简短的研究报告的文章

前面。理论物理。,20 November 2020
秒。计算物理学
卷8 - 2020 | https://doi.org/10.3389/fphy.2020.593275

拓扑指数的<我nline-formula id="inf1"> $米 t h$ 第三种类型的链Hex-Derived网络

宇鸿霍 ¹

海达尔·阿里 ²

默罕默德Ahsan Binyamin<年代up>2*<我米g class="pr5" src="https://f96a1a95aaa960e01625-a34624e694c43cdf8b40aa048a644ca4.ssl.cf2.rackcdn.com/Design/Images/newprofile_default_profileimage_new.jpg" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.org">Syed Sheraz Asghar<年代up>2

乌斯曼巴巴 ³

Jia-Bao刘 ⁴

¹金融学院和数学、淮南师范大学中国淮南
²政府学院大学数学系费萨尔巴德,巴基斯坦
³应用科学,国家纺织大学,费萨尔巴德,巴基斯坦
⁴数学和物理学院、安徽大学、合肥,中国

在理论化学、数值参数用来描述图表被称为拓扑的分子拓扑指数。一些物理和化学性质,如沸点,熵,形成热,蒸发焓的化合物可以通过这些拓扑指数决定。图论有相当大的使用在评估一些派生的各种拓扑指数的关系图。在本文中,我们将计算像Randić拓扑指数,首先萨格勒布,谐波,增强萨格勒布,atom-bond连接性,geometric-arithmetic指数链hex-derived 3型网络<我nline-formula id="inf2"> $C H D N 3 (米, n)$ 对不同情况下的米和n。我们还将计算数值计算和图形视图来证明我们的结果。

数学主题分类:05年c12 05人私下偷偷收藏盒式

介绍和初步结果

数学科学的一个分支叫做图论是我们使用的一个工具的图形参数准确地揭示了复合现象。图论,例如,当用于研究分子结构、特征字段在不同学科的科学称为分子拓扑或化学图论。

化学图论提供了一个相当大的化学家研究的一部分,可以执行图论的数学证明化学奇迹。我们通常感兴趣的估算结构特点阐述定量结构活性关系用图论技术。

拓扑描述所需的化学结构与性质可以用来分类模型未知的分子和结构。分子和分子化合物往往证明了分子图。在图论中,分子图说明化合物的结构式。所表达的顶点原子分子而边缘显示之间的共价键的原子。

定量结构活性(构象)和组织性能(部分)关系,用于分析生物化合物的有机活动和属性可以研究一个新的主题称为cheminformatics的帮助下,这是构成数学、信息科学和化学。

目前,生物结构的数值编程拓扑描述符增加在振兴科学,结果生物信息学和制药学。

定量构效关系/在部分研究中,物化性能的拓扑描述符像维纳指数,Randić指数,而是指数,第一和第二萨格勒布指数,增强萨格勒布指数、谐波索引和geometric-arithmetic指数是有用的生物活性化合物进行分类。

图可以表现为一个多项式,一个数字的数字,和一个数字序列或一个矩阵。数字量相关的图形保持不变的图自同构和微分拓扑下的图叫做分子描述符。图同构理论特征是持续的被称为拓扑描述符。

目前,计算化学领域的拓扑指数有加息,这实际上是关联到他们使用nonempirical定量组织性能的关系和定量结构活性关系。

拓扑描述符,(G),也可以定义为同构的性质,也就是说,每一个图H同构,G,(G)=最高(H)。拓扑指数的概念被首次引入维纳(<一个href="#B35">35]在实验室工作的沸点石蜡和命名这个结果作为路径,后来命名为维纳指数。

本文考虑六角网络的拓扑指数来源于一个六角图,其中包含苯分子图的无支链的碳氢化合物。六角图由六边形结构,融合在一起。理论化学家高度重视这类化合物。拓扑指数理论已发达的过去四年对个人分子图。苯环碳氢化合物不仅是主要的化工原材料,还有害污染物(<一个href="#B15">15,<一个href="#B16">16,<一个href="#B28">28]。

陈等人。<一个href="#B9">9派生一个六角网。六角网由一组三角形所示<一个href="#F1">图1。用一个维度不存在六角网。一个二维六角网<我nline-formula id="inf4"> $H X (2)$ 可以生成从六个三角形。三维六角形网格<我nline-formula id="inf5"> $H X (3)$ 可以通过添加一个层每个墙的三角形<我nline-formula id="inf6"> $H X (2)$ 。在同样的方式,<我nline-formula id="inf7"> $H X (n)$ 可以通过添加n层周围所有的边的每一个六角网。

图1

图1。六角网格:(1)HX(2),(2)HX(3)、(3)都面临着HX(2)。

图算法<我nline-formula id="inf8"> $H D N 3$ 网络。

步骤1:首先,我们画一个六角网络维度n。

步骤2:所有的<我nline-formula> $K_{3}$ 子图转化为平面八面体网络<我nline-formula> $P O H$ 和获得的图被称为<我nline-formula> $H D N 3$ (<一个href="#B29">29日)(见<一个href="#F1">图1,<一个href="#F2">2)网络。

