雷竞技rebat前沿|建设C1理性Bi-Quartic Positivity-Preserving插值样条:数值结果和分析</t我tle><l在khref="https://209cd62b0febf2a55d40-715eb384bc6027b876e93ad33d5c5ec3.ssl.cf3.rackcdn.com/font-awesome-4.3.0/css/font-awesome.min.css" rel="stylesheet"> <link href="https://9d0dd7a648345f19af83-877d2ecaf11b88d5e17327c758e17ef6.ssl.cf2.rackcdn.com/museo-sans-1.0.1/css/museo-sans.css" rel="stylesheet"> <style type="text/css"> .journal-physics { background: #fff url('https://3718aeafc638f96f5bd6-d4a9ca15fc46ba40e71f94dec0aad28c.ssl.cf1.rackcdn.com/journal-physics.png') no-repeat 100% -80px; background-size: 49%; } /* Displays/Screens (e.g. 19" WS @ 1440x900) --------------- */ @media only screen and (max-width: 1649px) { .journal-physics { background: #fff url('https://3718aeafc638f96f5bd6-d4a9ca15fc46ba40e71f94dec0aad28c.ssl.cf1.rackcdn.com/journal-physics.png') no-repeat 110% 0px; background-size: 48%; }} /* Displays/Screens (e.g. MacBook @ 1280x800) -------------- */ @media only screen and (max-width: 1409px) { 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class="dropdown-toggle" data-test-id="download-button" data-toggle="dropdown" role="button" aria-expanded="false"><span class="icon-label" data-event="download-button-click">下载文章</年代pan></button> <div class="dropdown-menu-wrapper"> <div class="dropdown-menu-mobile-title"> 下载文章</d我v> <ul class="dropdown-menu" role="menu"> <li><a class="download-files-pdf action-link" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fphy.2021.555517/pdf" data-test-id="article-downloadpdf" data-event="downloadpdf-button-click" id="download_article">下载</一个></l我><l我><a class="download-files-readcube" href="http://www.readcube.com/articles/10.3389/fphy.2021.555517" data-test-id="article-viewenhancedpdf" data-event="downloadreadcube-button-click" id="download_article">ReadCube</一个></l我><l我><a class="download-files-epub" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fphy.2021.555517/epub" data-test-id="article-epub" data-event="downloadepub-button-click" id="download_article">EPUB</一个></l我><l我><a class="download-files-nlm" 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data-test-id="article-simpletextfile" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fphy.2021.555517/text" data-event="simpletextfiledownload-button-click">简单的文本文件</一个></l我><l我><a data-test-id="article-bibtex" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fphy.2021.555517/bibTex" data-event="bibtexdownload-button-click">助理</一个></l我></ul> <button class="dropdown-menu-mobile-close-button" aria-label="Close" data-toggle="dropdown"></button> </div></li> </ul> </div> <div class="stats-container"> <div class="divide-container"> <div class="flex-container-metrics"> <ul class="nav"> <li class="impact-data" id="views-section" style="display:none"><span class="views-count" id="views-count"></span><span class="title-views">总观点</年代pan></li> <li class="impact-data" id="downloads-section" style="display:none"><span class="views-count" id="downloads-count"></span><span class="title-views">下载</年代pan></li> <li class="impact-data" id="citations-section" style="display:none"><span class="views-count" id="citations-count"></span><span class="title-views">引用</年代pan></li> </ul> <div class="infoPopover" id="infoPopover" style="display:none"> <div role="button" class="infoPopover__trigger"></div> <div class="infoPopover__content"> <p>2023年5月,边界采用计雷竞技rebat数器5兼容的一个新的报告平台,符合行业标准。</p> <a href="https://blog.frontiersin.org/2023/05/16/open-access-publisher-frontiers-moves-to-a-new-article-metric-platform-counter/" target="_blank">阅读更多</一个><d我v role="button" class="infoPopover__close"></div> </div> </div> </div> <div class="articleImpact" id="article-impact"> <span class="borderLine"></span> <a class="articleImpact--url" data-test-id="view-article-impact" data-event="impact-button-click" href="http://loop-impact.frontiersin.org/impact/article/555517" target="_blank">查看文章的影响</一个></d我v> </div> <div class="side-article-impact"> <ul class="nav"> <li class="altmetric-wrapper"> <div class="altmetric-embed" data-badge-type="donut" data-event="altmetric-button-click" data-badge-popover="bottom" data-doi="10.3389/fphy.2021.555517" data-condensed="true" data-link-target="new"></div><a class="altmetricScore_url" href="https://www.altmetric.com/details/doi/10.3389/fphy.2021.555517" target="_blank">视图altmetric得分</一个></l我></ul> </div> </div> <aside id="anchors" class="pull-left table-of-contents side-article"> <div class="side-people hidden-sm hidden-xs"> <section class="side-article-editors"> <header> <h5 class="like-h4">编辑</h5></he一个der><一个class="authors" href="https://loop.frontiersin.org/people/73058/overview" target="_blank"><img alt="" class="pr5 pull-left" onerror="this.src = '/Areas/Articles/Images/Frontiers/Common/Profile/default-loop-profile.jpg'" src="https://loop.frontiersin.org/images/profile/73058/24"><h6 class="author-link-aside">亚历克斯·汉森</h6></一个><d我v class="clearfix"></div> <p><span class="notes">挪威科技大学、挪威</年代pan></p> <header> <h5 class="like-h4">看过的</h5></he一个der><一个class="authors" href="https://loop.frontiersin.org/people/889600/overview" target="_blank"><img alt="" class="pr5 pull-left" onerror="this.src = '/Areas/Articles/Images/Frontiers/Common/Profile/default-loop-profile.jpg'" src="https://loop.frontiersin.org/images/profile/889600/24"><h6 class="author-link-aside">阿卜杜勒·加法尔</h6></一个><d我v class="clearfix"></div> <p><span class="notes">吨Duc Thang大学越南</年代pan></p> <a class="authors" href="https://loop.frontiersin.org/people/922453/overview" target="_blank"><img alt="" class="pr5 pull-left" onerror="this.src = '/Areas/Articles/Images/Frontiers/Common/Profile/default-loop-profile.jpg'" src="https://loop.frontiersin.org/images/profile/922453/24"><h6 class="author-link-aside">默罕默德阿巴斯</h6></一个><d我v class="clearfix"></div> <p><span class="notes">萨戈达大学巴基斯坦</年代pan></p> </section> </div> <nav> <header> <h5 class="like-h4" style="padding-top: 14px; padding-left: 6px; margin-bottom: 6px;">表的内容</h5></he一个der><ul class="nav nav-list list-unstyled contents" data-event="toc-link-click"> <li> <ul class="flyoutJournal"> <li><a href="#h1">文摘</一个></l我><l我><a href="#h2">介绍</一个></l我><l我><a href="#h3">材料和方法</一个></l我><l我><a href="#h4">Positivity-Preserving插值</一个></l我><l我><a href="#h5">结果与讨论</一个></l我><l我><a href="#h6">结论</一个></l我><l我><a href="#h7">数据可用性声明</一个></l我><l我><a href="#h8">作者的贡献</一个></l我><l我><a href="#h9">资金</一个></l我><l我><a href="#h10">的利益冲突</一个></l我><l我><a href="#h11">出版商的注意</一个></l我><l我><a href="#h12">引用</一个></l我></ul></li> </ul> </nav> </aside> <div class="clearfix"></div> <div class="side-article-download side-export clearfix"> <ul class="list-unstyled list-inline clearfix"> <li class="dropdown text-center citation"><button data-target="#" data-test-id="citation-button" data-toggle="dropdown" role="button" aria-expanded="false"><span class="icon-label" data-event="citation-button-click">出口的引用</年代pan></button> <ul class="dropdown-menu" role="menu"> <li><a data-test-id="article-endnote" id="export_citation" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fphy.2021.555517/endNote" data-event="endnotedownload-button-click">尾注</一个></l我><l我><a data-test-id="article-referencemanager" id="export_citation" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fphy.2021.555517/reference" data-event="referencemanagerdownload-button-click">引用管理器</一个></l我><l我><a data-test-id="article-simpletextfile" id="export_citation" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fphy.2021.555517/text" data-event="simpletextfiledownload-button-click">简单的文本文件</一个></l我><l我><a data-test-id="article-bibtex" id="export_citation" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fphy.2021.555517/bibTex" data-event="bibtexdownload-button-click">助理</一个></l我></ul></li> </ul> </div> <div class="side-crossmark"> <a data-target="crossmark" class="crossmark"> <figure> <img id="crossmark-icon" style="border: 0; width:64px; height:64px;" src="https://crossmark-cdn.crossref.org/widget/v2.0/logos/CROSSMARK_BW_square_no_text.svg" title="" alt=""> </figure> <div id="crossmark-icon"> 检查更新</d我v></a> </div> <article class="widget-listing people-also-looked-at side-article-related hidden"> <h5 class="like-h4" data-event="peoplelookedat-link-click">人也看了</h5></一个rt我cle></aside> <main class=""> <div class="article-section"> <div class="article-container" data-html="True"> <div class="abstract-container"> <div class="article-header-container">   <div class="header-bar-one"> <h2>原始研究的文章</h2></d我v> <div class="header-bar-three-container"> <div class="header-bar-three"> 前面。理论物理。,19一个ugust 2021<br>秒。计算物理学<br><年代pan class="volumeInfo">卷9 - 2021 |</年代pan> <a href="https://doi.org/10.3389/fphy.2021.555517">https://doi.org/10.3389/fphy.2021.555517</一个></d我v> </div> </div> <div class="JournalAbstract"> <a id="h1" name="h1"></a> <h1>建设C<年代up>1</年代up>理性Bi-Quartic Positivity-Preserving插值样条:数值结果和分析</h1><d我v class="authors"> <a href="//www.thespel.com/people/u/962504" class="user-id-962504"><img class="pr5" src="https://loop.frontiersin.org/images/profile/962504/24" onerror="this.src='https://f96a1a95aaa960e01625-a34624e694c43cdf8b40aa048a644ca4.ssl.cf2.rackcdn.com/Design/Images/newprofile_default_profileimage_new.jpg'" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org">Samsul Ariffin阿卜杜勒·卡里姆</一个><年代up>1</年代up>*<年代up>__</年代up>,<我米g class="pr5" src="https://f96a1a95aaa960e01625-a34624e694c43cdf8b40aa048a644ca4.ssl.cf2.rackcdn.com/Design/Images/newprofile_default_profileimage_new.jpg" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org">Azizan Saaban<年代up>2</年代up>和<一个href="//www.thespel.com/people/u/997378" class="user-id-997378"><img class="pr5" src="https://loop.frontiersin.org/images/profile/997378/24" onerror="this.src='https://f96a1a95aaa960e01625-a34624e694c43cdf8b40aa048a644ca4.ssl.cf2.rackcdn.com/Design/Images/newprofile_default_profileimage_new.jpg'" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org">范梭阮</一个><年代up>3</年代up> </div> <ul class="notes"> <li><span><sup>1</年代up></span>基础和应用科学部门和系统工程中心(CSE)研究所的自治系统,各种大学马来西亚国家石油公司,三星依斯干达,马来西亚</l我><l我><年代pan><sup>2</年代up></span>定量科学学院,UUM CAS,马来西亚公民大学,Sintok、马来西亚</l我><l我><年代pan><sup>3</年代up></span>把大学数学系教育区,Hoa Lac高科技园区Thach病房,河内,越南</l我></ul> <p class="mb15">从观察到的数据集,我们应该能够产生曲线表面,与原始数据集具有相同的特征。例如,如果给定的数据是正的,那么由此产生的曲线或表面必须积极的在整个给定的时间间隔,即。,无处不在。在这项研究中,一个新的部分混合理性bi-quartic花键与C<年代up>1</年代up>连续性是通过部分构造的混合方案。这四个角落的有理样条曲线的定义矩形网格。理性bi-quartic花键的积极性的充分条件推导出四个边界曲线网络。有八个自由参数可用于形状修改。一阶偏导数估计通过使用数值技术。我们还表明,该方案是本地二次繁殖,这样它可以完全复制二次表面。我们测试该方案插入各种积极的表面数据。基于统计指标如均方根误差(RMSE)和确定系数(<e米>R</e米><年代up>2</年代up>),我们发现,该方案与一些建立方案。事实上,它需要更少的CPU时间(以秒为单位)来生成矩形网格上的插值曲面。此外,通过结合统计指标的结果和图形可视化的测试函数,该方法有能力重建表面比较平滑插值积极相比,现有的一些计划。这一发现是重要的生产更好的插值曲面计算机图形应用程序的自该方案与现有方案相比误差较小。</p> <div class="clear"></div> </div> <div class="JournalFullText"> <a id="h2" name="h2"></a> <h2>介绍</h2><p class="mb15">计算机辅助几何设计(用CAGD)在处理几何数据集提供了数学基础。“用CAGD”这个术语是由威尔和Riesenfeld 1974年(<一个href="#B1">1</一个>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -<一个href="#B5">5</一个>]。的一个主要工具用CAGD样条函数。介绍了样条函数勋伯格于1967年统计数据的应用程序。从那时起,样条已被广泛用于形状设计尤其是在汽车行业,在波音飞机机身和机翼的设计公司,以及发展的卡通电影。通用汽车(General Motors)首次开发了一套计算机辅助设计/计算机辅助制造(CAD / CAM)系统称为DAC-I利用样条曲线和表面技术由de粗野和戈登(<一个href="#B5">5</一个>]。此外,在某些应用程序中,数据可视化等需要重构的曲线或曲面测量或实验室收集的数据。这个任务可以通过使用插值或逼近方案。</p> <p class="mb15">用CAGD的一种保形插值是一个重要的话题,可以用来保存数据集的几何形状如积极性、凸性、单调性。例如,给予积极的数据,然后最后插值曲线或表面必须积极无处不在。任何消极意义,不可接受的。积极的一些示例数据的气体放电实验量(Brodlie和屁股<一个href="#B6">6</一个>],屁股和Brodlie [<一个href="#B7">7</一个>),Brodl我eet一个l。<一个href="#B8">8</一个>),年代一个rfr一个z et al。<一个href="#B9">9</一个>])。与此同时,monotonicity-preserving担心保护单调的数据集,即单调递增或单调递减。例如,夫妻和quasi-couples近似的统计数据和实证金融期权模型总是涉及单调数据集(<一个href="#B10">10</一个>]。血尿酸患有痛风的病人也是单调的数据的一个例子。与此同时,凸性总是出现在金融和工程学等问题最优控制,非线性编程和参数估计问题。</p> <p class="mb15">一般来说,标准的三次埃尔米特多项式和三次样条插值函数无法产生与一种保形插值曲线或曲面的性质。