小说强大战略间断伽辽金方法在计算流体力学中:为什么?什么时候?什么?在哪里?gydF4y2B一个

1简要介绍DGgydF4y2B一个

第一个不连续加勒金(DG)类型discretisation要么是归因于里德和希尔在1973年(gydF4y2B一个1gydF4y2B一个为应用程序)稳态标量双曲线性平流中子输运模型,或在1971年Nitsche [gydF4y2B一个2gydF4y2B一个]介绍了间断有限元方法(FEM)与非相容的近似空间解决椭圆问题。然而一系列的论文通过Cockburn,蜀等人开始20年后(gydF4y2B一个3gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个6gydF4y2B一个]介绍了gydF4y2B一个现代gydF4y2B一个形成所谓的龙格-库塔DG方案。他们方法特别适用于非线性双曲问题如可压缩欧拉方程与斜率限制非结构化单纯形网格来捕捉冲击。低音部和Rebay第一,延长了DG方法可压缩n - s方程(gydF4y2B一个7gydF4y2B一个]。他们使用一个完全不连续拟设基于混合变分公式,他们改写了二阶偏微分方程(PDE)到一阶系统。由此产生的DG配方需要的数值通量对流和扩散的部分。虽然可压缩n - s方程的方法给了合理的结果,分析的方法在阿诺德和Brezzi et al。gydF4y2B一个8gydF4y2B一个,gydF4y2B一个9gydF4y2B一个)应用于纯椭圆问题揭示了如何改进方法在收敛速度方面,伴随一致性和稳定性。因为其现代形式的引入,DG方法已被许多研究人员在不同的应用和先进科学学科在世界各地。DG方法被用于广泛的应用,如可压缩流(gydF4y2B一个10gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个12gydF4y2B一个)、电磁学和光学gydF4y2B一个13gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个16gydF4y2B一个)、音响(gydF4y2B一个17gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个21gydF4y2B一个)、气象(gydF4y2B一个22gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个25gydF4y2B一个),和地球物理学gydF4y2B一个26gydF4y2B一个,gydF4y2B一个27gydF4y2B一个]。上可用的第一本书DG基本上是一个收集的论文(gydF4y2B一个28gydF4y2B一个]。自那时以来,有许多不同的教科书DG关注理论的发展以及具体的实现细节,例如,(gydF4y2B一个29日gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个31日gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

DG方法的主要应用之一是discretisation运动的非线性对流形式的问题gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个ugydF4y2B一个是守恒量的向量,例如,质量,动量,或能量。向量gydF4y2B一个 $\stackrel{\leftrightarrow gydF4y2B一个}{\mathbf{fgydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个\mathbf{ugydF4y2B一个})gydF4y2B一个$ 定义了通量函数一般非线性取决于解决方案gydF4y2B一个ugydF4y2B一个,可以简洁地编写与双箭头符号块向量gydF4y2B一个

与通量gydF4y2B一个fgydF4y2B一个_{我gydF4y2B一个}在每个空间方向gydF4y2B一个xgydF4y2B一个_{我gydF4y2B一个},gydF4y2B一个我gydF4y2B一个= 1,2,3。用粘性通量gydF4y2B一个 ${\stackrel{\leftrightarrow gydF4y2B一个}{\mathbf{fgydF4y2B一个}}}_{\mathrm{vgydF4y2B一个}}$ 不仅取决于解决方案,而且在其空间梯度gydF4y2B一个

因此建模抛物线效果,如热传导。问题是通常定义在一个给定的空间域gydF4y2B一个 $\text{ΩgydF4y2B一个}\subset gydF4y2B一个{\mathcal{RgydF4y2B一个}}^{\mathrm{3gydF4y2B一个}}$ ,最后一次gydF4y2B一个TgydF4y2B一个,合适的初始和边界条件。gydF4y2B一个

DG方案是基于伽辽金类型弱的配方。为了简单起见,我们将粘性二阶条件在下面和参考,如。gydF4y2B一个32gydF4y2B一个),运动的完整描述对流情况。构建DG方法的近似空间域分为非重叠元素gydF4y2B一个 $\mathrm{EgydF4y2B一个}\subset gydF4y2B一个\text{ΩgydF4y2B一个}$ 。每个组件的解决方案gydF4y2B一个ugydF4y2B一个每个元素表示为多项式函数里面吗gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个PgydF4y2B一个(gydF4y2B一个NgydF4y2B一个)是多项式基函数的数量根据多项式的程度gydF4y2B一个NgydF4y2B一个。与时间有关的多项式系数gydF4y2B一个UgydF4y2B一个_{jgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个tgydF4y2B一个),gydF4y2B一个 ${\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个\stackrel{\to gydF4y2B一个}{\mathrm{xgydF4y2B一个}})gydF4y2B一个$ 跨越了多项式的基础。总干事多项式近似空间内一个元素,但不连续界面元素。对于一个给定的元素gydF4y2B一个EgydF4y2B一个,我们首先定义状态向量的内积gydF4y2B一个

