。 (25)

因此,问r_n(t,x,y巴拿赫空间)是一个柯西序列,因此,证明了给定的语句。

4.2误差估计

定理1:一个可以确定的最大绝对截断误差的解决方案<一个href="#e19">(19)分数(2 + 1)维耗散系统(9)通过使用以下表达式:

|一个 r (t, x, y) - \sum_{j = 0}^{米} 一个 r_{j} (t, x, y)| \leq \frac{μ^{米 + 1}}{1 - μ} 为 一个 r_{0} (t, x, y) 为 。 (26)

证明:从情商。<一个href="#e23">23,我们有

为 一个 r (t, x, y) - 问 r_{米} 为 \leq μ^{米 + 1} (\frac{1 - μ^{n - 米}}{1 - μ}) 为 一个 r_{0} (t, x, y) 为 。 (27)

从0<在l在e-formula id="inf40"> $< μ <$ 1,因此,1−μ^n−米< 1。因此,我们有

|一个 r (t, x, y) - \sum_{j = 0}^{米} 一个 r_{j} (t, x, y)| \leq \frac{μ^{米 + 1}}{1 - μ} 为 一个 r_{0} (t, x, y) 为 。 (28)

5解决方案和分析time-fractional Wu-Zhang系统

考虑下面的耦合time-fractional(2 + 1)维WZ系统(<一个href="#B39">39]:

\begin{aligned} \frac{\partial^{ζ} U}{\partial t^{ζ}} + U \frac{\partial U}{\partial x} + V \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial x} = 0, \\ \frac{\partial^{ζ} V}{\partial t^{ζ}} + U \frac{\partial V}{\partial x} + V \frac{\partial V}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial y} = 0, \\ \frac{\partial^{ζ} W}{\partial t^{ζ}} + \frac{\partial (U W)}{\partial x} + \frac{\partial (V W)}{\partial y} + \frac{1}{3} (\frac{\partial^{3} U}{\partial x^{3}} + \frac{\partial^{3} U}{\partial x \partial y^{2}} + \frac{\partial^{3} V}{\partial x^{2} \partial y} + \frac{\partial^{3} V}{\partial y^{3}}) = 0, 0 < ζ \leq 1 \end{aligned} (29日)

的初始条件

\begin{aligned} U (0, x, y) & = - \frac{d + 一个 c}{b} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} b 双曲正切 (b x + c y), \\ V (0, x, y) & = 一个 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} c 双曲正切 (b x + c y), \\ W (0, x, y) & = \frac{2}{3} (b^{2} + c^{2}) {双曲正割}^{2} (b x + c y), \end{aligned} (30.)

在哪里<在l在e-formula id="inf41"> $U$ 和<在l在e-formula id="inf42"> $V$ 代表着速度在水的表面x和y方向,分别<在l在e-formula id="inf43"> $W$ 描述了水波的高程。一个,b,c,d是零的任意常数。确切的解决方案<一个href="#e29">(29)在ζ= 1

\begin{aligned} U (t, x, y) & = - \frac{d + 一个 c}{b} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} b 双曲正切 (b x + c y + d t), \\ V (t, x, y) & = 一个 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} c 双曲正切 (b x + c y + d t), \\ W (t, x, y) & = \frac{2}{3} (b^{2} + c^{2}) {双曲正割}^{2} (b x + c y + d t) 。 \end{aligned} (31日)

解决方案:He-Laplace过程的第一步是两边的应用拉普拉斯变换的情商。<一个href="#e29">29日,这使

\begin{aligned} l \{\frac{\partial^{ζ} U}{\partial t^{ζ}}\} + l \{U \frac{\partial U}{\partial x} + V \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial x}\} = 0, \\ l \{\frac{\partial^{ζ} V}{\partial t^{ζ}}\} + l \{U \frac{\partial V}{\partial x} + V \frac{\partial V}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial y}\} = 0, \\ l \{\frac{\partial^{ζ} W}{\partial t^{ζ}}\} + l \{\frac{\partial (U W)}{\partial x} + \frac{\partial (V W)}{\partial y} + \frac{1}{3} (\frac{\partial^{3} U}{\partial x^{3}} + \frac{\partial^{3} U}{\partial x \partial y^{2}} + \frac{\partial^{3} V}{\partial x^{2} \partial y} + \frac{\partial^{3} V}{\partial y^{3}})\} = 0 。 \end{aligned} (32)