因此,为了满足这个弱点,许多研究人员提出了一种保形近似和插值方法。最简单的方法之一是使用有理样条函数等多种形式的立方/立方,立方/二次立方/线性和四次/二次。这些方案提供了更多的设计参数可用于修改插值曲线或曲面。在接下来的段落中,我们提供了一些文献综述positivity-preserving插值方案。</p> <p class="mb15">修改后的二次谢泼德(mq)方法已广泛用于分散数据的可视化。例如,Asim et al。<一个href="#B11">11</一个>,<一个href="#B12">12</一个>)提高了原始mq positivity-preserving在分散数据集的方法。他们的策略是减少偏离原来的形状,同时保持积极性的最小二乘法。Brodlie et al。<一个href="#B8">8</一个>)构建mq方法插入分散数据的任何维度。他们计划保存的数据曲线的积极性或表面通过迫使二次基函数是正的。他们也扩展的方法处理建模等其他类型的约束0的下界和上界1和广义约束任意函数的上下界限。但从计算结果,表明他们的计划有10%错误绑定相关的数据值。吴et al。<一个href="#B13">13</一个>]讨论了positivity-preserving曲线和表面近似使用紧支撑径向基函数和插值(CSRBFs)。保存数据的积极性,优化问题需要解决。在[<一个href="#B14">14</一个>,<一个href="#B15">15</一个>],米ulti-quadric (MQ)函数被用作quasi-interpolation运营商和CSRBFs用于构造插值函数,保存的单调性和凸性平面数据集。</p> <p class="mb15">最表面一种保形插值方法构造通过扩展Casciola和吉普赛的工作<一个href="#B16">16</一个>]。如今,他们的计划被称为部分混合理性bi-cubic功能。Brodlie和屁股<一个href="#B6">6</一个>]构造分段立方埃尔米特interpolant<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf1"> <math id="m1"> <mrow> <msup> <mi> C</米我><米n>1</米n></米年代up> <mo></mo> </mrow> </math> </inline-formula>连续性保护积极性、单调性和凸性,分别。他们的计划需要一个或两个额外的结在间隔插入形状违反导数不存在需要修改的地方。然而,这种技术会增加数据点的总数,事实上,计算时间也会增加。</p> <p class="mb15">Brodlie et al。<一个href="#B8">8</一个>]延长了对接和Brodlie [<一个href="#B7">7</一个>]理念构建positivity-preserving方案的积极面数据在一个矩形网格。第一次偏导数的充分条件和捻度值推导,得到的值将通过高效结将有效间隔插入算法。然而,他们的计划增加了不必要的计算时间。</p> <p class="mb15">施密特和赫斯(<一个href="#B17">17</一个>,<一个href="#B18">18</一个>)派生的必要和充分条件积极理性的二次样条函数和三次样条插值的积极性。施密特(<一个href="#B19">19</一个>)描述了积极,单调,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf2"> <math id="m2"> <mi> 年代</米我></米一个th></inline-formula>凸曲面插值的数据排列在矩形网格。的<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf3"> <math id="m3"> <mrow> <msup> <mi> C</米我><米n>1</米n></米年代up> </mrow> </math> </inline-formula>理性的二次样条被使用,和积极性的必要条件,单调性,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf4"> <math id="m4"> <mi> 年代</米我></米一个th></inline-formula>凸表面。但是,没有数值结果。侯赛因et al。<一个href="#B20">20.</一个>)构造<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf5"> <math id="m5"> <mrow> <msup> <mi> C</米我><米n>0</米n></米年代up> </mrow> </math> </inline-formula>一种保形表面3 d方案积极和凸表面数据。rational bi-quadratic函数有八个参数被用来构建积极和理性interpolant单调。但他们的计划是无法产生光滑的表面以及无自由参数改变最终导致插值的表面。陈和昂<一个href="#B21">21</一个>]描述了当地方案range-restricted散乱数据插值通过使用立方三角贝塞尔曲线补丁。分段插值表面是通过三个立方贝塞尔曲线的凸组合三角形补丁。的充分条件non-negativity三次贝塞尔曲线三角形的贝塞尔曲线纵坐标是派生的一个下界。梯度(一阶偏导数)在数据修改网站如果有必要,以确保non-negativity条件满足。罗和彭<一个href="#B22">22</一个>)描述了<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf6"> <math id="m6"> <mrow> <msup> <mi> C</米我><米n>1</米n></米年代up> </mrow> </math> </inline-formula>有理样条曲线的分段合理的凸组合三个立方贝塞尔曲线三角形补丁共享同一边界贝塞尔曲线纵坐标。non-negativity的充分条件是派生的边界贝塞尔曲线纵坐标相邻三角形和正常的衍生品的数据点。如果在任何三角形贴片non-negativity丢了,然后在数据点的梯度和正常的衍生品在节将被修改,以确保积极性得以保留。事实上,他们的主要方案还需要修改的一阶偏导数,如果发现形状违反正常的衍生品。</p> <p class="mb15">Piah et al。<一个href="#B23">23</一个>)改善了下界的贝塞尔曲线纵坐标获得工作的陈和昂<一个href="#B21">21</一个>)提出了一个替代方案是更简单,更轻松的积极条件。贝塞尔曲线的新下界纵坐标可以变得无限小比下界的贝塞尔曲线纵坐标(<一个href="#B21">21</一个>]。一些数值结果显示替代方案的能力。他们的方案的主要缺点是,实际的一阶偏导数需要调整是否违反了积极性在每个三角片。侯赛因和侯赛因<一个href="#B24">24</一个>)构建积极分散使用有理三次样条插值的数据定义的side-vertex方案。</p> <p class="mb15">Saaban et al。<一个href="#B25">25</一个>)构建positivity-preserving方案通过使用五次三角贝塞尔曲线补丁。表面是由使用凸组合由三个地方五次三角贝塞尔曲线补丁。他们实现该方法利用降雨收集的数据在不同气象站在西马来西亚(半岛)。</p> <p class="mb15">侯赛因et al。<一个href="#B26">26</一个>,<一个href="#B27">27</一个>]扩展rational四次样条的应用程序由小王和褐色(<一个href="#B28">28</一个>保持积极性,约束数据,和凸性。理性interpolant的视充分条件来满足一种保形性质。这是证明了女眷et al。<一个href="#B29">29日</一个>),他们可能不充分条件成功地产生积极和凸插值曲线在整个给定的时间间隔。</p> <p class="mb15">刘等人。<一个href="#B30">30.</一个>)描述了一种新的二元理性四次样条(四次/二次)的积极性,monotonicity-preserving插值。rational bi-quartic花键有四个参数,积极性和单调性的充分条件是派生的所有参数。因此,没有免费的形状参数修改。他们的性能相比方案对侯赛因和Sarfraz [<一个href="#B31">31日</一个>]positivity-preserving插值。没有错误的测量结果证明了该方案的优越性。汉(<一个href="#B32">32</一个>,<一个href="#B33">33</一个>]讨论了理性的四次样条二次分母。哈琳et al。<一个href="#B29">29日</一个>,<一个href="#B34">34</一个>,<一个href="#B35">35</一个>)构造一个新的理性四次样条(四次/二次)和三个形状参数修改。卡里姆et al。<一个href="#B31">31日</一个>,<一个href="#B36">36</一个>,<一个href="#B37">37</一个>]讨论了positivity-preserving插值和约束曲面建模通过使用rational bi-cubic与12个参数样条插值。秦et al。<一个href="#B38">38</一个>)提出了一种新的方法来获得积极理性的充分条件bi-cubic样条插值。然而,他们的方法需要额外的计算时间。</p> <p class="mb15">在本节中,我们给一个全面审查现有positivity-preserving插值的方案。<一个href="#T1">表1</一个>总结了各种一种保形插值方案的比较与我们的研究相关。</p> <div class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 表1</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t001.jpg" name="Table1" target="_blank"><img id="T1" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t001.jpg"></a> <p><strong>表1</年代trong>。一种保形的比较方案。</p> </div> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <p class="mb15">从<一个href="#T1">表1</一个>,我们推出了这项研究的主要目标。有三个主要目标给出如下:</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">1)我们与三个参数扩展rational的一元四次样条从闺房et al。<一个href="#B34">34</一个>)二元理性四次样条插值。我们采用部分混合方案由Casciola和吉普赛<一个href="#B16">16</一个>]。有三个自由参数在每个矩形网格的边界。这将给12个参数可以用来控制插值曲面的形状。</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">2)获得积极性的充分条件的理性bi-quartic花键在每个边界,我们也推导出二次多项式繁殖。</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">3)最后,比较之间的性能提出了positivity-preserving插值方案和一些建立方案,诸如阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>)和卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>),均方根误差(RMSE)和确定系数(<e米>R</e米><年代up>2</年代up>)作为测量统计拟合优度<一个href="#B53">53</一个>]。</p> <p class="mb15">此外,我们发现几个优点的部分混合理性bi-quartic positivity-preserving样条插值:</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">1)有12个参数描述的理性bi-quartic花键,和八个是免费的形状参数修改。与此同时,侯赛因和阿里<一个href="#B37">37</一个>),侯赛因和侯赛因<一个href="#B40">40</一个>),田et al。<一个href="#B41">41</一个>],年代一个rfr一个z et al。<一个href="#B9">9</一个>)计划没有自由形状参数修改。</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">2)与现有方案如卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>,阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>,<一个href="#B51">51</一个>),侯赛因和阿里<一个href="#B37">37</一个>),侯赛因和侯赛因<一个href="#B40">40</一个>),田et al。<一个href="#B41">41</一个>],年代一个rfr一个z et al。<一个href="#B9">9</一个>),该方案是本地二次繁殖。这是一个主要的新提议的方案。</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">3)基于统计指标,即。,root米e一个n年代问uare error (RMSE) and coefficient of determination (<e米>R</e米><年代up>2</年代up>),该部分混合理性bi-quartic花键的作品是最好的相比之下,阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>)和卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>]。事实上,该方案有一个较小的RMSE错误和更高<e米>R</e米><年代up>2</年代up>而Brodlie et al。的计划(<一个href="#B7">7</一个>]。</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">4)此外,该方案是直接通过细分,不涉及任何迭代计划方案讨论阿什拉夫et al。<一个href="#B43">43</一个>]。</p> <p class="mb15">本文的其余部分组织如下。<e米>材料和方法</e米>致力于材料和方法用于这项研究。这包括估计的方法首先衍生品使用算术平均法(AMM)和几何平均法(GMM),回顾rational四次样条,理性的推导bi-quartic花键,和本地控制和二次繁殖性能。与此同时,<e米>Po年代我t我vity-Preserving插值</e米>论述了建设积极理性bi-quartic样条插值在每个边界曲线网络。此外,一个有效的详细算法。<e米>结果与讨论</e米>致力于获得的结果和讨论。<e米>结论</e米>给出了结论。</p> <a id="h3" name="h3"></a> <h2>材料和方法</h2><h3cl一个年代年代="pt0">导数估计</h3><p class="mb0">在大多数应用程序中,一阶导数需要利用一些数值方法估计。三种常见方法(AMM)算术平均方法,几何平均法(GMM)和调和平均数方法(嗯)<一个href="#B54">54</一个>]。</p> <h5>算术平均法</h5><p class="mb0">给定标量数据集<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf7"> <math id="m7"> <mrow> <mo></mo> <mrow> <mo> {</米o><米row><米row><米o> (</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>:</米o><米我>我</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>n</米我></米row><米o> }</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf8"> <math id="m8"> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi> x</米我><米n>0</米n></米年代ub> <mo> <</米o><米年代ub> <mi> 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h</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> h</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</米o><米n>2</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </mfrac> <mo> ,</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>5</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <div class="equationImageholder"> <math id="e6"> <mrow> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> =</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mi> Δ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> Δ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mn> 2</米n></米fr一个c></米row> <mspace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>6</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 为<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf23"> <math id="m29"> <mrow> <mi> 我</米我><米o>=</米o><米n>1、2</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mi> j</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>米</米我></米row></米ath> </inline-formula>。第一个偏导数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf24"> <math id="m30"> <mi> y</米我></米一个th></inline-formula>方向是作为 <div class="equationImageholder"> <math id="e7"> <mrow> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米n>0</米n></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> Δ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米n>0</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> Δ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米n>0</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> Δ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米fr一个c> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mn> 1</米n></米年代ub> </mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mn> 1</米n></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mn> 2</米n></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </mfrac> <mo> ,</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>7</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <div class="equationImageholder"> <math id="e8"> <mrow> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>米</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> Δ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>米</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> Δ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>米</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> Δ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>米</米我><米o>−</米o><米n>2</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米fr一个c> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 米</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 米</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 米</米我><米o>−</米o><米n>2</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </mfrac> <mo> ,</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>8</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <div class="equationImageholder"> <math id="e9"> <mrow> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> =</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> Δ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> Δ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mn> 2</米n></米fr一个c></米row> <mspace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>9</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 为<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf25"> <math id="m34"> <mrow> <mi> 我</米我><米o>=</米o><米n>0、1、2</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mi> j</米我><米o>=</米o><米n>1、2</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>米</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>。与此同时,扭转(混合导数)室内点可以被估计 <div class="equationImageholder"> <math id="e10"> <mrow> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米row> <mi> x</米我><米我>y</米我></米row></米年代ubsup> <mo> =</米o><米fr一个c><米row> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米年代ubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </mfrac> <mo> +</米o><米fr一个c><米row> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米年代ubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> j</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> </mrow> </mfrac> <mo> ,</米o><米我>我</米我><米o>=</米o><米n>1、2</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mi> j</米我><米o>=</米o><米n>1、2</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>米</米我><米o>−</米o><米n>1。