同样,对块向量,gydF4y2B一个

我们获得弱配方乘以每个测试函数多项式方程gydF4y2B一个 $\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\stackrel{\to gydF4y2B一个}{\mathrm{xgydF4y2B一个}})gydF4y2B一个$ 。接下来,我们积分元素gydF4y2B一个EgydF4y2B一个并利用分部积分法将空间衍生品的物理通量测试函数gydF4y2B一个

如果我们选择的测试函数gydF4y2B一个 $\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}$ 从解决方案所有多项式基函数拟设空间gydF4y2B一个 ${\{gydF4y2B一个{\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}\}gydF4y2B一个}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{0gydF4y2B一个}}^{\mathrm{PgydF4y2B一个}}$ 它生成gydF4y2B一个PgydF4y2B一个为每个状态变量方程的每个元素。这完全匹配的数量未知的多项式系数gydF4y2B一个UgydF4y2B一个_{jgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个tgydF4y2B一个)。由于不连续拟设,流量正常gydF4y2B一个 $\stackrel{\leftrightarrow gydF4y2B一个}{\mathbf{fgydF4y2B一个}}\cdot gydF4y2B一个\stackrel{\to gydF4y2B一个}{\mathrm{ngydF4y2B一个}}$ 在曲面积分不是唯一地定义。借鉴有限体积(阵线”社区,这非唯一正常的通量函数代替,与所谓的数值表面通量函数近似gydF4y2B一个

这取决于元素的两个值接口,即内部的价值元素gydF4y2B一个UgydF4y2B一个从邻居和外部元素gydF4y2B一个UgydF4y2B一个^{+gydF4y2B一个}。数值表面通量通常是由解决黎曼(近似),例如,(gydF4y2B一个33gydF4y2B一个]。表面数值通量,我们到达semi-discrete DG配方平流问题的弱形式gydF4y2B一个

或者如果我们再次应用分部积分的体积变得所谓的强大的DG配方gydF4y2B一个

数值之间的表面贡献一个点球表面通量和正常流量评估内部的一个元素。注意,弱和强形式DG配方是等价的(gydF4y2B一个34gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

仍有许多重要决定之前必要DG配方产生一个可以实现的算法。元素的类型形状需要决定以及多项式的基础。例如,模态多项式基函数为四面体元素或节点张量乘积多项式六面体的元素。此外,曲面积分和体积积分需要离散。在大多数情况下,积分与数值近似正交规则,例如,高阶Gauss-Legendre求积和求容积法。许多变异和详细描述可以在课本中找到对DG方法及其实现,例如,(gydF4y2B一个28gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个31日gydF4y2B一个]。重要的是要注意,这些选择包括元素类型,基础功能,和近似内部产品所有的性能产生重大影响的DG方案在计算复杂度和鲁棒性方面,例如,附近的寄生振荡的存在不连续,导致非物质的溶液状态(如负密度或压力)或混叠的不稳定。许多DG社区应对机制存在寄生振荡(即。休克捕获),如坡(gydF4y2B一个3gydF4y2B一个,gydF4y2B一个5gydF4y2B一个,gydF4y2B一个35gydF4y2B一个]或WENO [gydF4y2B一个36gydF4y2B一个,gydF4y2B一个37gydF4y2B一个)限值器、过滤(gydF4y2B一个29日gydF4y2B一个,gydF4y2B一个38gydF4y2B一个,gydF4y2B一个39gydF4y2B一个),有限体积子(gydF4y2B一个40gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个42gydF4y2B一个],MOOD-type限制[gydF4y2B一个43gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个47gydF4y2B一个),或人工粘度(gydF4y2B一个48gydF4y2B一个,gydF4y2B一个49gydF4y2B一个]。激波捕捉的问题将不会进一步讨论。混淆的错误,他们是如何出现在DG方法和策略来消除表示错误和增加鲁棒性将在本文中详细讨论了。gydF4y2B一个

使用上面的决定,我们到达通用semi-discrete常微分方程(ODE)形式的DG计划,可以集成在时间和一个适当的高阶显式或隐式ODE求解器,例如,(gydF4y2B一个50gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个54gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

结果DG方法高阶准确和具有良好的分散和耗散行为,例如,(gydF4y2B一个55gydF4y2B一个,gydF4y2B一个56gydF4y2B一个]。此外,由于其紧凑的模板(仅需要邻居数据接口)总干事计划是很出名的,优秀的并行扩展,例如,(gydF4y2B一个57gydF4y2B一个,gydF4y2B一个58gydF4y2B一个],它能够处理非结构化和非相容的网格,例如,(gydF4y2B一个16gydF4y2B一个,gydF4y2B一个54gydF4y2B一个,gydF4y2B一个59gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个63年gydF4y2B一个]。这些好的DG方法的属性是一个原因,越来越多的研究者和扩展DG方法适用于许多不同的问题设置在计算物理学。然而,DG不是完美的discretisation和不幸的是有一些问题,需要详细的分析和讨论。gydF4y2B一个