利用拉普拉斯变换在卡普托time-fractional导数(2)导致

\begin{align} l \{U (t, x, y)\} & - \frac{1}{年代} (- \frac{d + 一个 c}{b} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} b 双曲正切 (b x + c y)) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{U \frac{\partial U}{\partial x} + V \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial x}\} = 0, l \{V (t, x, y)\} \\ - \frac{1}{年代} (一个 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} c 双曲正切 (b x + c y)) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{U \frac{\partial V}{\partial x} + V \frac{\partial V}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial y}\} = 0, l \{W (t, x, y)\} \\ - \frac{1}{年代} (\frac{2}{3} (b^{2} + c^{2}) {双曲正割}^{2} (b x + c y)) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) \times l \{\frac{\partial (U W)}{\partial x} + \frac{\partial (V W)}{\partial y} + \frac{1}{3} (\frac{\partial^{3} U}{\partial x^{3}} + \frac{\partial^{3} U}{\partial x \partial y^{2}} + \frac{\partial^{3} V}{\partial x^{2} \partial y} + \frac{\partial^{3} V}{\partial y^{3}})\} = 0 。 \end{align} (33)

我们构造同伦提到的系统

\begin{aligned} H_{1} = (1 - p) (l \{U (t, x, y)\} - U_{0} (t, x, y)) + p (l \{U (t, x, y)\} - \frac{1}{年代} (- \frac{d + 一个 c}{b} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \\ b 双曲正切 (b x + c y)) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{U \frac{\partial U}{\partial x} + V \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial x}\}), \\ H_{2} = (1 - p) (l \{V (t, x, y)\} - V_{0} (t, x, y)) + p (l \{V (t, x, y)\} - \frac{1}{年代} (一个 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} c \\ 双曲正切 (b x + c y)) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{U \frac{\partial V}{\partial x} + V \frac{\partial V}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial y}\}), \\ H_{3} = (1 - p) (l \{W (t, x, y)\} - W_{0} (t, x, y)) + p (l \{W (t, x, y)\} - \frac{1}{年代} (\frac{2}{3} (b^{2} + c^{2}) \\ {双曲正割}^{2} (b x + c y)) + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{\frac{\partial (U W)}{\partial x} + \frac{\partial (V W)}{\partial y} + \frac{1}{3} (\frac{\partial^{3} U}{\partial x^{3}} + \frac{\partial^{3} U}{\partial x \partial y^{2}} + \frac{\partial^{3} V}{\partial x^{2} \partial y} + \frac{\partial^{3} V}{\partial y^{3}})\}), \end{aligned} (34)

在哪里<在l在e-formula id="inf44"> $U_{0} (t, x, y)$ ,<在l在e-formula id="inf45"> $V_{0} (t, x, y),$ 和<在l在e-formula id="inf46"> $W_{0} (t, x, y)$ 最初的猜测。

\begin{aligned} U_{0} (t, x, y) & = - \frac{d + 一个 c}{b} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} b 双曲正切 (b x + c y), \\ V_{0} (t, x, y) & = 一个 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} c 双曲正切 (b x + c y), \\ W_{0} (t, x, y) & = \frac{2}{3} (b^{2} + c^{2}) {双曲正割}^{2} (b x + c y) 。 \end{aligned} (35)

在下一步中,我们将扩大<在l在e-formula id="inf47"> $U (t, x, y)$ ,<在l在e-formula id="inf48"> $V (t, x, y),$ 和<在l在e-formula id="inf49"> $W (t, x, y)$ 在对泰勒级数形式p作为

\begin{aligned} U (t, x, y) & = \sum_{米 = 1}^{\infty} p^{米} U_{米}, \\ V (t, x, y) & = \sum_{米 = 1}^{\infty} p^{米} V_{米}, \\ W (t, x, y) & = \sum_{米 = 1}^{\infty} p^{米} W_{米} 。 \end{aligned} (36)