步骤3:一个m<我nline-formula> $C H D N 3 (米, n)$ 可以很容易地形成的<我nline-formula> $H D N 3$ 网络(见<一个href="#F2">图2,<一个href="#F3">3)。

图2

图2。链hex-derived网络<我nline-formula id="inf14"> $C H D N 3 (米, n)$ 不同的条件米和n喜欢偶数和奇数。

图3

图3。链hex-derived网络<我nline-formula id="inf15"> $C H D N 3 (米, n)$ 。

在<我nline-formula id="inf16"> $C H D N 3 (米, n)$ ,米代表的行数n在每一行的三角形数量。

在这篇文章中,<我nline-formula id="inf17"> $G$ 被认为是一个网络的<我nline-formula id="inf18"> $V (G)$ 顶点集和边集<我nline-formula id="inf19"> $E (G)$ ,<我nline-formula id="inf20"> $d_{r}$ 顶点的程度吗<我nline-formula id="inf21"> $r \in V (G)$ 。

Randić指数(<一个href="#B27">27是用<我nline-formula id="inf22"> $R_{\frac{- 1}{2}} (G)$ ,让我们意识到米兰<我nline-formula id="inf23"> $Randić$ 和代表如下:

R_{\frac{- 1}{2}} (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} \frac{1}{\sqrt{d_{r} d_{年代}}} 。 (1)

一般Randić指数的总和<我nline-formula id="inf24"> ${(d_{r} d_{年代})}^{α}$ 在所有的边缘<我nline-formula id="inf25"> $e = r 年代$ $\in$ $E (G)$ ,表示为

R_{α} (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} {(d_{r} d_{年代})}^{α} f o r α = 1, \frac{1}{2}, - 1, \frac{- 1}{2} 。 (2)

Trinajstić[<一个href="#B31">31日让我们知道<我nline-formula id="inf28"> $T 我' 年代$ ,这是第一次和第二次萨格勒布指标,用<我nline-formula id="inf29"> $米_{1} (G)$ 和形式化如下:

米_{1} (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} (d_{r} + d_{年代}) 。 (3)

Furtula et al。<一个href="#B13">13]介绍了增强萨格勒布指数和将其描述为

一个 Z 我 (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} {(\frac{d_{r} d_{年代}}{d_{r} + d_{年代} - 2})}^{3} 。 (4)

钟(<一个href="#B37">37]介绍了谐波指数和将其描述为

H (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} (\frac{2}{d_{r} + d_{年代}}) 。 (5)

索引atom-bond连接(ABC)是一个著名的mba拓扑指数不同,由埃斯特拉达et al。<一个href="#B12">12),定义为

一个 B C (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} \sqrt{\frac{d_{r} + d_{年代} - 2}{d_{r} d_{年代}}} 。 (6)

Vukićević和Furtula<一个href="#B33">33)发明了著名的geometric-arithmetic指数,代表

G 一个 (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} \frac{2 \sqrt{d_{r} d_{年代}}}{(d_{r} + d_{年代})} 。 (7)

例m链hex-derived第三种类型的网络。<我nline-formula id="inf30"> $C H D N 3 (米, n)$

有三种情况<我nline-formula id="inf31"> $C H D N 3 (米, n)$ 。

案例1:为<我nline-formula> $米 = n$ ,<我nline-formula> $(米, n) \geq 1$ 。

案例2:为<我nline-formula> $米 < n$ ,米奇怪的是,<我nline-formula> $n \in$ $ℕ$ 。为<我nline-formula> $米 > n$ ,米奇怪的是,<我nline-formula> $n \in$ $ℕ$ 。为<我nline-formula> $米 < n$ ,米和n两者都是偶数。为<我nline-formula> $米 > n$ ,米和n两者都是偶数。

案例3:为<我nline-formula> $米 < n$ ,米甚至和n是奇数。为<我nline-formula> $米 > n$ ,米甚至和n是奇数。

主要结果

Simonraj et al。<一个href="#B29">29日)发现hex-derived网络和发现的度量维度<我nline-formula id="inf44"> $H D N 3$ 。我们讨论新衍生的第三种类型的本文hex-derived网络和计算的结果基于度的拓扑指数。这些拓扑指数及其变体目前受到广泛的研究活动,看到<一个href="#B1">1- - - - - -<一个href="#B8">8,<一个href="#B14">14,<一个href="#B18">18- - - - - -<一个href="#B25">25,<一个href="#B30">30.,<一个href="#B32">32,<一个href="#B34">34,<一个href="#B36">36]。基本符号和定义,请参阅[<一个href="#B10">10,<一个href="#B17">17,<一个href="#B26">26,<一个href="#B31">31日]。

结果第一例m链Hex-Derived第三种类型的网络CHDN3(米,n)

在本节中,第一次,我们讨论<我nline-formula id="inf46"> $C H D N 3 (米, n)$ ,这是源自hex-derived网络和计算的结果<我nline-formula id="inf47"> $Randic$ 萨格勒布,谐波增强萨格勒布,atom-bond连接性,geometric-arithmetic指数为例1。

定理2.1.1。考虑到<我nline-formula id="inf48"> $米 t h$ 链hex-derived 3型网络<我nline-formula id="inf49"> $C H D N 3 (米, n)$ ,一般Randić指数=