本评论文章的其余部分给出了答案gydF4y2B一个为什么gydF4y2B一个我们需要新的发展,第二节,gydF4y2B一个当gydF4y2B一个这部小说的发展开始,第三节,gydF4y2B一个什么gydF4y2B一个这些小说的关键思想策略,第四节,gydF4y2B一个在哪里gydF4y2B一个还有开放式问题对未来的研究方向,第五节。gydF4y2B一个

2我们为什么需要一个小说健壮的策略?gydF4y2B一个

在分析和讨论在这个手稿我们描述不同类型的稳定数值近似。主要是,我们专注于空间的稳定性和有界性DG离散化。gydF4y2B一个

2.1gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}DG方法的稳定性gydF4y2B一个

很容易证明DG方案gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定的常系数线性平流问题由于其加勒金自然,例如,作为裁判的特殊情况。gydF4y2B一个64年gydF4y2B一个。作为一个简短说明的例子让我们考虑一维标量线性平流模型gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个fgydF4y2B一个(gydF4y2B一个ugydF4y2B一个)=gydF4y2B一个非盟gydF4y2B一个以恒定的速度gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个。各自的强式DG计划读gydF4y2B一个

我们得到的离散进化gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范gydF4y2B一个 ${{\displaystyle \int gydF4y2B一个}}^{}{\mathrm{UgydF4y2B一个}}^{\mathrm{2gydF4y2B一个}}\mathrm{dgydF4y2B一个}\mathrm{xgydF4y2B一个}$ 通过插入gydF4y2B一个 $\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个}$ 多项式的测试函数gydF4y2B一个

假设时间连续性,第一项减少gydF4y2B一个 ${\partial gydF4y2B一个}_{\mathrm{tgydF4y2B一个}}{{\displaystyle \int gydF4y2B一个}}^{}{\mathrm{UgydF4y2B一个}}^{\mathrm{2gydF4y2B一个}}/gydF4y2B一个\mathrm{2gydF4y2B一个}\mathrm{dgydF4y2B一个}\mathrm{xgydF4y2B一个}$ 。我们观察到的体积积分gydF4y2B一个fgydF4y2B一个_{xgydF4y2B一个}=gydF4y2B一个非盟gydF4y2B一个_{xgydF4y2B一个}是一个多项式的学位gydF4y2B一个NgydF4y2B一个−1和ϕ多项式的学位gydF4y2B一个NgydF4y2B一个。因此,我们需要确切的多项式正交规则至少2gydF4y2B一个NgydF4y2B一个−1。这保证了所有Gauss-Legendre类型至少有正交规则gydF4y2B一个NgydF4y2B一个+ 1节点,如Legendre-Gauss-Lobatto (LGL)正交。gydF4y2B一个

项的贡献量gydF4y2B一个

这表明,体积的贡献可以吗gydF4y2B一个解除gydF4y2B一个边界。总的来说我们有gydF4y2B一个

离散进化的gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范只取决于数值通量函数的选择gydF4y2B一个fgydF4y2B一个^{*gydF4y2B一个}。一个简单的选择将是中央通量gydF4y2B一个 ${\mathrm{fgydF4y2B一个}}^{\text{*gydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个\frac{\mathrm{一个gydF4y2B一个}}{\mathrm{2gydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个{\mathrm{UgydF4y2B一个}}^{+gydF4y2B一个}+gydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个})gydF4y2B一个$ 。中央通量插入gydF4y2B一个Eq。15gydF4y2B一个给了gydF4y2B一个

对所有元素求和gydF4y2B一个EgydF4y2B一个域中的总数gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范和假设周期边界条件,我们得到的gydF4y2B一个

作为gydF4y2B一个 $\frac{\mathrm{一个gydF4y2B一个}}{\mathrm{2gydF4y2B一个}}\mathrm{UgydF4y2B一个}{\mathrm{UgydF4y2B一个}}^{+gydF4y2B一个}$ 是一个独特的离散能量流在每一个接口时,取消对所有元素求和。因此,对于线性平流,至少2 DG方案gydF4y2B一个NgydF4y2B一个−1准确的交gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定,即离散gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范是有界的gydF4y2B一个tgydF4y2B一个。注意,与小于2正交规则gydF4y2B一个NgydF4y2B一个集成精密,估计不准确gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范,但对于一个离散gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范相应的正交规则选择。gydF4y2B一个

线性问题基本上都DG变体是稳定的,但非线性问题呢?为了解决非线性问题,有重要的贡献,1994年江和蜀(gydF4y2B一个65年gydF4y2B一个),为标量非线性双曲问题,证明了DG方法gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定提供:1)精确的评估使用积分;2)熵稳定数值表面通量在元素使用接口。的gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定性结果与条件1)和2)也延伸到对称的变系数双曲系统(gydF4y2B一个66年gydF4y2B一个]。再次,作为一个简单的例子来说明分析的重要步骤,我们考虑一个标量一维问题gydF4y2B一个Eq。11gydF4y2B一个用一个简单的二次通量函数gydF4y2B一个 $\mathrm{fgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{ugydF4y2B一个})gydF4y2B一个=gydF4y2B一个\frac{\mathrm{1gydF4y2B一个}}{\mathrm{2gydF4y2B一个}}{\mathrm{ugydF4y2B一个}}^{\mathrm{2gydF4y2B一个}}$ ,所谓的汉堡”方程。DG方案,给出的gydF4y2B一个Eq。13gydF4y2B一个我们得到离散的进化gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范代替DG的测试函数的解决方案gydF4y2B一个 $\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个}$ 。注意,对于这个非线性的问题,较高的体积积分需要一个正交规则集成精密准确。二次通量函数gydF4y2B一个 $\mathrm{fgydF4y2B一个}\sim gydF4y2B一个{\mathrm{ugydF4y2B一个}}^{\mathrm{2gydF4y2B一个}}$ 3,正交规则需求gydF4y2B一个NgydF4y2B一个−1集成精度。确切的体积积分的评价,其贡献是,再一次,抬到元素的边界gydF4y2B一个