</米n></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>10</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <h5>几何平均法</h5>第一个衍生品也可以通过使用GMM计算。鉴于2 d数据<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf26"> <math id="m36"> <mrow> <mrow> <mo> {</米o><米row><米row><米o> (</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>:</米o><米我>我</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>n</米我></米row><米o> }</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>,最后点<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf27"> <math id="m37"> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi> x</米我><米n>0</米n></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf28"> <math id="m38"> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米我>n</米我></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>,给出了一阶导数</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e11"> <mrow> <msub> <mi> d</米我><米n>0</米n></米年代ub> <mo> =</米o><米row><米o>{</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo></mo> <mi> 我</米我><米我>f</米我><米o></米o><米年代ub> <mtext> Δ</米text><米n>0</米n></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0</米n><米o></米o><米o></mo> <mi> o</米我><米我>r</米我><米o></米o><米年代ub> <mtext> Δ</米text><米row><米n> 2、0</米n></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0</米n><米o></米o></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi> Δ</米我><米n>0</米n><米row><米row><米o> (</米o><米row><米n>1</米n><米o>+</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mi> h</米我><米n>0</米n></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米n>1</米n></米年代ub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </msubsup> <msubsup> <mi> Δ</米我><米row><米n>2、0</米n></米row><米row> <mrow> <mo> (</米o><米row><米o>−</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mi> h</米我><米n>0</米n></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米n>1</米n></米年代ub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi> o</米我><米我>t</米我><米我>h</米我><米我>e</米我><米我>r</米我><米我>w</米我><米我>我</米我><米我>年代</米我><米我>e</米我><米o>,</米o></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> </mrow> </mrow> <mspace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>11</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 与<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf29"> <math id="m40"> <mrow> <msub> <mi> Δ</米我><米row><米n>2、0</米n></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mi> f</米我><米n>2</米n></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub> <mi> f</米我><米n>0</米n></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米n>2</米n></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米n>0</米n></米年代ub> </mrow> </mfrac> <mo> ,</米o></米row></米一个th> </inline-formula>和 <div class="equationImageholder"> <math id="e12"> <mrow> <msub> <mi> d</米我><米我>n</米我></米年代ub> <mo> =</米o><米row><米o>{</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo></mo> <mi> 我</米我><米我>f</米我><米o></米o><米年代ub> <mtext> Δ</米text><米row><米我> n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0</米n><米o></米o><米o></mo> <mi> o</米我><米我>r</米我><米o></米o><米年代ub> <mtext> Δ</米text><米row><米我> n</米我><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>−</米o><米n>2</米n></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0</米n><米o></米o></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi> Δ</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row><米row> <mrow> <mo> (</米o><米row><米n>1</米n><米o>+</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mi> h</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</米o><米n>2</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </msubsup> <msubsup> <mi> Δ</米我><米row><米我> n</米我><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>−</米o><米n>2</米n></米row><米row> <mrow> <mo> (</米o><米row><米o>−</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mi> h</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</米o><米n>2</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi> o</米我><米我>t</米我><米我>h</米我><米我>e</米我><米我>r</米我><米我>w</米我><米我>我</米我><米我>年代</米我><米我>e</米我><米o>,</米o></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> </mrow> </mrow> <mspace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>12</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 与<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf30"> <math id="m42"> <mrow> <msub> <mi> Δ</米我><米row><米我> n</米我><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>−</米o><米n>2</米n></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mi> f</米我><米我>n</米我></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub> <mi> f</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</米o><米n>2</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米我>n</米我></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</米o><米n>2</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mfrac> <mo> 。</米o></米row></米一个th> </inline-formula> 与此同时,在室内点,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf31"> <math id="m43"> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>我</米我><米o>=</米o><米n>1、2</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>的值,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf32"> <math id="m44"> <mrow> <msub> <mi> d</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>预估数据</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e13"> <mrow> <msub> <mi> d</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ubsup> <mi> Δ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row><米row> <mrow> <mo> (</米o><米row><米fr一个c> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </msubsup> <msubsup> <mi> Δ</米我><米我>我</米我><米row><米row> <mo> (</米o><米row><米fr一个c> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </msubsup> <mo> 。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>13</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 使用这个选择的优点的值<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf33"> <math id="m46"> <mrow> <msub> <mi> d</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>总是积极的。此法适用于单调递增的数据。</p> <h3 class="pt0">理性的四次样条插值</h3><p class="mb0">给定标量数据集<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf34"> <math id="m47"> <mrow> <mrow> <mo> {</米o><米row><米row><米o> (</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> )</米o></米row><米o>,</米o><米我>我</米我><米o>=</米o><米n>0、1、2</米n><米o>,</米o><米n>。。</米n><米我>n</米我></米row><米o> }</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf35"> <math id="m48"> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi> x</米我><米n>0</米n></米年代ub> <mo> <</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mo> <</米o><米n>…</米n><米o><</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米我>n</米我></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>和一阶导数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf36"> <math id="m49"> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi> d</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>在各自的观点。然后,rq方案有三个形状控制参数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf37"> <math id="m50"> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o></米o></米row> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf38"> <math id="m51"> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi> γ</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ≥</米o><米n>0</米n><米o></米o><米o></mo> </mrow> </math> </inline-formula>在间隔是由(<一个href="#B29">29日</一个>,<一个href="#B34">34</一个>,<一个href="#B35">35</一个>]</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e14"> <mrow> <mtext> 年代</米text><米row><米o> (</米o><米text>x</米text><米o>)</米o></米row><米o>=</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mtext> P</米text><米text>我</米text></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米text>θ</米text><米o>)</米o></米row></米row> <mrow> <msub> <mtext> 问</米text><米text>我</米text></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米text>θ</米text><米o>)</米o></米row></米row> </mfrac> </mrow> <mo> ,</米o><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>14</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 在哪里 <div class="equationImageholder"> <math id="equ1"> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> P</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米我>θ</米我><米o>)</米o></米row><米o>=</米o><米年代up> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>θ</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> <mn> 4</米n></米年代up> <msub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> +</米o><米年代up> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>θ</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> <mn> 3</米n></米年代up> <mi> θ</米我><米年代ub> <mi> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> +</米o><米年代up> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>θ</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up> <msup> <mi> θ</米我><米n>2</米n></米年代up> <msub> <mi> B</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> +</米o><米row><米o>(</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>θ</米我></米row><米o> )</米o></米row><米年代up> <mi> θ</米我><米n>3</米n></米年代up> <msub> <mi> C</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> +</米o><米年代up> <mi> θ</米我><米n>4</米n></米年代up> <msub> <mi> β</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msub> <mi> f</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 问</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米我>θ</米我><米o>)</米o></米row><米o>=</米o><米年代ub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msup> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>θ</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> γ</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>θ</米我></米row><米o> )</米o></米row><米我> θ</米我><米o>+</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msup> <mi> θ</米我><米n>2</米n></米年代up> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo> ,</米o></米row></米一个th> <div class="clear"></div> </div> 与<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf39"> <math id="m54"> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf40"> <math id="m55"> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi> Δ</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> =</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mi> f</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </mfrac> <mo></mo> </mrow> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf41"> <math id="m56"> <mrow> <mi> θ</米我><米o>=</米o><米fr一个c><米row> <mi> x</米我><米o>−</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </inline-formula>。</p> <p class="mb0">rq方案中定义<一个href="#e14">Eq。14</一个>给出了C<年代up>1</年代up>连续性的结和满足下列条件:</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e15"> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>=</米o><米年代ub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o></米row></米td> <mtd> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>=</米o><米年代ub> <mi> f</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米text></米text> </mrow> </msub> <mo> ,</米o></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> 年代</米我><米row><米row> <mo> (</米o><米n>1</米n><米o>)</米o></米row></米row> </msup> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>=</米o><米年代ub> <mi> d</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o></米row></米td> <mtd> <mrow> <msup> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米n>1</米n><米o>)</米o></米row></米年代up> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>=</米o><米年代ub> <mi> d</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> 。</米o></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mspace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>15</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 从<一个href="#e15">Eq。