R_{α} (G) = {\begin{array}{l} 16 (2 - 9 米 + 27 米 n - 9 n), & α = 1; \\ 4 (6 - 4 \sqrt{2} - 3 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n - 3 n), & α = \frac{1}{2}; \\ \frac{1}{8} (6 - 4 \sqrt{2} + 3 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n + 3 n), & α = \frac{- 1}{2}; \\ \frac{1}{64年} (2 + 9 米 + 27 米 n + 9 n), & α = - 1。 \end{array}

证明。让<我nline-formula id="inf50"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。<一个href="#T1">表1显示了这样的一个分区的边缘<我nline-formula id="inf51"> $G$ 为<我nline-formula id="inf52"> $米 = n$ 。使用方程<我nline-formula id="inf53"> $(2)$ ,我们有

R_{α} (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} {(d_{r} d_{年代})}^{α} 。

表1

表1。mba边缘分区米=n

使用边缘分区<一个href="#T1">表1,我们得到以下。

为<我nline-formula id="inf59"> $α = 1$ ,<一个href="#e2">情商。就变成了

R_{1} (G) = {(16)}^{1} (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + {(32)}^{1} (6 米 n - 4) + {(64年)}^{1} (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{1} (G) = 16 (2 - 9 米 + 27 米 n - 9 n) 。

为<我nline-formula id="inf60"> $α = \frac{1}{2}$ ,<一个href="#e2">情商。就变成了

R_{\frac{1}{2}} (G) = {(16)}^{\frac{1}{2}} (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + {(32)}^{\frac{1}{2}} (6 米 n - 4) + {(64年)}^{\frac{1}{2}} (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{\frac{1}{2}} (G) = 4 (6 - 4 \sqrt{2} - 3 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n - 3 n) 。

为<我nline-formula id="inf61"> $α = - \frac{1}{2}$ ,<一个href="#e2">情商。就变成了

R_{- \frac{1}{2}} (G) = {(16)}^{- \frac{1}{2}} (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + {(32)}^{- \frac{1}{2}} (6 米 n - 4) + {(64年)}^{- \frac{1}{2}} (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{- \frac{1}{2}} (G) = \frac{1}{8} (6 - 4 \sqrt{2} + 3 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n + 3 n) 。

为<我nline-formula id="inf62"> $α = - 1$ ,<一个href="#e2">情商。就变成了

R_{- 1} (G) = {(16)}^{- 1} (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + {(32)}^{- 1} (6 米 n - 4) + {(64年)}^{- 1} (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{- 1} (G) = \frac{1}{64年} (2 + 9 米 + 27 米 n + 9 n) 。

2.1.2定理。考虑到<我nline-formula id="inf63"> $米 t h$ 链hex-derived 3型网络<我nline-formula id="inf64"> $C H D N 3 (米, n)$ ,第一个萨格勒布指数=

米_{1} (G) = - 24 (米 - 6 米 n + n) 。

证明。让<我nline-formula id="inf65"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。在<一个href="#T1">表1,有一个分区的边缘<我nline-formula id="inf66"> $G$ 为<我nline-formula id="inf67"> $米 = n$ 。使用<一个href="#e3">情商。,我们有

米_{1} (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} (d_{r} + d_{年代}) 。

使用边缘分区<一个href="#T1">表1,我们得到

米_{1} (G) = (4 + 4) (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + (4 + 8) (6 米 n - 4) + (8 + 8) (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2),

= (8) (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + (12) (6 米 n - 4) + (16) (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2),

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow 米_{1} (G) = - 24 (米 - 6 米 n + n) 。

定理2.1.3。考虑到<我nline-formula id="inf68"> $米 t h$ 链hex-derived 3型网络<我nline-formula id="inf69"> $C H D N 3 (米, n)$ 萨格勒布,增强指标和谐波指标是相等的

一个 Z 我 (G) = \frac{512年}{1157625} (221398年 - 519375年 米 + 1221153 米 n - 519375年 n) 。

H (G) = \frac{1}{24} (2 + 9 米 + 51 米 n + 9 n) 。

证明。让<我nline-formula id="inf70"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。使用<一个href="#e4">Eq。4,我们有

一个 Z 我 (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} {(\frac{d_{r} d_{年代}}{d_{r} + d_{年代} - 2})}^{3} 。

从<一个href="#T1">表1使用分区,可以获得结果

一个 Z 我 (G) = {(\frac{4 \times 4}{4 + 4 - 2})}^{3} (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + {(\frac{4 \times 8}{4 + 8 - 2})}^{3} (6 米 n - 4)

+ {(\frac{8 \times 8}{8 + 8 - 2})}^{3} (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2),

= {(\frac{8}{3})}^{3} (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + {(\frac{16}{5})}^{3} (6 米 n - 4) + {(\frac{32}{7})}^{3} (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow 一个 Z 我 (G) = \frac{512年}{1157625} (221398年 - 519375年 米 + 1221153 米 n - 519375年 n) 。

使用<一个href="#e5">情商。,我们有

H (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} (\frac{2}{d_{r} + d_{年代}}) 。

从<一个href="#T1">表1使用分区,可以获得结果

H (G) = (\frac{2}{4 + 4}) (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + (\frac{2}{4 + 8}) (6 米 n - 4) + (\frac{2}{8 + 8}) (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2),