由此产生的离散进化的gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范是gydF4y2B一个

反对只取决于表面数值通量函数的选择吗gydF4y2B一个fgydF4y2B一个^{*gydF4y2B一个}。注意,中央通量的选择gydF4y2B一个 ${\mathrm{fgydF4y2B一个}}^{\text{*gydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个{\mathrm{UgydF4y2B一个}}^{+gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个})gydF4y2B一个=gydF4y2B一个\frac{\mathrm{1gydF4y2B一个}}{\mathrm{2gydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个\mathrm{fgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个{\mathrm{UgydF4y2B一个}}^{+gydF4y2B一个})gydF4y2B一个+gydF4y2B一个\mathrm{fgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个})gydF4y2B一个)gydF4y2B一个$ 没有稳定的估计可以派生,是可能的gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范可能会没有界限。然而,对于特定的选择gydF4y2B一个

我们得到了gydF4y2B一个

遵循同样的参数作为线性平流问题上面,我们所有元素的域和获得gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定的非线性标量与至少3正交双曲问题的规则gydF4y2B一个NgydF4y2B一个−1集成精度。gydF4y2B一个

不幸的是,甚至忽略了实际问题的假设完全集成了一会儿,江和蜀的结果不能直接扩展到一般非线性双曲系统,例如,可压缩的欧拉方程。江的一个关键步骤的分析和蜀是测试函数ϕDG配方gydF4y2B一个情商。gydF4y2B一个替换为离散DG的解决方案吗gydF4y2B一个

这本身就是一个测试函数的线性组合gydF4y2B一个 ${\{gydF4y2B一个{\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}\}gydF4y2B一个}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{0gydF4y2B一个}}^{\mathrm{PgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{NgydF4y2B一个})gydF4y2B一个}$ 因此,测试函数空间的一个元素。虽然这给了一个gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}范数估计对于对称系统,这种方法不会导致一个适当的标准估计(在连续和离散情况下)对一般非线性系统。缺乏一个稳定的估计,即使使用“完全集成,”是解释为什么DG方法仍然可以崩溃对于复杂的pd,例如,(gydF4y2B一个67年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

2.2熵DG方法的稳定性gydF4y2B一个

在前一节中所示的是一个标量非线性守恒定律,DG的解决方案gydF4y2B一个UgydF4y2B一个是有界的gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范如果一个特殊的选择选择表面的数值通量,比如一个gydF4y2B一个Eq。20gydF4y2B一个。我们猜想,一个类似的声明应该对系统的非线性稳定非线性守恒定律。然而,一般来说,稳定gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范不足以排除非物质的现象,比如扩张冲击(gydF4y2B一个68年gydF4y2B一个]。消除这样的现象我们推广的可能性估计非线性稳定性的概念问题。gydF4y2B一个

之前我们讨论的数学一般非线性双曲系统,采取绕道来检查一个重要的底层物理原则。特别是,我们从热力学概念介绍,这是物理学的一个分支相关的热量,温度,或者给定物理系统的熵能量和工作。热力学定律是一些最基本的物理定律。这是因为他们在描述如何发挥重要作用,并预测为什么,物理系统的行为和发展的方式,我们观察他们。此外,热力学提供了基本规则来决定一个物理系统gydF4y2B一个不能gydF4y2B一个的行为。身体,什么类型的解决方案的行为是有意义的,什么不是。从数学的角度来看,我们注意满足热力学第二定律并不足以保证唯一性条件的PDE的解决方案和独特性是一个活跃的研究主题分析的pd说,看到例如[gydF4y2B一个69年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个72年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

热力学第一定律涉及的总能量守恒在一个封闭的系统。热力学第二定律指出,一个封闭的物理系统的熵会增加加班,重要的是,它不能收缩。同时必须满足热力学定律,否则一种数学方法可以表现出奇怪的显然不正确的行为。例如,液体只保存它的总能量熵但不照顾,即满足热力学第一定律而不是第二定律,可以转让其所有的内部能量转化为动能。结果将是一个非常快,但是非常寒冷的空气喷射。这样一个流程配置自然界中从未被观察到。这种差异被移除时结合热力学第二定律,能量是监管的转移。对于可逆过程熵随时间保持不变(等熵)和系统的总熵的时间导数为零。不可逆过程熵增加和时间导数是正的。解动力学系统总熵减少的时间从未被观测到的和非物质的。gydF4y2Ba