15</一个>一些推导后,未知<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf42"> <math id="m58"> <mrow> <msub> <mtext> 一个</米text><米text>我</米text></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mtext> B</米text><米text>我</米text></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf43"> <math id="m59"> <mrow> <msub> <mi> C</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>给出了(<一个href="#B34">34</一个>]</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e16"> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mi> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> =</米o><米row><米o>(</米o><米row><米n>2</米n><米年代ub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> γ</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米年代ub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msub> <mi> d</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <msub> <mi> B</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> =</米o><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> γ</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米年代ub> <mi> f</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> β</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> γ</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米年代ub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <msub> <mi> C</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> =</米o><米row><米o>(</米o><米row><米n>2</米n><米年代ub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> γ</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米年代ub> <mi> f</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msub> <mi> d</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> 。</米o></米td></米tr> </mtable> <mspace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>16</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <h3 class="pt0">部分混合理性Bi-Quartic样条插值</h3>我们构建一个新的理性bi-quartic花键部分混合方案的基础上Casciola和吉普赛<一个href="#B16">16</一个>]。有四个在每个矩形域的边缘曲线网络。<一个href="#F1">图1</一个>显示部分混合理性的安排bi-quartic样条插值在矩形域。 <div class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 图1</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g001.jpg" name="Figure1" target="_blank"><img id="F1" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g001.jpg"></a> <strong>图1</年代trong>。理性bi-quartic花键上定义一块矩形边界。 </div> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> 函数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf44"> <math id="m61"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>被安排在一个矩形域<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf45"> <math id="m62"> <mrow> <mi> Ω</米我><米o>=</米o><米row><米o>(</米o><米row><米我>一个</米我><米o>,</米o><米我>b</米我></米row><米o> ]</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>(</米o><米row><米我>c</米我><米o>,</米o><米我>d</米我></米row><米o> ]</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>。分区的间隔<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf46"> <math id="m63"> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>一个</米我><米o>,</米o><米我>b</米我></米row><米o> ]</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf47"> <math id="m64"> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>c</米我><米o>,</米o><米我>d</米我></米row><米o> ]</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>被定义为<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf48"> <math id="m65"> <mrow> <mi> π</米我><米o>:</米o><米我>一个</米我><米o>=</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米n>0</米n></米年代ub> <mo> <</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mo> <</米o><米o>⋯</米o><米o><</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米我>n</米我></米年代ub> <mo> =</米o><米我>b</米我></米row></米ath> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf49"> <math id="m66"> <mrow> <mrow> <mover accent="true"> <mi> π</米我><米o>¯</米o></米over> </mrow> <mo> :</米o><米我>c</米我><米o>=</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米n>0</米n></米年代ub> <mo> <</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mo> <</米o><米o>⋯</米o><米o><</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>米</米我></米年代ub> <mo> =</米o><米我>d</米我><米o>。</米o></米row></米一个th> </inline-formula>让<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf50"> <math id="m67"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf51"> <math id="m68"> <mrow> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> </mrow> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf52"> <math id="m69"> <mrow> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> </mrow> </math> </inline-formula>显示数据值和第一个偏导数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf53"> <math id="m70"> <mi> x</米我></米一个th></inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf54"> <math id="m71"> <mi> y</米我></米一个th></inline-formula>在节点<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf55"> <math id="m72"> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>。部分混合理性bi-quartic函数在每个矩形<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf56"> <math id="m73"> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ]</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ]</米o></米row><米o>,</米o><米我>我</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n><米o>;</米o><米o></米o><米我> j</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>米</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>,定义如下: <div class="equationImageholder"> <math id="e17"> <mrow> <mi> 年代</米我><米o></米o><米row> <mo> (</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>=</米o><米o>−</米o><米我>一个</米我><米我>F</米我><米年代up> <mi> B</米我><米row><米o></mo> <mo></mo> <mi> T</米我></米row></米年代up> </mrow> <mo> ,</米o><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>17</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 与 <div class="equationImageholder"> <math id="equ2"> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> F</米我><米o>=</米o><米row><米o>(</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </mtd> <mtd> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> 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(</米o><米我>φ</米我><米o>)</米o></米row><米o>=</米o><米年代up> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>φ</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up> <mrow> <mo> (</米o><米row><米n>1</米n><米o>+</米o><米n>2</米n><米我>φ</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>,</米o><米年代ub> <mi> b</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米我>φ</米我><米o>)</米o></米row><米o>=</米o><米年代up> <mi> φ</米我><米n>2</米n></米年代up> <mrow> <mo> (</米o><米row><米n>3</米n><米o>−</米o><米n>2</米n><米我>φ</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>,</米o></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> θ</米我><米o>=</米o><米fr一个c><米row> <mi> x</米我><米o>−</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> </mrow> </mfrac> <mo> ,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mi> φ</米我><米o>=</米o><米fr一个c><米row> <mi> y</米我><米o>−</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> </mrow> </mfrac> <mo> ,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> 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<mrow> <msub> <mi> D</米我><米n>0</米n></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <msub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米text> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米text></米text> <mtext> </mtext> <msub> <mi> D</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mo> =</米o><米row><米o>(</米o><米row><米n>2</米n><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米年代ub> 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<mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米text></米text> <mtext> </mtext> <msub> <mi> D</米我><米n>3</米n></米年代ub> <mo> =</米o><米row><米o>(</米o><米row><米n>2</米n><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> ,</米o></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 问</米我><米n>4</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米我>φ</米我><米o>)</米o></米row><米o>=</米o><米年代up> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>φ</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mi> φ</米我><米row><米o>(</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>φ</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>+</米o><米年代up> <mi> φ</米我><米n>2</米n></米年代up> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> 。</米o></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="indent">的偏导数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf60"> <math id="m86"> <mrow> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> </mrow> </math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf61"> <math id="m87"> <mrow> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> </mrow> </math> </inline-formula>估计使用一个mm在吗<一个href="#e4">方程(4)</一个>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -<一个href="#e10">(10)</一个>。</p> <h3 class="pt0">局部控制形状属性分析</h3><p class="mb0">提出理性bi-quartic样条所定义的<一个href="#e17">Eq。17</一个>具有局部控制属性。一些观测可以如下:</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">1)该方案是对称的,即,the年代urface can be constructed either in x and y directions or in y and x directions. This is one of the main properties in CAGD.</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">2)当参数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf62"> <math> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米o></米o><米年代ub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mo></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米o></米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米o></米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf63"> <math> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>2</米n></米row></米一个th> </inline-formula>,部分混合理性bi-quartic花键<一个href="#e17">Eq。17</一个>减少到一个标准bi-quartic多项式花键。通常,在这种情况下,产生的表面不是一种保形插值。 3)当<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf64"> <math> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> →</米o><米我>∞</米我><米o></米o></mrow> </math> </inline-formula>或<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf65"> <math> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> →</米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o></米row> </math> </inline-formula>定义的部分混合理性bi-quartic花键<一个href="#e17">Eq。17</一个>减少到一个双线性的表面,即。,fl一个t年代urface, since all four curve networks are reduced to a straight line (see [<一个href="#B34">34</一个>):</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e22"> <mrow> <munder> <mrow> <mi> lim</米我></米row><米row> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>→</米o><米我>∞</米我></米row></米年代ub> </mrow> </munder> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>=</米o><米under> <mrow> <mi> lim</米我></米row><米row> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> →</米o><米n>0</米n></米row></米年代ub> </mrow> </munder> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>=</米o><米row><米o>(</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>θ</米我></米row><米o> )</米o></米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米我>θ</米我><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> 。