情商的替换。<一个href="#e36">36为情商。<一个href="#e34">34然后比较相似系数对pgivesthe一阶问题

\begin{aligned} l \{U_{1} (t, x, y)\} + U_{0} (t, x, y) - \frac{1}{年代} (- \frac{d + 一个 c}{b} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} b 双曲正切 (b x + c y)) \\ + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{U_{0} \frac{\partial U_{0}}{\partial x} + V_{0} \frac{\partial U_{0}}{\partial y} + \frac{\partial W_{0}}{\partial x}\} = 0, \\ l \{V_{1} (t, x, y)\} - V_{0} (t, x, y) - \frac{1}{年代} (一个 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} c 双曲正切 (b x + c y)) \\ + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{U_{0} \frac{\partial V_{0}}{\partial x} + V_{0} \frac{\partial V_{0}}{\partial y} + \frac{\partial W_{0}}{\partial y}\} = 0, \\ l \{W_{1} (t, x, y)\} - W_{0} (t, x, y) - \frac{1}{年代} (\frac{2}{3} (b^{2} + c^{2}) {双曲正割}^{2} (b x + c y)) \\ + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{\frac{\partial U_{0} W_{0}}{\partial x} + \frac{\partial V_{0} W_{0}}{\partial y} + \frac{1}{3} (\frac{\partial^{3} U_{0}}{\partial x^{3}} + \frac{\partial^{3} U_{0}}{\partial x \partial y^{2}} + \frac{\partial^{3} V_{0}}{\partial x^{2} \partial y} + \frac{\partial^{3} V_{0}}{\partial y^{3}})\} = 0, \end{aligned} (37)

与条件

\begin{aligned} U_{1} (0, x, y) & = 0, \\ V_{1} (0, x, y) & = 0, \\ W_{1} (0, x, y) & = 0 。 \end{aligned} (38)

通过操作拉普拉斯逆变换,解决方案在一阶

\begin{aligned} U_{1} (t, x, y) & = - \frac{4 b d^{2} t^{2 ζ} 双曲正切 (b x + c y) {双曲正割}^{2} (b x + c y)}{\sqrt{3} Γ (2 ζ + 1)}, \\ V_{1} (t, x, y) & = - \frac{4 c d^{2} t^{2 ζ} 双曲正切 (b x + c y) {双曲正割}^{2} (b x + c y)}{\sqrt{3} Γ (2 ζ + 1)}, \\ W_{1} (t, x, y) & = \frac{4 (b^{2} + c^{2}) d^{2} t^{2 ζ} (\cosh (2 (b x + c y)) - 2) {双曲正割}^{4} (b x + c y)}{3 Γ (2 ζ + 1)} 。 \end{aligned} (39)

二阶的问题是

\begin{aligned} l \{U_{2} (t, x, y)\} + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{U_{1} \frac{\partial U_{1}}{\partial x} + V_{1} \frac{\partial U_{1}}{\partial y} + \frac{\partial W_{1}}{\partial x}\} = 0, \\ l \{V_{2} (t, x, y)\} + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{U_{1} \frac{\partial V_{1}}{\partial x} + V_{1} \frac{\partial V_{1}}{\partial y} + \frac{\partial W_{1}}{\partial y}\} = 0, \\ l \{W_{2} (t, x, y)\} + (\frac{1}{{年代}^{ζ}}) l \{\frac{\partial U_{1} W_{1}}{\partial x} + \frac{\partial V_{1} W_{1}}{\partial y} + \frac{1}{3} (\frac{\partial^{3} U_{1}}{\partial x^{3}} + \frac{\partial^{3} U_{1}}{\partial x \partial y^{2}} + \frac{\partial^{3} V_{1}}{\partial x^{2} \partial y} + \frac{\partial^{3} V_{1}}{\partial y^{3}})\} = 0 \end{aligned} (40)

有条件

\begin{aligned} U_{2} (0, x, y) & = 0, \\ V_{2} (0, x, y) & = 0, \\ W_{2} (0, x, y) & = 0 。 \end{aligned} (41)

拉普拉斯变换的逆

\begin{aligned} U_{2} (t, x, y) & = \frac{2 b d t^{ζ} {双曲正割}^{2} (b x + c y)}{\sqrt{3} Γ (ζ + 1)}, \\ V_{2} (t, x, y) & = \frac{2 c d t^{ζ} {双曲正割}^{2} (b x + c y)}{\sqrt{3} Γ (ζ + 1)}, \\ W_{2} (t, x, y) & = - t^{ζ} (\frac{4}{3} d b^{2} 双曲正切 (b x + c y) {双曲正割}^{2} (b x + c y) + \frac{4}{3} c^{2} \\ d 双曲正切 (b x + c y) {双曲正割}^{2} (b x + c y))/ Γ (ζ + 1) 。 \end{aligned} (42)

同样的程序适用于高阶问题。因此,近似解的高阶(2 + 1)维Wu-Zhang系统可以获得的

\begin{aligned} \tilde{U} & = \sum_{米 = 0}^{\infty} U_{米} (t, x, y), \\ \tilde{V} & = \sum_{米 = 0}^{\infty} V_{米} (t, x, y), \\ \tilde{W} & = \sum_{米 = 0}^{\infty} W_{米} (t, x, y) 。 \end{aligned} (43)