讨论这些想法在数学上下文中考虑非线性双曲保护法律制度gydF4y2B一个

我们把粘性通量组件在哪里gydF4y2B一个情商。gydF4y2B一个是零。通常情况下,扩散条件在本质上是耗散的,大多是不加批判的。一个典型的例子一个纯粹的双曲线非线性守恒定律是可压缩的欧拉方程组建模非粘性的气体动力学。顺利的解决方案,满足pde的系统gydF4y2B一个Eq。23gydF4y2B一个对应于一个可逆的过程。的困难之一,分析或数值,解决方案可能的非线性双曲pde开发不连续(例如,冲击)无论初始条件的连续性(gydF4y2B一个73年gydF4y2B一个]。一个不连续的解决方案的gydF4y2B一个Eq。23gydF4y2B一个对应于一个不可逆过程熵和消散。gydF4y2B一个

数学占可能不连续的解决方案,系统gydF4y2B一个Eq。23gydF4y2B一个被认为是在其弱形式。就像在金discretisation在第一节中,PDE的弱形式发现乘以一个平滑的测试函数的控制方程gydF4y2B一个 $\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{tgydF4y2B一个},gydF4y2B一个\stackrel{\to gydF4y2B一个}{\mathrm{xgydF4y2B一个}})gydF4y2B一个$ 与紧凑的支持和整合gydF4y2B一个 ${\mathcal{RgydF4y2B一个}}^{+gydF4y2B一个}\times gydF4y2B一个{\mathcal{RgydF4y2B一个}}^{\mathrm{3gydF4y2B一个}}$ 。应用分部积分再次将衍生品到测试函数和削弱平滑要求可能的解决方案。因此,弱的系统解决方案gydF4y2B一个Eq。23gydF4y2B一个满足gydF4y2B一个

另一种形式的守恒定律是其积分形式,可微的通量的假设下,来自高斯定理gydF4y2B一个

和适用于任意控制卷gydF4y2B一个 $\text{ΩgydF4y2B一个}$ ,例如,gydF4y2B一个74年gydF4y2B一个]。PDE的弱解,不幸的是,一般来说,不是独一无二的,必须补充额外的可容许标准为了挑出身体相关的解决方案(gydF4y2B一个75年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个77年gydF4y2B一个]。这正是热力学定律发挥关键作用,因为已经讨论过,由于其固有的能力来选择物理相关的解决方案。在大多数应用程序中,例如,可压缩流体动力学或天体物理学,总熵不属于保守的状态向量变量gydF4y2B一个ugydF4y2B一个。然而,从上面的讨论我们知道可逆(等熵)过程的总熵gydF4y2B一个是gydF4y2B一个一个守恒的量。这保护法律“隐藏”在哪里?gydF4y2B一个

事实证明,有额外的守恒量,例如,没有明确的熵,建立非线性双曲系统gydF4y2B一个Eq。23gydF4y2B一个但仍PDE的结果。为了揭示这个辅助守恒定律我们定义一个凸(数学)熵函数gydF4y2B一个年代gydF4y2B一个=gydF4y2B一个年代gydF4y2B一个(gydF4y2B一个ugydF4y2B一个),是一个标量函数和非线性取决于守恒变量gydF4y2B一个ugydF4y2B一个。这允许一套新的的定义gydF4y2B一个熵gydF4y2B一个变量gydF4y2B一个

提供一对一的保守的变量之间的映射空间和熵空间(gydF4y2B一个78年gydF4y2B一个]。如果我们合同的非线性双曲系统gydF4y2B一个Eq。23gydF4y2B一个从左边的熵变量gydF4y2B一个wgydF4y2B一个我们有gydF4y2B一个

从熵的定义变量和假设的连续性,我们知道gydF4y2B一个

此外,每个通量向量的坐标方向gydF4y2B一个xgydF4y2B一个_{我gydF4y2B一个}必须满足相容性条件gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个fgydF4y2B一个_{我gydF4y2B一个}^{年代gydF4y2B一个},gydF4y2B一个我gydF4y2B一个= 1,2,3是一个相应的熵通量(gydF4y2B一个78年gydF4y2B一个]。我们指出一个链式法则的关键操作gydF4y2B一个28方程式。gydF4y2B一个和gydF4y2B一个29日gydF4y2B一个从保守的状态变量的空间的空间熵变量。在连续设置在一定连续性假设这不是一个问题。然而,在一个数值设置是非常困难的(甚至不可能)恢复与离散微分链式法则,例如,(gydF4y2B一个79年gydF4y2B一个]。我们推迟讨论这个问题,这意味着什么高阶数值近似DG第四节。gydF4y2B一个

数学定义的熵,承包非线性双曲系统熵的空间,如gydF4y2B一个Eq。27gydF4y2B一个,假设的解决方案是光滑(即一个可逆过程)导致辅助熵守恒定律gydF4y2B一个