= (\frac{1}{8}) (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + (\frac{1}{6}) (6 米 n - 4) + (\frac{1}{8}) (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow H (G) = \frac{1}{24} (2 + 9 米 + 51 米 n + 9 n) 。

定理2.1.4。让<我nline-formula id="inf71"> $G$ 是<我nline-formula id="inf72"> $米 t h$ 第三种类型的链hex-derived网络<我nline-formula id="inf73"> $C H D N 3 (米, n)$ ,然后atom-bond连接性指数和geometric-arithematic指数等于

一个 B C (G) = \frac{1}{8} (4 \sqrt{5} (3 米 n - 2) + \sqrt{14} (2 - 3 米 + 3 米 n - 3 n) + 2 \sqrt{6} (2 + 3 米 + 3 米 n + 3 n)) 。

G 一个 (G) = 4 + 6 米 n + \frac{4 \sqrt{2}}{3} (3 米 n - 2) 。

证明。让<我nline-formula id="inf74"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。使用<一个href="#e6">情商。,我们有

一个 B C (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} \sqrt{\frac{d_{r} + d_{年代} - 2}{d_{r} d_{年代}}} 。

从<一个href="#T1">表1使用分区,可以获得结果

一个 B C (G) = \sqrt{\frac{4 + 4 - 2}{4 \times 4}} (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + \sqrt{\frac{4 + 8 - 2}{4 \times 8}} (6 米 n - 4)

+ \sqrt{\frac{8 + 8 - 2}{8 \times 8}} (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2),

= \sqrt{\frac{3}{8}} (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + \sqrt{\frac{14}{64年}} (6 米 n - 4) + \sqrt{\frac{7}{32}} (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2),

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow 一个 B C (G) = \frac{1}{8} (4 \sqrt{5} (3 米 n - 2) + \sqrt{14} (2 - 3 米 + 3 米 n - 3 n) + 2 \sqrt{6} (2 + 3 米 + 3 米 n + 3 n)) 。

使用<一个href="#e7">7情商。,

G 一个 (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} \frac{2 \sqrt{d_{r} d_{年代}}}{d_{r} + d_{年代}} 。

从<一个href="#T1">表1使用边缘分区,我们得到的结果,

G 一个 (G) = \frac{2 \sqrt{4 \times 4}}{(4 + 4)} (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + \frac{2 \sqrt{4 \times 8}}{(4 + 8)} (6 米 n - 4) + \frac{2 \sqrt{8 \times 8}}{(8 + 8)},

(3 米 n - 3 米 - 3 n + 2)

= (1) (3 米 n + 3 米 + 3 n + 2) + \frac{2 \sqrt{2}}{3} (6 米 n - 4) + (1) (3 米 n - 3 米 - 3 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow G 一个 (G) = 4 + 6 米 n + \frac{4 \sqrt{2}}{3} (3 米 n - 2) 。

结果第二例链Hex-Derived网络的第三种类型CHDN3(米,n)

在本节中,第一次,我们讨论<我nline-formula id="inf76"> $C H D N 3 (米, n)$ 来自forRandic hex-derived网络和计算的结果,萨格勒布,谐波,增强萨格勒布,atom-bond连接性,geometric-arithmetic指数为2。

定理2.2.1。考虑到<我nline-formula id="inf77"> $米 t h$ 链hex-derived 3型网络<我nline-formula id="inf78"> $C H D N 3 (米, n)$ 第二个案例,一般Randic指数=

R_{α} (G) = {\begin{array}{l} 16 (2 - 12 米 + 27 米 n - 6 n), & α = 1; \\ 4 (6 - 4 \sqrt{2} - 4 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n - 2 n), & α = \frac{1}{2}; \\ \frac{1}{8} (6 - 4 \sqrt{2} + 4 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n + 2 n,) & α = \frac{- 1}{2}; \\ \frac{1}{64年} (2 + 12 米 + 27 米 n + 6 n), & α = - 1。 \end{array}

证明。让<我nline-formula id="inf79"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。<一个href="#T2">表2显示了这样的一个分区的边缘<我nline-formula id="inf80"> $G$ 第二个案例。

表2

表2。mba边缘分区<年代trong>例2。

使用<一个href="#e2">情商。,我们得到

R_{α} (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} {(d_{r} d_{年代})}^{α} 。

使用边缘分区<一个href="#T2">表2,我们得到<我nline-formula id="inf86"> $α = 1$ ,

R_{1} (G) = {(16)}^{1} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + {(32)}^{1} (6 米 n - 4) + {(64年)}^{1} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{1} (G) = 16 (2 - 12 米 + 27 米 n - 6 n) 。

为<我nline-formula id="inf87"> $α = \frac{1}{2}$ ,

R_{\frac{1}{2}} (G) = {(16)}^{\frac{1}{2}} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + {(32)}^{\frac{1}{2}} (6 米 n - 4) + {(64年)}^{\frac{1}{2}} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{\frac{1}{2}} (G) = 4 (6 - 4 \sqrt{2} - 4 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n - 2 n) 。