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>22</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 同样,我们可以获得以下的观察: <div class="equationImageholder"> <math id="e23"> <mrow> <munder> <mrow> <mi> lim</米我></米row><米row> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>→</米o><米我>∞</米我></米row></米年代ub> </mrow> </munder> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>=</米o><米under> <mrow> <mi> lim</米我></米row><米row> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> →</米o><米n>0</米n></米row></米年代ub> </mrow> </munder> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>=</米o><米row><米o>(</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>θ</米我></米row><米o> )</米o></米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米我>θ</米我><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ,</米o><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>23</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <div class="equationImageholder"> <math id="e24"> <mrow> <munder> <mrow> <mi> lim</米我></米row><米row> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> →</米o><米我>∞</米我></米row></米under> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>=</米o><米under> <mrow> <mi> lim</米我></米row><米row> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> →</米o><米n>0</米n></米row></米under> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>=</米o><米row><米o>(</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>φ</米我></米row><米o> )</米o></米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米我>φ</米我><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ,</米o><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>24</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <div class="equationImageholder"> <math id="e25"> <mrow> <munder> <mrow> <mi> lim</米我></米row><米row> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> →</米o><米我>∞</米我></米row></米under> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>=</米o><米under> <mrow> <mi> lim</米我></米row><米row> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> →</米o><米n>0</米n></米row></米under> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>=</米o><米row><米o>(</米o><米row><米n>1</米n><米o>−</米o><米我>φ</米我></米row><米o> )</米o></米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米我>φ</米我><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> 。</米o><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>25</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 基于<一个href="#e22">方程(22)</一个>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -<一个href="#e25">(25)</一个>,我们得出结论,最后是一个双线性插值表面表面。定理1。部分混合理性bi-quartic样条插值中定义<一个href="#e17">Eq。17</一个>是C<年代up>1</年代up>各地连续提供所有自由参数是积极的。定理2。提出理性bi-quartic样条插值得到<一个href="#e17">Eq。17</一个>是一种保形提供,所有四个曲线网络中定义<一个href="#e18">方程式。</一个>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -<一个href="#e21">21</一个>是一种保形。定理3。部分混合理性bi-quartic花键<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf66"> <math id="m96"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>定义为<一个href="#e17">Eq。17</一个>是一个<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf67"> <math id="m97"> <mrow> <msup> <mi> C</米我><米n>1</米n></米年代up> <mo> - - - - - -</米o></米row></米一个th> </inline-formula>连续degree-nine分段合理的表面分子和学位(学位七两个分母)。定理的证明可以获得1 - 3研究的概括命题3 Casciola和吉普赛<一个href="#B16">16</一个>]。的beh一个vior of local control of the proposed partially blended rational bi-quartic spline based on the observations given in<一个href="#e21">方程(21)</一个>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -<一个href="#e25">(25)</一个>示例1中给出。例1。数据截断小数点后五位(以下函数<一个href="#B50">50</一个>]: <div class="equationImageholder"> <math id="e26"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>=</米o><米年代up> <mi> e</米我><米row><米o>−</米o><米row><米o>(</米o><米row><米年代up> <mi> x</米我><米n>2</米n></米年代up> <mo> +</米o><米年代up> <mi> y</米我><米n>2</米n></米年代up> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>/</米o><米n>15</米n></米row></米年代up> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>罪</米我><米row><米o>(</米o><米我>x</米我><米o>)</米o></米row><米o>+</米o><米我>因为</米我><米row><米o>(</米o><米我>y</米我><米o>)</米o></米row></米row> <mo> )</米o></米row><米o>+</米o><米n>0.33</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mo></mo> <mn> 0</米n><米o>≤</米o><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我><米o>≤</米o><米n>6</米n><米o>。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>26</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <a href="#F2">图2</一个>显示数据的插值曲面通过使用该方案中列出<一个href="#T2">表2</一个>。 <a href="#F2">图2一个</一个>显示了插值曲面<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf68"> <math id="m99"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf69"> <math id="m100"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>2。</米n></米row></米一个th> </inline-formula>与此同时,<一个href="#F2">图2 b</一个>显示的表面<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf70"> <math id="m101"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf71"> <math id="m102"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>50。</米n></米row></米一个th> </inline-formula>很明显,表面是双线性或持平。可以看到类似的效果<一个href="#F2">图2 c</一个>,即,当<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf72"> <math id="m103"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0.01</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0.01</米n></米row></米一个th> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf73"> <math id="m104"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1。</米n><米o></米o></米row> </math> </inline-formula>与此同时,<一个href="#F2">图2 d</一个>显示插值表面时的行为<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf74"> <math id="m105"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf75"> <math id="m106"> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米text> 和</米text><米o></米o> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>成为一个更大的数字,即。,等于50。最后,<一个href="#F2">图2 e</一个>显示表面当<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf76"> <math id="m107"> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo></mo> <mtext> 和</米text><米o></米o> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>成为一个小的数,即,等于0.005。</p> <p class="mb0">此外,不能消极,因为插值曲面的参数将会成为一个理性的表面,即。波兰人在表面。这将导致表面的不连续性。这个事实中可以看到<一个href="#F3">图3</一个>。因此,参数仅局限于持有积极的价值。这是符合现有的作品如卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>,阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>,<一个href="#B51">51</一个>),侯赛因和阿里<一个href="#B37">37</一个>),侯赛因和侯赛因<一个href="#B40">40</一个>),田et al。<一个href="#B41">41</一个>],年代一个rfr一个z et al。<一个href="#B9">9</一个>]。</p> <p class="mb0">最后,作为参数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf77"> <math id="m108"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf78"> <math id="m109"> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米text> 和</米text><米o></米o> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>增加了,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf79"> <math id="m110"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mtext> 和</米text><米o></米o> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>是固定的,我们发现rational interpolant是稳定的,即,产生表面几乎是相同的。与此同时,随着参数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf80"> <math id="m111"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mtext> 和</米text><米o></米o> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>继续增加,参数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf81"> <math id="m112"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf82"> <math id="m113"> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米text> 和</米text><米o></米o> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mtext> </mtext> <mtext> 是</米text><米o></米o> <mtext> 固定</米text><米o>,</米o><米o></米o></米row> </math> </inline-formula>我们还发现,理性interpolant是稳定的。这些结果所示<一个href="#F4">图4</一个>。</p> <div class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 图2</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g002.jpg" name="Figure2" target="_blank"><img id="F2" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g002.jpg"></a> <p><strong>图2</年代trong>。局部控制的表面插值。</p> </div> <div class="clear"></div> <div class="Imageheaders"> 表2</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t002.jpg" name="Table2" target="_blank"><img id="T2" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t002.jpg"></a> <p><strong>表2</年代trong>。数据的函数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf161"> <math id="m214"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>。</p> </div> <div class="clear"></div> <div class="Imageheaders"> 图3</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g003.jpg" name="Figure3" target="_blank"><img id="F3" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g003.jpg"></a> <p><strong>图3</年代trong>。波兰人在表面上。<年代trong>(一)</年代trong> <inline-formula id="inf83"> <math id="m114"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米o></米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米o>−</米o><米n>1。</米n></米row></米一个th> </inline-formula><strong>(B)</年代trong> <inline-formula id="inf84"> <math id="m115"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米o>−</米o><米n>2。</米n></米row></米一个th> </inline-formula> </div> <div class="clear"></div> <div class="Imageheaders"> 图4</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g004.jpg" name="Figure4" target="_blank"><img id="F4" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g004.jpg"></a> <strong>图4</年代trong>。理性的四次interpolant稳定。<年代trong>(一)</年代trong> <inline-formula id="inf85"> <math id="m116"> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米o></米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>One hundred.</米n></米row></米一个th> </inline-formula><strong>(B)</年代trong> <inline-formula id="inf86"> <math id="m117"> <mrow> <mo></mo> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米o></米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1000年年。</米n></米row></米一个th> </inline-formula><strong>(C)</年代trong> <inline-formula id="inf87"> <math id="m118"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0。005。</米n></米row></米一个th> </inline-formula><strong>(D)</年代trong> <inline-formula id="inf88"> <math id="m119"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0。0005。</米n></米row></米一个th> </inline-formula> </div> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <h3 class="pt0">当地二次繁殖</h3>该部分混合理性bi-quartic样条中定义<一个href="#e17">Eq。17</一个>是本地二次繁殖。为了证明这个属性,我们用数值模拟通过使用下列二次测试函数: <div class="equationImageholder"> <math id="equ6"> <mrow> <mi> G</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>=</米o><米年代up> <mi> x</米我><米n>2</米n></米年代up> <mo> +</米o><米年代up> <mi> y</米我><米n>2</米n></米年代up> <mo> ,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mo></mo> <mo> −</米o><米n>3</米n><米o>≤</米o><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我><米o>≤</米o><米n>3</米n><米o>。</米o></米row></米一个th> <div class="clear"></div> </div> <a href="#F5">图5一个</一个>展示了真正的函数。与此同时,<一个href="#F5">图5 b-g</一个>显示各种参数的插值曲面和它们的值。我们可以看到,所有的数据都是几乎相同的。<一个href="#T3">表3</一个>显示了RMSE值,<e米>R</e米><年代up>2</年代up>为每个图,最大绝对误差。基于<一个href="#T3">表3</一个>,我们发现<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf89"> <math id="m121"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> →</米o><米n>0</米n><米o></米o></米row> </math> </inline-formula>或<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf90"> <math id="m122"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> →</米o><米我>∞</米我></米row></米ath> </inline-formula>,提出理性bi-quartic花键是本地二次繁殖。这个特性非常重要,因为我们可以用自己的计划来重建任何圆锥部分。与此同时,卡里姆等人的作品。<一个href="#B36">36</一个>和阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>)不当地二次繁殖。 <div class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 图5</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g005.jpg" name="Figure5" target="_blank"><img id="F5" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g005.jpg"></a> <strong>图5</年代trong>。当地的二次多项式繁殖。<年代trong>(一)</年代trong>真正的功能。<年代trong>(B)</年代trong> <inline-formula id="inf91"> <math id="m123"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf92"> <math id="m124"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1。</米n></米row></米一个th> </inline-formula><strong>(C)</年代trong> <inline-formula id="inf592"> <math id="m524"> <mrow> <mtext></mtext> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0.02</米n></米row></米一个th> </inline-formula>。<年代trong>(D)</年代trong> <inline-formula id="inf599"> <math id="m525"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米text></米text> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0。002。</米n></米row></米一个th> </inline-formula><strong>(E)</年代trong> <inline-formula id="inf593"> <math id="m526"> <mrow> <msub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米text></米text> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>10</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1。</米n></米row></米一个th> </inline-formula><strong>(F)</年代trong> <inline-formula id="inf594"> <math id="m527"> <mrow> <mtext></mtext> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>One hundred.</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1。