给出相应的熵守恒积分形式gydF4y2B一个

为任意卷gydF4y2B一个 $\text{ΩgydF4y2B一个}$ 。对不可逆过程,物理熵增加。然而,在数学界的熵定义为衰减函数,因此熵守恒定律gydF4y2B一个Eq。31gydF4y2B一个成为了熵不等式(gydF4y2B一个78年gydF4y2B一个]gydF4y2B一个

对不连续的解决方案。gydF4y2B一个

作为一个说明性的例子pde的收缩非线性双曲系统的熵空间,我们认为可压缩气体动力学的欧拉方程的一个空间维度gydF4y2B一个

与理想气体假设gydF4y2B一个

其中γ是绝热常数。凸熵函数gydF4y2B一个年代gydF4y2B一个(gydF4y2B一个ugydF4y2B一个()可压缩欧拉方程并不是唯一的gydF4y2B一个80年gydF4y2B一个]。然而,一个常见的数学熵函数的选择是按比例缩小的负面热力学熵(gydF4y2B一个80年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个84年gydF4y2B一个]gydF4y2B一个

与相应的熵通量gydF4y2B一个fgydF4y2B一个^{年代gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个v年代gydF4y2B一个(gydF4y2B一个u)gydF4y2B一个。从数学的这个定义熵函数得到熵变量gydF4y2B一个

看看每个组件的熵变量是一个高度非线性函数的状态向量组件。无论如何,这些变量gydF4y2B一个Eq。36gydF4y2B一个合同一维可压缩欧拉方程熵和空间,当集成域gydF4y2B一个 $\text{ΩgydF4y2B一个}$ ,成为熵守恒定律gydF4y2B一个Eq。31gydF4y2B一个顺利的解决方案或熵不等式gydF4y2B一个Eq。32gydF4y2B一个对不连续的解决方案。值得注意的是,熵变量gydF4y2B一个wgydF4y2B一个更多有用的分析系统,因为他们允许获得一种对称的PDE (gydF4y2B一个85年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

离散熵不等式的等价gydF4y2B一个Eq。32gydF4y2B一个被称为gydF4y2B一个熵稳定gydF4y2B一个。这是一个概括的gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定系统非线性双曲pde的声明中,例如,(gydF4y2B一个79年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个86年gydF4y2B一个]。额外的要求构建到熵通量稳定性条件gydF4y2B一个 $\stackrel{\leftrightarrow gydF4y2B一个}{\mathbf{fgydF4y2B一个}}$ 仍有界(gydF4y2B一个68年gydF4y2B一个),这限制了流物理上可实现的,例如,在气体动力学积极的密度和压力。总体而言,熵稳定保证数值近似遵循热力学的基本定律,被视为一个重要的质量来捕获(gydF4y2B一个86年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个88年gydF4y2B一个]。但这是一个活跃的研究领域探讨熵稳定的作用以及它如何适应的问题可证明的非线性稳定性(gydF4y2B一个82年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个89年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个90年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

目前,我们限制自己的一个关键成分的分析,推导出非线性熵稳定估计一般非线性双曲系统,看到如(gydF4y2B一个78年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个86年gydF4y2B一个]。自然是开发一个熵稳定DG近似因为连续和离散分析都依赖于控制方程的弱形式。然而,对于熵稳定非线性系统不是乘以解决方案gydF4y2B一个ugydF4y2B一个的情况下也是如此gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定性分析。相反,方程与熵变量的乘积gydF4y2B一个wgydF4y2B一个Eq。26gydF4y2B一个非线性函数的状态gydF4y2B一个ugydF4y2B一个,例如,可压缩欧拉方程(gydF4y2B一个36gydF4y2B一个)。因此,这种方法的直接结合江和蜀2.1节的分析是不可能的。一个多项式DG拟设gydF4y2B一个UgydF4y2B一个,熵离散变量gydF4y2B一个WgydF4y2B一个=gydF4y2B一个WgydF4y2B一个(gydF4y2B一个UgydF4y2B一个)不再是多项式的学位gydF4y2B一个NgydF4y2B一个和不属于测试函数的空间gydF4y2B一个 $\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}$ 。因此,它是不允许替换测试函数gydF4y2B一个 $\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}$ DG的配方gydF4y2B一个情商。gydF4y2B一个与gydF4y2B一个WgydF4y2B一个。从技术上讲,只有的投影gydF4y2B一个WgydF4y2B一个到空间多项式的学位gydF4y2B一个NgydF4y2B一个可以插入;然而,在这种情况下,分析不会导致熵稳定估计链式法则适用于完整的熵变量并不是他们的预测。gydF4y2B一个

克服这个问题的测试函数空间和DG方法使熵稳定估计,休斯et al。gydF4y2B一个91年gydF4y2B一个)以及希尔德布兰德Mishra et al。gydF4y2B一个92年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个94年gydF4y2B一个)使用了一个时空DG方法与拟设直接写的熵变量。这个想法是为了使熵的DG拟设空间,即近似熵变量gydF4y2B一个