为<我nline-formula id="inf88"> $α = - \frac{1}{2}$ ,

R_{- \frac{1}{2}} (G) = {(16)}^{- \frac{1}{2}} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + {(32)}^{- \frac{1}{2}} (6 米 n - 4) + {(64年)}^{- \frac{1}{2}} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{\frac{- 1}{2}} (G) = \frac{1}{8} (6 - 4 \sqrt{2} + 4 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n + 2 n) 。

为<我nline-formula id="inf89"> $α = - 1$ ,

R_{- 1} (G) = {(16)}^{- 1} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + {(32)}^{- 1} (6 米 n - 4) + {(64年)}^{- 1} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{- 1} (G) = \frac{1}{64年} (2 + 12 米 + 27 米 n + 6 n) 。

2.2.2定理。考虑到<我nline-formula id="inf90"> $米 t h$ 链hex-derived 3型网络<我nline-formula id="inf91"> $C H D N 3 (米, n)$ ,第一个萨格勒布指数=

米_{1} (G) = - 16 (2 米 - 9 米 n + n) 。

证明。让<我nline-formula id="inf92"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。<一个href="#T2">表2显示了这样的一个分区的边缘<我nline-formula id="inf93"> $G$ 第二个案例。

使用<一个href="#e3">情商。,

米_{1} (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} (d_{r} + d_{年代}) 。

使用边缘分区<一个href="#T2">表2,我们得到

米_{1} (G) = (4 + 4) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + (4 + 8) (6 米 n - 4) + (8 + 8) (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

= (8) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + (12) (6 米 n - 4) + (16) (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow 米_{1} (G) = - 16 (2 米 - 9 米 n + n) 。

定理2.2.3。让<我nline-formula id="inf94"> $G$ 是<我nline-formula id="inf95"> $C H D N 3 (米, n)$ $米 t h$ 链hex-derived第三种类型的网络,增强萨格勒布指数和谐波指数等于

一个 Z 我 (G) = \frac{512年}{1157625} (221398年 - 692500年 米 + 1221153 米 n - 346250年 n) 。

H (G) = \frac{1}{24} (2 + 12 米 + 51 米 n + 6 n) 。

证明。考虑<我nline-formula id="inf97"> $G$ 是<我nline-formula id="inf98"> $C H D N 3 (米, n)$ $米 t h$ 第三种类型的链hex-derived网络。使用<一个href="#e4">Eq。4,我们得到

一个 Z 我 (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} {(\frac{d_{r} d_{年代}}{d_{r} + d_{年代} - 2})}^{3} 。

从<一个href="#T1">表1使用分区,可以获得结果

一个 Z 我 (G) = {(\frac{4 \times 4}{4 + 4 - 2})}^{3} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + {(\frac{4 \times 8}{4 + 8 - 2})}^{3} (6 米 n - 4)

{+ (\frac{8 \times 8}{8 + 8 - 2})}^{3} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

= ({(\frac{8}{3})}^{3}) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + {(\frac{16}{5})}^{3} (6 米 n - 4) + {(\frac{32}{7})}^{3} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow 一个 Z 我 (G) = \frac{512年}{1157625} (221398年 - 692500年 米 + 1221153 米 n - 346250年 n) 。

通过使用<一个href="#e5">情商。,我们有

H (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} (\frac{2}{d_{r} + d_{年代}}) 。

从<一个href="#T1">表1使用分区,可以获得结果

H (G) = (\frac{2}{4 + 4}) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + (\frac{2}{4 + 8}) (6 米 n - 4) + (\frac{2}{8 + 8}) (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

= (\frac{1}{8}) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + (\frac{1}{6}) (6 米 n - 4) + (\frac{1}{8}) (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow H (G) = \frac{1}{24} (2 + 12 米 + 51 米 n + 6 n) 。

2.2.4定理。让<我nline-formula id="inf100"> $G$ 是<我nline-formula id="inf101"> $C H D N 3 (米, n)$ $米 t h$ 链hex-derived第三种类型的网络,然后atom-bond连接和geometric-arithematic指数等于

一个 B C (G) = \frac{1}{8} (4 \sqrt{5} (3 米 n - 2) + \sqrt{14} (2 - 4 米 + 3 米 n - 2 n) + 2 \sqrt{6} (2 + 4 米 + 3 米 n + 2 n)) 。

G 一个 (G) = 4 + 6 米 n + \frac{4 \sqrt{2}}{3} (3 米 n - 2) 。

证明。考虑<我nline-formula id="inf103"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。通过使用<一个href="#e6">情商。,我们有

一个 B C (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} \sqrt{\frac{d_{r} + d_{年代} - 2}{d_{r} d_{年代}}} 。

从<一个href="#T2">表2,通过使用分区,我们得到的结果,

一个 B C (G) = \sqrt{\frac{4 + 4 - 2}{4 \times 4}} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + \sqrt{\frac{4 + 8 - 2}{4 \times 8}} (6 米 n - 4)

+ \sqrt{\frac{8 + 8 - 2}{8 \times 8}} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

= \sqrt{\frac{3}{8}} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + \sqrt{\frac{14}{64年}} (6 米 n - 4) + \sqrt{\frac{7}{32}} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow 一个 B C (G) = \frac{1}{8} (4 \sqrt{5} (3 米 n - 2) + \sqrt{14} (2 - 4 米 + 3 米 n - 2 n) + 2 \sqrt{6} (2 + 4 米 + 3 米 n + 2 n)) 。