</米n></米row></米一个th> </inline-formula><strong>(G)</年代trong> <inline-formula id="inf595"> <math id="m528"> <mrow> <mtext></mtext> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1000年年</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1000年年</米n><米o>,</米o><米text>和</米text><米年代ub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1。</米n></米row></米一个th> </inline-formula> </div> <div class="clear"></div> <div class="Imageheaders"> 表3</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t003.jpg" name="Table3" target="_blank"><img id="T3" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t003.jpg"></a> <strong>表3</年代trong>。表面插值的误差估计<一个href="#F5">图5</一个>。 </div> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <a id="h4" name="h4"></a> <h2>Positivity-Preserving插值</h2>rational bi-quartic样条中定义<一个href="#e17">Eq。17</一个>不是positivity-preserving积极的数据集。见<一个href="#F2">图2一个</一个>,部分混合理性bi-quartic花键不是positivity-preserving插值。我们可以获得一个积极的表面通过操纵所有自由参数。然而,这种方法并不实用,非常耗时。因此,我们想要找到一个自动计算方法的参数值将产生一个积极的理性interpolant。要做到这一点,我们推导出充分条件的积极合理的四次样条函数在所有四个边界曲线网络(见<一个href="#F1">图1</一个>)。在每一个边界,将会有两个自由参数。这导致八自由形状参数修改。充分条件的推导过程描述如下。让<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf93"> <math id="m125"> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o></米row></米年代ub> <msub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>严格积极数据(为了避免除以零在后期)定义了一个矩形网格<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf94"> <math id="m126"> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ]</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ]</米o></米row><米o>,</米o><米我>我</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n><米o>;</米o><米我>j</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>米</米我><米o>−</米o><米n>1</米n><米o></米o></米row> </math> </inline-formula>,这样</p> <div class="equationImageholder"> <math id="equ7"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mo> ∀</米o><米我>我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>。</米o></米row></米一个th> <div class="clear"></div> </div> 部分混合理性bi-quartic花键<一个href="#e17">Eq。17</一个>如果中定义的所有边界曲线是正<一个href="#e18">方程式。</一个>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -<一个href="#e21">21</一个>是积极的,即<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf95"> <math id="m128"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>></米o><米n>0</米n></米row></米一个th> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf96"> <math id="m129"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o></米row> </math> </inline-formula>分别。下面的定理,总结了建设positivity-preserving使用提出理性bi-quartic样条插值。</p> <p class="mb15">定理4。鉴于严格正表面数据<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf97"> <math id="m130"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mo> ∀</米o><米我>我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>,</米o><米text></米text> </mrow> </math> </inline-formula>分段部分混合理性bi-quartic函数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf98"> <math id="m131"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>在<一个href="#e17">Eq。17</一个>定义在矩形网格<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf99"> <math id="m132"> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ]</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ]</米o></米row><米o>,</米o><米我>我</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>−</米o><米n>1</米n><米o>;</米o><米我>j</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>米</米我><米o>−</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>保存数据的积极性,如果参数满足以下充分条件: <div class="equationImageholder"> <math id="e27"> <mrow> <mrow> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米我米一个thvariant="normal"> 马克斯</米我><米row><米o>{</米o><米row><米row><米row> <mn> 0</米n><米o>,</米o><米o>−</米o><米年代ub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米row><米row> <msub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <mo> }</米o></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米我米一个thvariant="normal"> 马克斯</米我><米row><米o>{</米o><米row><米row><米row> <mn> 0</米n><米o>,</米o><米o>−</米o><米年代ub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米row><米row> <msub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <mo> }</米o></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>⌢</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米我米一个thvariant="normal"> 马克斯</米我><米row><米o>{</米o><米row><米row><米row> <mn> 0</米n><米o>,</米o><米o>−</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> 我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米row><米row> <msub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <mo> }</米o></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>⌢</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米我米一个thvariant="normal"> 马克斯</米我><米row><米o>{</米o><米row><米row><米row> <mn> 0</米n><米o>,</米o><米o>−</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> 我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米row><米row> <msub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <mo> }</米o></米row></米td> </mtr> </mtable> <mo> }</米o></米row><米o>。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>27</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 证明。Toprove the theorem, we adopted the idea from Karim et al. [<一个href="#B22">22</一个>]。推测的Casciola和吉普赛<一个href="#B16">16</一个>),表面是一种保形如果所有四个曲线网络是一种保形。这可以概括为理性bi-quartic表面<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf100"> <math id="m134"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o></mo> </mrow> </math> </inline-formula>是正当且仅当所有四个曲线positive.From吗<一个href="#e18">方程(18)- (21)</一个>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf101"> <math id="m135"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>></米o><米n>0</米n><米o>,</米o></米row></米一个th> </inline-formula>如果<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf102"> <math id="m136"> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mi> 我</米我><米o>=</米o><米n>0、1、2、3。</米n></米row></米一个th> </inline-formula> <inline-formula id="inf103"> <math id="m137"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米年代ub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o></米row></米一个th> </inline-formula> <inline-formula id="inf104"> <math id="m138"> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米n>0</米n></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o><米年代ub> <mi> 一个</米我><米n>2</米n></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o><米text> 和</米text><米text></mtext> <msub> <mi> 一个</米我><米n>4</米n></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0。</米n><米o></米o></米row> </math> </inline-formula>因此,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf105"> <math id="m139"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>></米o><米n>0</米n><米o>,</米o></米row></米一个th> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf106"> <math id="m140"> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n></米row></米一个th> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf107"> <math id="m141"> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米n>3</米n></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0。</米n></米row></米一个th> </inline-formula>两种情况下可以简化如下: <div class="equationImageholder"> <math id="e28"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米o>−</米o><米年代ub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> ,</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>28</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <div class="equationImageholder"> <math id="e29"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> 。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>29日日</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 结合条件<一个href="#e28">28方程式。</一个>,<一个href="#e29">29日</一个>结果在接下来的积极性的充分条件<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf108"> <math id="m144"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>在不平等的形式:</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e30"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米我>米</米我><米我>一个</米我><米我>x</米我><米row><米o>{</米o><米row><米n>0</米n><米o>,</米o><米o>−</米o><米年代ub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> </mrow> <mo> }</米o></米row><米o>。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>30.。</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 同样,其余三个边界曲线<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf109"> <math id="m146"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>,</米o><米o></米o><米我> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf110"> <math id="m147"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>如果满足以下充分条件是积极的。<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf111"> <math id="m148"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>></米o><米n>0</米n><米o>,</米o></米row></米一个th> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf112"> <math id="m149"> <mrow> <msub> <mi> B</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n></米row></米一个th> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf113"> <math id="m150"> <mrow> <mi> B</米我><米o>></米o><米n>0</米n><米o>:</米o></米row></米一个th> </inline-formula> <div class="equationImageholder"> <math id="e31"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米o>−</米o><米年代ub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> ,</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>31日日</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <div class="equationImageholder"> <math id="e32"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> 。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>32</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <inline-formula id="inf114"> <math id="m153"> <mrow> <mo></mo> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>,</米o></米row></米一个th> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf115"> <math id="m154"> <mrow> <msub> <mi> C</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n></米row></米一个th> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf116"> <math id="m155"> <mrow> <msub> <mi> C</米我><米n>3</米n></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n></米row></米一个th> </inline-formula>: <div class="equationImageholder"> <math id="e33"> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米o>−</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> ,</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>33</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <div class="equationImageholder"> <math id="e34"> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> 。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>34</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <inline-formula id="inf117"> <math id="m158"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>,</米o></米row></米一个th> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf118"> <math id="m159"> <mrow> <msub> <mi> D</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n></米row></米一个th> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf119"> <math id="m160"> <mrow> <msub> <mi> D</米我><米n>3</米n></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n></米row></米一个th> </inline-formula>: <div class="equationImageholder"> <math id="e35"> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米o>−</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> ,</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>35</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <div class="equationImageholder"> <math id="e36"> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> 。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>36</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 结合在不平等的条件<一个href="#e31">31方程式。