代替近似的解决方案(43)在给定的系统(29日),我们获得剩余错误

\begin{aligned} R 1 = \frac{\partial^{ζ} \tilde{U}}{\partial t^{ζ}} + \tilde{U} \frac{\partial \tilde{U}}{\partial x} + \tilde{V} \frac{\partial \tilde{U}}{\partial y} + \frac{\partial \tilde{W}}{\partial x}, \\ R 2 = \frac{\partial^{ζ} \tilde{V}}{\partial t^{ζ}} + \tilde{U} \frac{\partial \tilde{V}}{\partial x} + \tilde{V} \frac{\partial \tilde{V}}{\partial y} + \frac{\partial \tilde{W}}{\partial y}, \\ R 3 = \frac{\partial^{ζ} \tilde{W}}{\partial t^{ζ}} + \frac{\partial \tilde{U} \tilde{W}}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{V} \tilde{W}}{\partial y} + \frac{1}{3} (\frac{\partial^{3} \tilde{U}}{\partial x^{3}} + \frac{\partial^{3} \tilde{U}}{\partial x \partial y^{2}} + \frac{\partial^{3} \tilde{V}}{\partial x^{2} \partial y} + \frac{\partial^{3} \tilde{V}}{\partial y^{3}}) 。 \end{aligned} (44)

6的结果和讨论

本研究的目的是提出一个新的孤波解的非线性time-fractional Wu-Zhang系统。本(2 + 1)维耗散系统描述长色散波的现象。当前部分集中在WZ体系的数值和图形结果通过混合方法利用同伦摄动与拉普拉斯变换,这被称为He-Laplace算法(方法)。最初,解决方案通过He-Laplace捕获算法,考虑在卡普托分数阶导数意义。然后结果分析部分和整体订单。<一个href="#T1">表1描述了残差<在l在e-formula id="inf50"> $U, V, W$ 以及整个系统各部分参数值的错误。这些错误显然表明提出的方法的可靠性在完整的分数域。也观察到错误时减少部分参数的方法。

表1

表1。He-Laplace不同值的错误ζ,当一个=d= 0.13,b= 0.11,c= 0.12,x= 3,y= 6。在这里,<在l在e-formula id="inf51"> $R_{u}$ ,<在l在e-formula id="inf52"> $R_{v}$ ,<在l在e-formula id="inf53"> $R_{w}$ ,和<在l在e-formula id="inf54"> $R$ 代表剩余的错误<在l在e-formula id="inf55"> $U$ ,<在l在e-formula id="inf56"> $V$ ,<在l在e-formula id="inf57"> $W$ ,和系统错误。

表2显示通过He-Laplace和其他方法的比较结果的整数秩序ζ= 1。这数值的比较表明,He-Laplace超过其他提到的计划准确性。<一个href="#F1">图1描述了He-Laplace WZ系统的解决方案在3 d整数秩序。这在WZ体系图解积分法证实,表面水速度x和y方向是非常高的,而海拔在水波随时间而减小。误差分析ζ= 0.4,0.8,1可以看到3 d结构<一个href="#F2">图2为<在l在e-formula id="inf62"> $U$ ,<在l在e-formula id="inf63"> $V,$ 和<在l在e-formula id="inf64"> $W,$ 分别。在ζ= 1,错误是小比ζ= 0.8,同样可以观察到的ζ= 0.4。

表2

表2。错误He-Laplace算法与其他方法的比较,当ζ= 1,一个=b= 0.1,c=d= 0.01,t= 5,y= 20。

图1

图1。He-Laplace的图形演示解决方案ζ= 1,一个=c= 2,b=d= 1,t= 2。

图2

图2。在不同的部分参数值误差分析ζ,当一个=c= 0.2,b=d= 0.1,t= 2。

水面上的部分参数的影响,描述了<一个href="#F3">图3。研究结果表明上升ζ导致水的减少表面速度,在x和y的方向。然而,水波高程<在l在e-formula id="inf68"> $(W)$ 在这种情况下显示逆行为。比较分析不同的分数导数方法(Atangana-Baleanu Caputo-Fabrizio,卡普托)在解决方案概要文件中可以看到<一个href="#F4">图4。这个图的分析结果表明,水表面速度最高的Atangana-Baleanu分级方法相比卡普托和Caputo-Fabrizio分级方法。另一方面,<在l在e-formula id="inf69"> $W$ 描述了相反的行为相比<在l在e-formula id="inf70"> $U$ 和<在l在e-formula id="inf71"> $V$ 。