一个多项式的学位gydF4y2B一个NgydF4y2B一个。忽略了时间discretisation简洁,DG配方的变化gydF4y2B一个

表明,该方案仍在制定在保守的形式,然而所有的守恒变量gydF4y2B一个ugydF4y2B一个现在隐式依赖的多项式近似熵变量gydF4y2B一个WgydF4y2B一个。这种方法自然是隐式的,一个简单的和优雅的扩展计划的时间是使用时间DG方案的空间DG计划,导致一个完全隐式时空DG配方。希尔德布兰德和Mishra证明结果discretisation熵稳定提供:我)的准确评估所有积分;ii)熵稳定数值通量的空间曲面积分和逆风通量(由于因果关系)的时间使用曲面积分。这些条件在时空DG近似非常类似于那些由江和蜀标量非线性双曲案例讨论了非线性汉堡的方程。gydF4y2B一个

不幸的是,假设1)精确的集成是极其困难的保证和实现在实际模拟中,我们详细描述在接下来的小节。没有适当的正交积分项,链式法则不离散。这种不精确的近似函数被称为混叠误差。这些发生在现实的模拟和可能会导致不稳定。因此,鲁棒性仍然是一个问题,临时dealiasing或稳定机制,例如,人造扩散(gydF4y2B一个92年gydF4y2B一个)是必要的。gydF4y2B一个

2.3数值积分的不愉快的作用,非线性变分罪和混叠gydF4y2B一个

如上所述,有必要使离散变分公式,确定选择等DG近似多项式基函数,特别是离散积分近似表面和体积积分。不幸的是,只有在最稀有,最简单的情况下有可能避免这些discretisation步骤和使用的精确评价积分。因此,介绍了“变分犯罪”的概念来表达所需的步骤将构想变成一个实际的算法,可以实现。gydF4y2B一个

最大的一个问题,当怀疑运动非线性对流问题是许多有趣的情况下,非线性non-polynomial。我们的问题,可压缩的欧拉方程取决于质量密度gydF4y2B一个ugydF4y2B一个_{1gydF4y2B一个}的动量密度gydF4y2B一个xgydF4y2B一个方向gydF4y2B一个ugydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个},能量密度gydF4y2B一个ugydF4y2B一个_{3gydF4y2B一个}。通常,这些也表示gydF4y2B一个 ${\mathrm{ugydF4y2B一个}}_{\mathrm{1gydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个\mathrm{\rho gydF4y2B一个}$ 和gydF4y2B一个 ${\mathrm{ugydF4y2B一个}}_{\mathrm{2gydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个\mathrm{\rho gydF4y2B一个}\mathrm{vgydF4y2B一个}$ ,在那里gydF4y2B一个vgydF4y2B一个是速度。我们从守恒变量的计算速度gydF4y2B一个

这是重要的上下文DG discretisation因为如果变量gydF4y2B一个ugydF4y2B一个_{1gydF4y2B一个}和gydF4y2B一个ugydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}多项式的程度gydF4y2B一个NgydF4y2B一个,速度gydF4y2B一个vgydF4y2B一个不是一个多项式,而是一个有理函数。这不仅发生的速度也为其他数量需要评估平流通量gydF4y2B一个 $\stackrel{\leftrightarrow gydF4y2B一个}{\mathbf{fgydF4y2B一个}}$ 如等压力gydF4y2B一个pgydF4y2B一个。因此,通量gydF4y2B一个 $\stackrel{\leftrightarrow gydF4y2B一个}{\mathbf{fgydF4y2B一个}}$ 不再是多项式的学位gydF4y2B一个NgydF4y2B一个,并可能理性的功能,如可压缩的欧拉方程。当与高阶近似积分求积公式,如Legendre-Gauss规则,重要的是要意识到这些数值积分规则是多项式被积函数的构造。因此,从理论上讲,他们无法整合non-polynomial功能完全不管有多少求积节点。gydF4y2B一个

例如如果我们关注强烈DG体积积分形式gydF4y2B一个Eq。38gydF4y2B一个,我们看到发展DG解决方案的核心部分是一个gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}投影的通量散度到多项式的基础上gydF4y2B一个 ${\langle gydF4y2B一个{\stackrel{\to gydF4y2B一个}{\nabla gydF4y2B一个}}_{\mathrm{xgydF4y2B一个}}\cdot gydF4y2B一个\stackrel{⟷gydF4y2B一个}{\mathbf{fgydF4y2B一个}},gydF4y2B一个\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}\rangle gydF4y2B一个}_{\mathrm{EgydF4y2B一个}}$ 。如果这个投影不准确评估,由于上述变分罪,通量的非线性函数,或两者的结合,确切的gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}投影变成一个离散的投影,最常采取的形式的插值求积节点。这是一个微妙但重要的观察。与精确gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}投影,干净地“削减”高阶的内容与多项式度比通量散度gydF4y2B一个NgydF4y2B一个,一个gydF4y2B一个离散LgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}投影解释(别名)的一些高阶投影多项式的一部分内容。这种人为和不可预知的增加或减少的多项式系数投影。这种“不正确的解释”的高阶内容也在傅里叶分析和信号处理。如果采样率(在这种情况下Legendre-Gauss求积节点)的数量根据奈奎斯特定理不够高,高频数据(高阶内容)被解释为低频数据(在多项式的学位gydF4y2B一个NgydF4y2B一个)和污染的结果。这个比喻傅里叶分析说明了高频信息的可能性可以伪装成低频信息代表一个离散的和未解决的网格。这是基本的问题通常称为gydF4y2B一个混叠gydF4y2B一个。的问题离散多项式的投影空间相似的精神,这个术语混叠也经常用于DG社区,以及光谱和有限差分社区,给潜在后果的变分罪一个名字。总之,基本上所有的DG算法对非线性平流主导问题不准确评估积分的问题,因此所有DG算法有混淆的错误。gydF4y2B一个