</一个>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -<一个href="#e36">36</一个>让我们下列条件: <div class="equationImageholder"> <math id="e37"> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米我>米</米我><米我>一个</米我><米我>x</米我><米row><米o>{</米o><米row><米n>0</米n><米o>,</米o><米o>−</米o><米年代ub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> </mrow> <mo> }</米o></米row><米o></mo> <mo> ,</米o><米text></米text> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米我>米</米我><米我>一个</米我><米我>x</米我><米row><米o>{</米o><米row><米n>0</米n><米o>,</米o><米o>−</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> ,</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> </mrow> <mo> }</米o></米row><米o></mo> <mo> ,</米o></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米我>米</米我><米我>一个</米我><米我>x</米我><米row><米o>{</米o><米row><米n>0</米n><米o>,</米o><米o>−</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> h</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mi> j</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> +</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> <mo> ,</米o><米年代ub> <mrow> <mover 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-for米ula id="inf120"> <math id="m164"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf121"> <math id="m165"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>得到了。这就完成了证明。的年代ufficient conditions in<一个href="#e27">Eq。27</一个>可以写成</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e38"> <mrow> <mrow> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>⌢</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>⌢</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米text></米text> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>⌢</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> 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(</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> −</米o><米n>2</米n><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <mo> }</米o></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米我米一个thvariant="normal"> 马克斯</米我><米row><米o>{</米o><米row><米row><米row> <mn> 0</米n><米o>,</米o><米text></米text> <mo> −</米o><米年代ub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> 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)</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> <mo> }</米o></米row></米td> </mtr> </mtable> <mo> }</米o><米o>,</米o></米row></米row> <mspace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>38</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> 的参数 <div class="equationImageholder"> <math id="equ8"> <mrow> <msub> <mi> k</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mo></mo> <msub> <mi> l</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mo></mo> <msub> <mi> 米</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <msub> <mi> n</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0。</米n></米row></米一个th> <div class="clear"></div> </div> 定理5。积极的部分混合理性bi-quartic花键<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf122"> <math id="m168"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>由使用形状参数计算使用<一个href="#e38">Eq。38</一个>是一个<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf123"> <math id="m169"> <mrow> <msup> <mi> C</米我><米n>1</米n></米年代up> <mo> - - - - - -</米o></米row></米一个th> </inline-formula>连续degree-nine分段理性与positivity-preserving表面性质对积极的数据集。 <strong>证明</年代trong>。这是一个从定理3。的follow在g algorithm can be used to implement the proposed positivity-preserving interpolation. 算法1 <strong>输入:</年代trong>严格正的数据点<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf124"> <math> <mrow> <mo></mo> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> <mo> ,</米o><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf125"> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>n</米我><米o>;</米o><米o></米o><米o></mo> <mi> j</米我><米o>=</米o><米n>01</米n><米o>,</米o><米n>…</米n><米o>,</米o><米我>米</米我><米o>。</米o></米row></米一个th> </inline-formula> <strong>输出:</年代trong>积极的插值和RMSE表面<e米>R</e米><年代up>2</年代up>值。 <strong>步骤1:</年代trong>计算偏导数值<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf126"> <math> <mrow> <msubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> x</米我></米年代ubsup> <mo> ,</米o><米年代ubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米我> y</米我></米年代ubsup> <mo> ,</米o><米年代ubsup> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row><米row> <mi> x</米我><米我>y</米我></米row></米年代ubsup> <mo></mo> </mrow> </math> </inline-formula>通过使用数字技术,即。,一个mm。</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;"><strong>步骤2:</年代trong>选择合适的积极自由参数的值<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf127"> <math> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf128"> <math> <mrow> <msub> <mi> k</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mi> l</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mi> 米</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mi> n</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>和计算参数的值<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf129"> <math> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ,</米o><米o></米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo></mo> </mrow> </math> </inline-formula>通过使用<年代trong>定理4</年代trong>。</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;"><strong>步骤3:</年代trong>构建积极的表面通过替换所有必需的参数部分混合理性bi-quartic样条函数<一个href="#e17">Eq。17</一个>。</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">重复步骤2和3,生成不同的积极面通过不同的积极的数据集。</p> <a id="h5" name="h5"></a> <h2>结果与讨论</h2><p class="mb15">我们测试该方案通过使用两个积极的数据集。示例2使用相同的数据如示例1。所有的计算、仿真和图形结果通过使用MATLAB版本2019安装在Windows AMD Ryzen 3 2200 g Radeon织女星图形3.50 GHz。作为验证,我们计算RMSE和<e米>R</e米><年代up>2</年代up>值和比较结果与卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>和阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>]。</p> <p class="mb15">例2。积极的数据截断小数点后五位(以下函数<一个href="#B50">50</一个>]:</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e39"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>=</米o><米年代up> <mi> e</米我><米row><米o>−</米o><米row><米row><米row> <mo> (</米o><米row><米年代up> <mi> x</米我><米n>2</米n></米年代up> <mo> +</米o><米年代up> <mi> y</米我><米n>2</米n></米年代up> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mo> /</米o><米row><米n>15</米n></米row></米row> </mrow> </msup> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>罪</米我><米row><米o>(</米o><米我>x</米我><米o>)</米o></米row><米o>+</米o><米我>因为</米我><米row><米o>(</米o><米我>y</米我><米o>)</米o></米row></米row> <mo> )</米o></米row><米o>+</米o><米n>0.33</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mo></mo> <mn> 0</米n><米o>≤</米o><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我><米o>≤</米o><米n>6</米n><米o>。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>39</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <a href="#F6">图6</一个>显示了默认bi-quartic埃尔米特积极的数据给出了样条<一个href="#T4">表4</一个>。<一个href="#F6">图6 b, C</一个>显示xz-view和yz-view<一个href="#F6">图6</一个>,分别。<一个href="#F6">图6 d</一个>显示了使用positivity-preserving提出理性bi-quartic花键<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf130"> <math id="m177"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>。与此同时,<一个href="#F6">图6 e, F</一个>显示xz-view和yz-view<一个href="#F6">图6 d</一个>,分别。<一个href="#F6">图6克</一个>显示的其他视图<一个href="#F6">图6 d</一个>。显然,插值曲面是积极的在整个给定间隔。与此同时,<一个href="#F6">图6 h,我</一个>显示出积极的插值表面使用卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>和阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>)计划。 <div class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 图6</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g006.jpg" name="Figure6" target="_blank"><img id="F6" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g006.jpg"></a> <strong>图6</年代trong>。插值曲面为例2。<年代trong>(一)</年代trong>默认的表面。<年代trong>(B)</年代trong>xz-view为<年代trong>(一)</年代trong>。<年代trong>(C)</年代trong>yz-view为<年代trong>(一)</年代trong>。<年代trong>(D)</年代trong>拟议的计划。<年代trong>(E)</年代trong>xz-view为<年代trong>(D)</年代trong>。<年代trong>(F)</年代trong>yz-view为<年代trong>(D)</年代trong>。<年代trong>(G)</年代trong>其他视图<年代trong>(D)</年代trong>。<年代trong>(H)</年代trong>卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>]。<年代trong>(我)</年代trong>阿巴斯et al。<一个href="#B1">1</一个>]。 </div> <div class="clear"></div> <div class="Imageheaders"> 表4</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t004.jpg" name="Table4" target="_blank"><img id="T4" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t004.jpg"></a> <strong>表4</年代trong>。积极的表面数据的功能<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf131"> <math id="m178"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>。</p> </div> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <p class="mb15">例3。积极的数据从以下函数截断四位小数<一个href="#B51">51</一个>]:</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e41"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米n>3</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>=</米o><米年代up> <mi> e</米我><米row><米o>−</米o><米年代up> <mi> x</米我><米n>2</米n></米年代up> </mrow> </msup> <mo> +</米o><米年代up> <mi> e</米我><米row><米o>−</米o><米n>2</米n><米年代up> <mi> y</米我><米n>2</米n></米年代up> </mrow> </msup> <mo> +</米o><米n>0.04</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mo></mo> <mo> −</米o><米n>3</米n><米o>≤</米o><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我><米o>≤</米o><米n>3</米n><米o>。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>41</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <a href="#F7">图7</一个>显示了默认bi-quartic埃尔米特积极的数据给出了样条<一个href="#T5">表5</一个>。<一个href="#F7">图7 b, C</一个>显示xz-view和yz-view<一个href="#F7">图7</一个>,分别。<一个href="#F7">图7 d</一个>显示了使用positivity-preserving提出理性bi-quartic花键<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf133"> <math id="m181"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>。的参数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf134"> <math id="m182"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo></mo> <mtext> 和</米text><米o></米o> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>通过应用定理4,即<一个href="#e27">Eq。27</一个>。与此同时,<一个href="#F8">图8 e, F</一个>显示xz-view和yz-view<一个href="#F8">图8 d</一个>,分别。<一个href="#F7">图7 g</一个>显示的其他视图<一个href="#F7">图7</一个>。与此同时,<一个href="#F7">图7 h</一个>显示表面的其他视图<一个href="#F8">图8 d</一个>。我们发现表面插值到处都是积极的。<一个href="#F7">图7 i, J</一个>显示插值表面使用卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>和阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>)计划。</p> <div class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 图7</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g007.jpg" name="Figure7" target="_blank"><img id="F7" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g007.jpg"></a> <p><strong>图7</年代trong>。使用该方案例如3插值曲面。数据的插值曲面<一个href="#T5">表5</一个>。<年代trong>(一)</年代trong>默认的表面。<年代trong>(B)</年代trong>xz-view为<年代trong>(一)</年代trong>。<年代trong>(C)</年代trong>yz-view为<年代trong>(一)</年代trong>。<年代trong>(D)</年代trong>拟议的计划。<年代trong>(E)</年代trong>xz-view为<年代trong>(D)</年代trong>。<年代trong>(F)</年代trong>yz-view为<年代trong>(D)</年代trong>。<年代trong>(G)</年代trong>其他视图<年代trong>(一)</年代trong>。<年代trong>(H)</年代trong>其他视图<年代trong>(D)</年代trong>。<年代trong>(我)</年代trong>卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>]。<年代trong>(J)</年代trong>阿巴斯et al。<一个href="#B1">1</一个>]。</p> </div> <div class="clear"></div> <div class="Imageheaders"> 表5</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t005.jpg" name="Table5" target="_blank"><img id="T5" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t005.jpg"></a> <p><strong>表5</年代trong>。积极的表面数据的功能<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf135"> <math id="m183"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米n>3</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>。</p> </div> <div class="clear"></div> <div class="Imageheaders"> 图8</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g008.jpg" name="Figure8" target="_blank"><img id="F8" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-g008.jpg"></a> <p><strong>图8</年代trong>。不同的插值曲面。<年代trong>(一)</年代trong>默认的表面。<年代trong>(B)</年代trong>xz-view为<年代trong>(一)</年代trong>。<年代trong>(C)</年代trong>yz-view为<年代trong>(一)</年代trong>。<年代trong>(D)</年代trong>Positivity-preserving表面。<年代trong>(E)</年代trong>xz-view为<年代trong>(D)</年代trong>。<年代trong>(F)</年代trong>yz-view为<年代trong>(D)</年代trong>。<年代trong>(G)</年代trong>Non-positivity-preserving表面。