使用<一个href="#e7">7情商。,我们有

G 一个 (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} \frac{2 \sqrt{d_{r} d_{年代}}}{(d_{r} + d_{年代})} 。

从<一个href="#T2">表2使用边缘分区,我们得到的结果,

G 一个 (G) = \frac{2 \sqrt{4 \times 4}}{(4 + 4)} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + \frac{2 \sqrt{4 \times 8}}{(4 + 8)} (6 米 n - 4) + \frac{2 \sqrt{8 \times 8}}{(8 + 8)} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

= (1) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + \frac{2 \sqrt{2}}{3} (6 米 n - 4) + (1) (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow G 一个 (G) = 4 + 6 米 n + \frac{4 \sqrt{2}}{3} (3 米 n - 2) 。

结果第三的情况下<我nline-formula id="inf104"> $C H D N 3 (米, n)$ 六角链派生的第三种类型的网络

在本节中,第一次,我们讨论<我nline-formula id="inf105"> $C H D N 3 (米, n)$ 派生hex-derived forRandic网络和计算的结果,萨格勒布,谐波,增强萨格勒布,atom-bond连接性,geometric-arithmetic指标情况3。

定理2.3.1。考虑到<我nline-formula id="inf106"> $米 t h$ 链hex-derived 3型网络<我nline-formula id="inf107"> $C H D N 3 (米, n)$ ,一般<我nline-formula id="inf108"> $R 一个 n d \overset{´}{我} c$ 指数等于第三个案例

R_{α} (G) = {\begin{array}{l} - 16 (2 + 12 米 - 27 米 n + 6 n), & α = 1; \\ 4 (- 4 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n - 2 (- 5 + 4 \sqrt{2} + n)), & α = \frac{1}{2}; \\ \frac{1}{8} (4 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n + 2 (7 - 4 \sqrt{2} + n)), & α = \frac{- 1}{2}; \\ \frac{1}{64年} (10 + 12 米 + 27 米 n + 6 n), & α = - 1。 \end{array}

证明。让<我nline-formula id="inf109"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。使用<一个href="#e2">情商。,我们得到

R_{α} (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} {(d_{r} d_{年代})}^{α} 。

使用边缘分区<一个href="#T3">表3,我们得到<我nline-formula id="inf110"> $α = 1$

R_{1} (G) = {(16)}^{1} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + {(32)}^{1} (6 米 n - 8) + {(64年)}^{1} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

表3

表3。mba边缘分区<年代trong>例3。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{1} (G) = - 16 (2 + 12 米 + 27 米 n + 6 n) 。

为<我nline-formula id="inf116"> $α = \frac{1}{2}$ ,

R_{\frac{1}{2}} (G) = {(16)}^{\frac{1}{2}} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + {(32)}^{\frac{1}{2}} (6 米 n - 8) + {(64年)}^{\frac{1}{2}} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{\frac{1}{2}} (G) = 4 (- 4 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n - 2 (- 5 + 4 \sqrt{2} + n)) 。

为<我nline-formula id="inf117"> $α = - \frac{1}{2}$ ,

R_{- \frac{1}{2}} (G) = {(16)}^{- \frac{1}{2}} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + {(32)}^{- \frac{1}{2}} (6 米 n - 8) + {(64年)}^{- \frac{1}{2}} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{- \frac{1}{2}} (G) = \frac{1}{8} (4 米 + (9 + 6 \sqrt{2}) 米 n + 2 (7 - 4 \sqrt{2} + n)) 。

为<我nline-formula id="inf118"> $α = - 1$ ,

R_{- 1} (G) = {(16)}^{- 1} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + {(32)}^{- 1} (6 米 n - 8) + {(64年)}^{- 1} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow R_{- 1} (G) = \frac{1}{64年} (10 + 12 米 + 27 米 n + 6 n) 。

2.3.2定理。考虑到<我nline-formula id="inf119"> $米 t h$ 链hex-derived 3型网络<我nline-formula id="inf120"> $C H D N 3 (米, n)$ ,第一个萨格勒布指数=

米_{1} (G) = - 16 (1 + 2 米 - 9 米 n + n) 。

证明。让<我nline-formula id="inf121"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。<一个href="#T3">表3显示了这样的一个分区的边缘<我nline-formula id="inf122"> $G$ 第三。使用<一个href="#e3">情商。,我们得到

米_{1} (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} (d_{r} + d_{年代}) 。

使用边缘分区<一个href="#T3">表3,我们得到

米_{1} (G) = (4 + 4) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + (4 + 8) (6 米 n - 8) + (8 + 8) (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

= (8) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + (12) (6 米 n - 8) + (16) (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow 米_{1} (G) = - 16 (1 + 2 米 - 9 米 n + n) 。

定理2.3.3。考虑到<我nline-formula id="inf123"> $米 t h$ 链hex-derived 3型网络<我nline-formula id="inf124"> $C H D N 3 (米, n)$ ,增强萨格勒布指数和谐波萨格勒布指数等于