图3

图3。部分参数的影响ζ在水表面水平,当一个= 0.8,c= 0.9,b=d= 0.7,y= 3,x= 2。

图4

图4。比较卡普托、Caputo-Fabrizio Atangana-Baleanu分数导数方法在解决方案的资料,什么时候一个= 0.6,b= 0.8,c= 0.9,d= 0.7,y= 2,x= 5。

7结论

在本文中,提出了一种混合方法来解决和分析高度非线性time-fractional(2 + 1)维耗散WZ体系,这是著名的捕捉长时间色散波。同伦摄动的混合方法结合拉普拉斯变换以及不同的分数阶导数提出的解决方案和分析部分WZ体系。获得解决方案的效率检查整个分数域显示提出的方法的有效性和收敛性。误差分析也进行比较与其他著名的数值方法,证实了该方法的效率。图形化分析表明,水表面速度增加,而表面海拔降低,当部分参数增加。也有人指出Atangana-Baleanu方法振奋水速度x和y方向比卡普托和Caputo-Fabrizio方法。分析结果还得出结论,该方法是一种可靠的技术,它可以扩展到更复杂的分级系统。

数据可用性声明

最初的贡献提出了研究中都包含在这篇文章/补充材料;进一步询问可以针对相应的作者。

作者的贡献

概念化:MQ。数据管理:EA。正式的分析:圣验证:EA。原创作品草案:MQ和SS Writing-review编辑:HA和SA。所有作者的文章和批准提交的版本。

资金

这个项目是由沙特国王大学,利雅得,沙特阿拉伯。

确认

研究支持项目数量(RSP2023R167),沙特国王大学,利雅得,沙特阿拉伯。

的利益冲突

作者声明,这项研究是在没有进行任何商业或财务关系可能被视为一个潜在的利益冲突。

出版商的注意

本文表达的所有索赔仅代表作者,不一定代表的附属组织,或那些出版商编辑和评论员。任何产品,可以评估在这篇文章中,或声称,可能是由其制造商,不保证或认可的出版商。

缩写

WZ Wu-Zhang;DEs,微分方程;pde,偏微分方程;fd,分数微分方程;HPM,同伦摄动方法;高级别,He-Laplace方法;mVIM、修改变化迭代法;mADM、修改Adomian分解方法;FRDTM,分数降低微分变换方法。

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命名法

关键词:Wu-Zhang系统,分数阶系统,同伦摄动,拉普拉斯变换,卡普托,Atangana-Baleanu Caputo-Fabrizio

引用:Qayyum M, Ahmad E,总会有赛义德年代,Ahmad Askar年代(2023)H和同伦摄动方法孤子解time-fractional(2 + 1)维Wu-Zhang系统描述长分散重力水波浪在海洋。前面。理论物理。11:1178154。doi: 10.3389 / fphy.2023.1178154

收到:2023年3月02;<年代p一个n>接受:2023年4月20日;
<年代p一个n>发表:2023年6月02。

编辑:

Ji-Huan他苏州大学,中国

审核:

Guangqing冯,河南理工大学,中国
<一个href="//www.thespel.com/loop/people/2085903/overview">Naveed Anjum政府学院大学,费萨尔巴德,巴基斯坦

版权©2023加尤姆表示艾哈迈德,总会有赛义德·艾哈迈德·阿。这是一个开放分布式根据文章<一个rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" target="_blank">知识共享归属许可(CC)。使用、分发或复制在其他论坛是允许的,提供了原始作者(年代)和著作权人(s)认为,最初发表在这个期刊引用,按照公认的学术实践。没有使用、分发或复制是不符合这些条件的允许。

*通信:汉志艾哈迈德,<一个href="mailto:ahmad.hijaz@uninettuno.it">ahmad.hijaz@uninettuno.it

原始研究的文章

同伦摄动方法孤子解time-fractional(2 + 1)维Wu-Zhang系统描述长分散重力水波浪在海洋

1介绍

2基本定义

3混合算法(2 + 1)维耗散time-fractional系统

4混合算法的收敛性和误差分析(2 + 1)维分级系统

4.1收敛

4.2误差估计

5解决方案和分析time-fractional Wu-Zhang系统

6的结果和讨论

7结论

数据可用性声明

作者的贡献

资金

确认

的利益冲突

出版商的注意

缩写

引用

命名法

本文是研究课题的一部分

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