<年代trong>(H)</年代trong>其他视图<年代trong>(G)</年代trong>。<年代trong>(我)</年代trong>Positivity-preserving表面。<年代trong>(J)</年代trong>其他视图<年代trong>(我)</年代trong>。</p> </div> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <p class="mb15">我们比较之间的性能提出了部分混合理性bi-quartic样条插值和阿巴斯等人的作品。<一个href="#B50">50</一个>)和卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>)通过计算均方根误差(RMSE)和确定系数(<e米>R</e米><年代up>2</年代up>)。<一个href="#T6">表6</一个>,<一个href="#T7">7</一个>总结的主要结果。它可以清楚地看到,提出理性bi-quartic样条插值是与阿巴斯等人的作品。<一个href="#B50">50</一个>)和卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>]。基于<e米>R</e米><年代up>2</年代up>这两个例子,该方案是最好的。此外,根据Renka和棕色(<一个href="#B53">53</一个>以来)标准,该方案很好<e米>R</e米><年代up>2</年代up>值在0.91和0.997之间。同时,基于权值,我们发现该方案是最好的参数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf137"> <math id="m185"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0.1</米n><米o></米o><米text> 和</米text><米text></mtext> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0.1。</米n></米row></米一个th> </inline-formula>从数值模拟,我们发现该方案需要较少的计算时间(以秒为单位)与阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>)和卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>)计划。加速10%左右速度比其他方案。此外,基于图形化的结果,所有的计划都是称职的。最可能的方案是最好的例子。在此基础上,我们得出最佳方案最低的等级如下: <div class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 表6</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t006.jpg" name="Table6" target="_blank"><img id="T6" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t006.jpg"></a> <strong>表6</年代trong>。均方根误差(RMSE)值。 </div> <div class="clear"></div> <div class="Imageheaders"> 表7</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t007.jpg" name="Table7" target="_blank"><img id="T7" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t007.jpg"></a> <strong>表7</年代trong>。确定系数(<e米>R</e米><年代up>2</年代up>)的值。 </div> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> 该方案>卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>]>阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>] 我们的最后一个例子表明,拟议的positivity-preserving理性bi-quartic花键有能力减少CPU时间(以秒为单位)来构造插值曲面而没有positivity-preserving插值。<一个href="#T8">表8</一个>显示了积极的数据从以下函数: <div class="equationImageholder"> <math id="e42"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米n>3</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row><米o>=</米o><米fr一个c><米row> <mn> 0.25</米n></米row><米row> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代up> <mrow> <mrow> <mo> (</米o><米row><米年代up> <mi> x</米我><米n>2</米n></米年代up> <mo> +</米o><米年代up> <mi> y</米我><米n>2</米n></米年代up> </mrow> <mo> )</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up> <mo> +</米o><米n>1</米n></米row><米o>)</米o></米row></米row> </mfrac> <mo> ,</米o><米o></米o><米o></mo> <mo></mo> <mn> 0</米n><米o>≤</米o><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我><米o>≤</米o><米n>6</米n><米o>。</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>42</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <a href="#F8">图8</一个>展示了各种插值曲面数据给出的例子<一个href="#T8">表8</一个>。<一个href="#F8">图8</一个>显示了插值表面当自由参数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf146"> <math id="m195"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf147"> <math id="m196"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>2。</米n></米row></米一个th> </inline-formula><a href="#F8">图8 b, C</一个>显示xz-view和yz-view<一个href="#F8">图8</一个>。很明显,表面不积极无处不在。<一个href="#F8">图8 d</一个>显示了积极的插值后表面应用定理4。自由参数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf148"> <math id="m197"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米text> 和</米text><米o></米o> <mo></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>。与此同时,<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf149"> <math id="m198"> <mrow> <msub> <mi> γ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mtext> 和</米text><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> γ</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math> </inline-formula>是通过<一个href="#e27">Eq。27</一个>。<一个href="#F8">图8 e, F</一个>显示xz-view和yz-view<一个href="#F8">图8 d</一个>。从两个图,上面的表面是积极和谎言<e米>x</e米>和<e米>y</e米>轴。<一个href="#F8">图8 g</一个>显示另一个插值曲面参数<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf150"> <math id="m199"> <mrow> <msub> <mi> α</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mi> β</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0.1</米n><米o>,</米o><米o></米o><米o></mo> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> α</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米年代ub> <mrow> <mover accent="true"> <mi> β</米我><米o>^</米o></米over> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> =</米o><米n>0.1</米n></米row></米一个th> </inline-formula>。然而,表面不是正见<一个href="#F8">图8 h</一个>。最后,<一个href="#F8">图8我</一个>使用该方案显示了插值曲面。从<一个href="#F8">图8 j</一个>所示的插值曲面,看到<一个href="#F8">图8我</一个>到处都是积极的。因此,定理4确认产生积极的插值曲面在整个给定间隔。这是与什么相比被秦声称et al。<一个href="#B38">38</一个>]。因此,该方案确实减少了所需的数学推导数量产生积极的理性interpolant。这是数值分析中非常重要的方面。我们只需要较少的计算时间与秦的工作等。<一个href="#B38">38</一个>]。CPU时间(以秒计)测量通过使用MATLAB tic和toc命令。 <div class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 表8</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t008.jpg" name="Table8" target="_blank"><img id="T8" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t008.jpg"></a> <strong>表8</年代trong>。积极的表面数据的功能<我nl在e- - - - - -for米ula id="inf151"> <math id="m200"> <mrow> <msub> <mi> F</米我><米n>3</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米我>y</米我></米row><米o> )</米o></米row></米row> </math> </inline-formula>。</p> </div> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <p class="mb15">见<一个href="#T9">表9</一个>,通过应用positivity-preserving插值方案给定数据,所需CPU时间(以秒为单位)来构造插值曲面。这适用于所有的参数。我们也注意到,该充分条件的积极合理的四次interpolant保证产生一个积极的插值曲面,即。在给定的时间间隔。然而,我们也发现,通过应用positivity-preserving插值,<e米>R</e米><年代up>2</年代up>值会减少,同时,RMSE值将会增加。然而,没有多少不同的值。</p> <div class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 表9</d我v> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t009.jpg" name="Table9" target="_blank"><img id="T9" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/555517/fphy-09-555517-HTML-r1/image_m/fphy-09-555517-t009.jpg"></a> <p><strong>表9</年代trong>。误差估计。</p> </div> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <p class="mb15">最后备注:秦et al。<一个href="#B38">38</一个>)提出了一种新的方法来获得积极性的充分条件的部分混合有理样条曲线。他们声称他们的条件是保证产生一个积极的插值曲面无处不在。然而,他们的方法是数学上更复杂的应用,因为它会增加不必要的计算时间产生积极的表面。如果我们应用秦et al。<一个href="#B38">38</一个>)方法,充分条件的积极合理的四次样条将采取以下形式:</p> <div class="equationImageholder"> <math id="e43"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米我>j</米我></米年代ub> </mrow> <mo> )</米o></米row><米o>−</米o><米fr一个c><米n>1</米n><米n>2</米n></米fr一个c><米年代ub> <mi> 一个</米我><米n>0</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米我>θ</米我><米o>)</米o></米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米fr一个c><米n>1</米n><米n>2</米n></米fr一个c><米年代ub> <mi> 一个</米我><米n>1</米n></米年代ub> <mrow> <mo> (</米o><米我>θ</米我><米o>)</米o></米row><米年代ub> <mi> F</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</米o><米n>1</米n><米o>,</米o><米我>j</米我></米row></米年代ub> <mo> ></米o><米n>0</米n><米o>,</米o></米row><米年代pace width="5em"></mspace> <mo stretchy="false"> (</米o><米n>43</米n><米o年代tretchy="false"> )</米o></米一个th><d我v class="clear"></div> </div> <div class="equationImageholder"> <math id="e44"> <mrow> <mi> 年代</米我><米row><米o>(</米o><米row><米我>x</米我><米o>,</米o><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> j</米我><米o>+</米o><米n>1</米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> 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al。<一个href="#B38">38</一个>]。从所有数值例子,我们发现,应用积极条件后,表面上的所有点都是正的。</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">2)它可以复制一个二次多项式与阿巴斯et al。<一个href="#B50">50</一个>),卡里姆et al。<一个href="#B36">36</一个>,秦et al。<一个href="#B38">38</一个>]。</p> <p style="margin-left: 2em;text-indent:-0.7em;margin-top: 0em;margin-bottom: 0em;">3)总体而言,基于<e米>R</e米><年代up>2</年代up>和RMSE值,该方案是最好的与一些现有的方案。</p> <a id="h6" name="h6"></a> <h2>结论</h2><p class="mb15">在这项研究中,一个新的部分混合理性bi-quartic样条插值与C<年代up>1</年代up>连续性是positivity-preserving构造应用程序。积极性的充分条件的理性推导出四次样条矩形网格上定义的四个边界曲线。这种情况导致八自由形状参数修改。该方案是许多积极的表面测试数据集。基于数值分析和图形比较,该方案是最好的,也就是说。,更高的<e米>R</e米><年代up>2</年代up>和较小的RMSE。我们还发现,该方案能够减少CPU时间(以秒为单位)当我们想要构建一个积极的插值曲面。此外,提出positivity-preserving插值方案保证提供积极的表面在整个给定的时间间隔。积极性充分条件的推导在这项研究中更容易比秦等人的研究。<一个href="#B38">38</一个>]。通过使用我们的方案,我们减少了所需数量的数学推导,我们的计划是易于使用。最重要的是,该方案是本地二次多项式繁殖。这是重要的,当用户想要重建任何二次曲面的表面。未来的研究将集中在分散数据的通用一种保形的施工安排在三角网格以及在图像处理和图像去噪中的应用等研究的卡里姆和Saaban<一个href="#B55">55</一个>),卡里姆et al。<一个href="#B56">56</一个>],沃尔特和施密特[<一个href="#B57">57</一个>],Zulkifli et al。<一个href="#B58">58</一个>]。</p> <a id="h7" name="h7"></a> <h2>数据可用性声明</h2><p class="mb15">最初的贡献提出了研究中都包含在这篇文章/补充材料,并进一步调查可以针对相应的作者。</p> <a id="h8" name="h8"></a> <h2>作者的贡献</h2><p class="mb0">SA,, VN策划数据,参与正式的分析,获得了资源,写了初稿。SA和VN表现的方法。SA获得资金和调查数据。VN参与项目管理。SA运行该软件时,验证和可视化结果,审查和编辑。</p> <a id="h9" name="h9"></a> <h2>资金</h2><p class="mb0">作者要感谢大学各种马来西亚国家石油公司(UTP)和教育部(MOE),马来西亚,为金融支持的形式收到研究格兰特:德意志联邦共和国/ 1/2018 / STG06 / UTP / 03/1/015ma0 - 020和YUTP: 015 lc0 - 315(不确定性估计基于拟牛顿方法全波形反演(FWI))。</p> <a id="h10" name="h10"></a> <h2>的利益冲突</h2><p class="mb0">作者声明,这项研究是在没有进行任何商业或财务关系可能被视为一个潜在的利益冲突。</p> <a id="h11" name="h11"></a> <h2>出版商的注意</h2><p class="mb15">本文表达的所有索赔仅代表作者,不一定代表的附属组织,或出版商、编辑和审稿人。任何产品,可以评估在这篇文章中,或声称,可能是由其制造商,不保证或认可的出版商。</p> <a id="h12" name="h12"></a> <h2>引用</h2><d我v class="References"> <p class="ReferencesCopy1"><a name="B1" id="B1"></a>1。段Q, Djidjeli K,价格工作组,Twizell呃。理性的约束控制和近似属性插值曲线。<e米>正科学</e米>(2003)152:181- - - - - - 94。doi: 10.1016 / s0020 - 0255 (02) 00409 - 7</p> <p class="ReferencesCopy2"><a href="https://doi.org/10.1016/s0020-0255(02)00409-7">CrossRef全文</一个>|<一个href="https://scholar.google.com/scholar?hl=en&as_sdt=0%2C5&q=Constrained+Control+and+Approximation+Properties+of+a+Rational+Interpolating+Curve&btnG=">谷歌学术搜索</一个></p> </div> <div class="References"> <p class="ReferencesCopy1"><a name="B2" id="B2"></a>2。段问,王L, Twizell呃。一个新的基于二元有理插值函数值。<e米>正科学</e米>(2004)166:181- - - - - - 91。doi: 10.1016 / j.ins.2003.12.001</p> <p class="ReferencesCopy2"><a href="https://doi.org/10.1016/j.ins.2003.12.001">CrossRef全文</一个>|<一个href="https://scholar.google.com/scholar?hl=en&as_sdt=0%2C5&q=A+New+Bivariate+Rational+Interpolation+Based+on+Function+Values&btnG=">谷歌学术搜索</一个></p> </div> <div class="References"> <p class="ReferencesCopy1"><a name="B3" id="B3"></a>3所示。张段问,张H, Y, Twizell呃。有界的财产和控制表面二元有理插值点。<e米>第一版数学:</e米>(2006)52:975 - 84。doi: 10.1016 / j.camwa.2006.04.021</p> <p class="ReferencesCopy2"><a 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0001 - 6518 - 6705</一个></p> <div class="clear"></div> </div>   <div class="thin-line-dark"></div> </div> </div> </div> </main> </div> <div class="side-article-subjects only-devices widget-listing people-also-looked-at hidden"> <h5 class="like-h4">人也看了</h5></d我v> </div> </div> </div> <div id="divTemplates"> <div class="modal fade modal-container impact-modal-container" data-backdrop="static" id="impactModal" tabindex="-1" role="dialog" aria-labelledby="myModalLabel" aria-hidden="true"></div> <div class="modal fade modal-container supplementary-modal-container" data-backdrop="static" data-keyboard="false" id="supplementaryFilesModal" tabindex="-1" role="dialog" aria-labelledby="mySupplementaryModalLabel" aria-hidden="true" style="display: none; padding-right: 17px;"></div> <div class="modal fade modal-container notifyme-modal-container" data-backdrop="static" id="notifyModal" tabindex="-1" role="dialog" aria-labelledby="Notify on publication" aria-hidden="true"></div> </div> </div> <a id="floating-download-pdf-btn" class="floating-button" data-event="downloadfloating-button-click" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fphy.2021.555517/pdf"><span class="floating-button-text" data-event="downloadfloating-button-click">下载</年代pan></a> <frontiers-footer main-domain="frontiersin.org"></frontiers-footer>   </body> </html>

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