一个 Z 我 (G) = \frac{512年}{1157625} (96546年 - 692500年 米 + 1221153 米 n - 346250年 n) 。

H (G) = \frac{1}{24} (10 + 12 米 + 51 米 n + 6 n) 。

证明。让<我nline-formula id="inf125"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。使用<一个href="#e4">Eq。4,

一个 Z 我 (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} {(\frac{d_{r} d_{年代}}{d_{r} + d_{年代} - 2})}^{3} 。

从<一个href="#T3">表3使用分区,可以获得结果

一个 Z 我 (G) = {(\frac{4 \times 4}{4 + 4 - 2})}^{3} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + {(\frac{4 \times 8}{4 + 8 - 2})}^{3} (6 米 n - 8)

+ {(\frac{8 \times 8}{8 + 8 - 2})}^{3} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

= ({(\frac{8}{3})}^{3}) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + {(\frac{16}{5})}^{3} (6 米 n - 8) + {(\frac{32}{7})}^{3} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow 一个 Z 我 (G) = \frac{512年}{1157625} (96546年 - 692500年 米 + 1221153 米 n - 346250年 n) 。

使用<一个href="#e5">情商。,

H (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} (\frac{2}{d_{r} + d_{年代}}) 。

从<一个href="#T3">表3使用分区,可以获得结果

H (G) = = (\frac{2}{4 + 4}) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 2) + (\frac{2}{4 + 8}) (6 米 n - 8) + (\frac{2}{8 + 8}) (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

= (\frac{1}{8}) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + (\frac{1}{6}) (6 米 n - 8) + (\frac{1}{8}) (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow H (G) = \frac{1}{24} (10 + 12 米 + 51 米 n + 6 n) 。

定理是2.3.4。让<我nline-formula id="inf126"> $G$ 是<我nline-formula id="inf127"> $C H D N 3 (米, n)$ $米 t h$ 链hex-derived第三种类型的网络,然后atom-bond连接性指数=

一个 B C (G) = \frac{1}{8} (4 \sqrt{5} (3 米 n - 4) + \sqrt{14} (2 - 4 米 + 3 米 n - 2 n) + 2 \sqrt{6} (6 + 4 米 + 3 米 n + 2 n)) 。

G 一个 (G) = 8 + 6 米 n + \frac{4 \sqrt{2}}{3} (3 米 n - 4) 。

证明。让<我nline-formula id="inf129"> $G ≅ C H D N 3 (米, n)$ 。使用<一个href="#e6">情商。,我们得到

一个 B C (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} \sqrt{\frac{d_{r} + d_{年代} - 2}{d_{r} d_{年代}}} 。

从<一个href="#T3">表3结果,通过使用分区,可以获得

一个 B C (G) = \sqrt{\frac{4 + 4 - 2}{4 \times 4}} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + \sqrt{\frac{4 + 8 - 2}{4 \times 8}} (6 米 n - 8)

+ \sqrt{\frac{8 + 8 - 2}{8 \times 8}} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

= \sqrt{\frac{3}{8}} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + \sqrt{\frac{14}{64年}} (6 米 n - 8) + \sqrt{\frac{7}{32}} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow 一个 B C (G) = \frac{1}{8} (4 \sqrt{5} (3 米 n - 4) + \sqrt{14} (2 - 4 米 + 3 米 n - 2 n) + 2 \sqrt{6} (6 + 4 米 + 3 米 n + 2 n)) 。

使用<一个href="#e7">7情商。,我们有

G 一个 (G) = \sum_{r 年代 \in E (G)} \frac{2 \sqrt{d_{r} d_{年代}}}{d_{r} + d_{年代}} 。

从<一个href="#T3">表3使用分区,可以获得结果

G 一个 (G) = \frac{2 \sqrt{4 \times 4}}{(4 + 4)} (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + \frac{2 \sqrt{4 \times 8}}{(4 + 8)} (6 米 n - 8) + \frac{2 \sqrt{8 \times 8}}{(8 + 8)} (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2),

= (1) (3 米 n + 4 米 + 2 n + 6) + \frac{2 \sqrt{2}}{3} (6 米 n - 8) + (1) (3 米 n - 4 米 - 2 n + 2) 。

通过一些计算,我们得到的

\Rightarrow G 一个 (G) = 8 + 6 米 n + \frac{4 \sqrt{2}}{3} (3 米 n - 4) 。

$•$ 首先萨格勒布的比较、谐波atom-bond连接,和geometric-arithmetic指数<我nline-formula> $C H D N 3 (米, n)$ 为<我nline-formula> $米 = n$ ,我们计算的指数不同的值米和n。通过增加的值米和n显然,我们可以检查从以下<一个href="#T4">表4、指数也增加的顺序和它们的图形结构所示<一个href="#F4">图4。

$•$ 首先萨格勒布的比较、谐波atom-bond连接,和geometric-arithmetic指数<我nline-formula> $C H D N 3 (米, n)$ 为<我nline-formula> $米 < n$ ,在那里米奇怪的是,n是自然数。通过增加的值米和n显然,我们可以检查从以下<一个href="#T5">表5、指数也增加的顺序和它们的图形结构所示<一个href="#F5">图5。

$•$ 首先萨格勒布的比较、谐波atom-bond连接,和geometric-arithmetic指数<我nline-formula> $C H D N 3 (米, n)$ 为<我nline-formula> $米 < n$ ,在那里米和n两者都是偶数。通过增加的值米和n显然,我们可以检查从以下<一个href="#T6">表6、指数也增加的顺序和它们的图形结构所示<一个href="#F6">图6。

$•$ 首先萨格勒布的比较、谐波atom-bond连接,和geometric-arithmetic指数<我nline-formula> $C H D N 3 (米, n)$ 为<我nline-formula> $米 < n$ ,在那里米甚至和n是奇数。通过增加的值米和n显然,我们可以检查从以下<一个href="#T7">表7、指数也增加的顺序和它们的图形结构所示<一个href="#F7">图7。

表4

表4。数值计算的<我nline-formula id="inf142"> $C H D N 3 (米, n)$ 为<我nline-formula id="inf143"> $米 = n$ 。

图4

图4。的图示<我nline-formula id="inf145"> $C H D N 3 (米, n)$ 为不同的值<我nline-formula id="inf146"> $米 = n$ 。

表5

表5。数值计算的<我nline-formula id="inf147"> $C H D N 3 (米, n)$ 网络<我nline-formula id="inf148"> $米 < n$ ,在那里米奇怪的是,n是自然数。

图5

图5。的图示<我nline-formula id="inf150"> $C H D N 3 (米, n)$ 为不同的值<我nline-formula id="inf151"> $米 < n$ ,在那里米奇怪的是,n是自然数。

表6

表6。数值计算的<我nline-formula id="inf152"> $C H D N 3 (米, n)$ 网络<我nline-formula id="inf153"> $米 < n$ ,在那里米和n两者都是偶数。

图6

图6。的图示<我nline-formula id="inf155"> $C H D N 3 (米, n)$ 为不同的值<我nline-formula id="inf156"> $米 < n$ ,在那里米和n两者都是偶数。

表7

表7。数值计算的<我nline-formula id="inf157"> $C H D N 3 (米, n)$ 网络<我nline-formula id="inf158"> $米 < n$ ,在那里米甚至和n是奇数。

图7

图7。的图示<我nline-formula id="inf160"> $C H D N 3 (米, n)$ 为不同的值<我nline-formula id="inf161"> $米 < n$ ,在那里米甚至和n是奇数。

结论

在本文中,我们计算准确的解决方案mba指数mth-hex-derived第三类型的网络。Hex-derived网络各种有用的应用程序在制药、电子和网络。我们获得了mba Randić等指标,首先萨格勒布,增强萨格勒布,谐波,atom-bond连接性指数,和十六进制派生geometric-arithmetic指数网络。对于这个网络,我们也考虑到表格和图形对比指标。我们知道增加的值米和n指数也有增加,显示了我们的研究结果的正确性。这些结果可能有助于在计算机科学与化学的人遇到hex-derived网络。

数据可用性声明

所有数据集在这项研究中都包含在本文展示/<一个href="#SM1">补充材料。

作者的贡献

所有作者参与了准备和展示的手稿。

的利益冲突

作者声明,这项研究是在没有进行任何商业或财务关系可能被视为一个潜在的利益冲突。

补充材料

本文的补充材料在网上可以找到:<一个href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fphy.2020.593275/full">https://www.雷竞技rebatfrontiersin.org/articles/10.3389/fphy.2020.593275/full补充材料

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关键词:Randić、索引第一和第二萨格勒布指数,增强萨格勒布指数,调和指数atom-bond连接和geometric-arithmetic指数

引用:霍Y,阿里H本亚明•马Asghar党卫军,巴巴U和刘jb(2020)的拓扑指数<我nline-formula id="inf162"> $米 t h$ 第三种类型的链Hex-Derived网络。前面。理论物理。8:593275。doi: 10.3389 / fphy.2020.593275

收到:2020年8月24日;<年代pan>接受:2020年9月23日;
发表:2020年11月20日。

编辑:

金近李上海交通大学,中国

审核:

瓦格斯海角大学教育,Winneba,加纳
Mohammad Reza Farahani伊朗,伊朗科技大学,

版权©2020霍,阿里Binyamin Asghar,巴巴和刘。这是一个开放分布式根据文章<一个rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" target="_blank">知识共享归属许可(CC)。使用、分发或复制在其他论坛是允许的,提供了原始作者(年代)和著作权人(s)认为,最初发表在这个期刊引用,按照公认的学术实践。没有使用、分发或复制是不符合这些条件的允许。

*通信:穆罕默德•Ahsan Binyamin<一个href="mailto:ahsanbanyamin@gmail.com">ahsanbanyamin@gmail.com

简短的研究报告的文章

拓扑指数的<我nline-formula id="inf1"> 米 t h 第三种类型的链Hex-Derived网络

介绍和初步结果

主要结果

结果第一例m链Hex-Derived第三种类型的网络CHDN3(米,n)

结果第二例链Hex-Derived网络的第三种类型CHDN3(米,n)

结果第三的情况下<我nline-formula id="inf104"> C H D N 3 ( 米 , n ) 六角链派生的第三种类型的网络

结论

数据可用性声明

作者的贡献

的利益冲突

补充材料

引用

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