不幸的是,这些混叠问题不仅仅是一个抽象的“丑陋”理论没有实际后果古怪。相反,别名中扮演一个重要的角色在使用DG方法现实复杂的应用程序模型的非线性现象。值得指出的是,DG的优势之一,这是非常低的耗散错误,也在这个特定的角度这是最大的问题。由于固有的低数值耗散在高阶DG方法,没有内置自卫反混叠问题,他们可能创建的任何不稳定。的反响这一事实是它已经成为归化在数字社区,尤其是高阶变异DG方法,gydF4y2B一个非常gydF4y2B一个低损耗错误,实际应用的鲁棒性问题。例如DG近似可压缩欧拉和n - s方程的已知有时失败由于混淆不稳定,例如,(gydF4y2B一个39gydF4y2B一个]。这种不稳定性可以通过观察到的动能体现人为地生长在模拟,而内在的能量减少。注意,总能量是守恒的,建设DG方法;然而,这种交换动力学和热力学能的非物质的,违反了热力学第二定律,是纯粹的变分犯罪(不精确的集成)。gydF4y2B一个

一个显而易见的解决这些问题的变分犯罪,非线性,别名是尽可能减少其有害影响。虽然技术上不可避免的在严格的数学意义上,可以增加Legendre-Gauss求积节点评估所有积分“一贯”的不确切性错误的机器精度,看到如科比et al。gydF4y2B一个95年gydF4y2B一个]。这种方法非常有效,立即有一个积极的稳定作用在许多应用程序与非线性pd,看到如(gydF4y2B一个39gydF4y2B一个,gydF4y2B一个96年gydF4y2B一个]。然而,很明显,计算复杂度大大增加,当任意增加求积节点的数量。因此,人们经常曲调Legendre-Gauss求积节点数量的增加,根据需要尽可能多的仿真趋于稳定,当然,不满意和特别,因为它高度依赖于特定问题的设置。相比之下,另一种方法是不能直接对抗变分罪本身,但他们引起的后果。这可以通过应用过滤器的设计解决方案,目的在于剪辑出高阶混叠内容,以减少其效果,例如,(gydF4y2B一个39gydF4y2B一个]。不用说,这种滤波方法也很特别,取决于许多参数需要优化取决于一个希望解决的特定问题的高阶DG方案。gydF4y2B一个

虽然这些临时稳定技术强化了没有数学分析或严谨,DG社会的普遍共识,在实践中,他们工作得相当好。,一致的集成(有时称为over-integration)和过滤增加高阶DG方法的鲁棒性的水平,这样他们可以被应用到模型具有挑战性的物理问题,允许他们身上闪耀着高阶精度和低色散和损耗的错误。尤其是在动荡社会,很多研究小组开始应用高阶DG方法稳定的上下文中隐含的大涡模拟的结果从更广泛的数字社区与他人竞争,例如,(gydF4y2B一个97年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个98年gydF4y2B一个]。然而,在莫拉et al。gydF4y2B一个67年gydF4y2B一个)据报道,某些配置的非粘性的泰勒DG方法绿色漩涡问题持续走低,即使大幅增加中的求积节点表面的数量和体积积分。事实上,正交点的数量是增加了的DG方案不再是计算上可行,但仍模拟坠毁。非粘性的泰勒绿色漩涡设置在这种情况下被用于调查此案非常高雷诺数流动严重下决议在现实的湍流设置。这些研究结果也验证了本文的作者文章和DG社区有强烈的后果。而临时稳定技术是“足够好”,它们使DG方案竞选一个广泛的有趣的问题,这种方法显然不是防弹。此外,它是不可能告诉先验的情况下,稳定将和的情况下,它不会工作。gydF4y2B一个

这一个例子,高阶DG计划不稳定,不能完成仿真说明,从根本上,消除混叠和变分犯罪不能可靠地以一种特别的方式完成。相反,我们需要更好的理解这些混淆错误和他们如何可以从下不准确和/或删除discretisations解决。此外,我们需要一个合理的数学方法来解决这些混叠DG近似中的错误。也就是说,我们需要一个新策略设计强大的高阶DG方法来近似运动非线性对流系统的解决方案。gydF4y2B一个

3小说发展什么时候开始?gydF4y2B一个

2013年,两个具有里程碑意义的结果完全重塑DG方法的发展前进。首先,在他的博士论文中,费舍尔扩展工作熵稳定方案LeFloch和罗德(gydF4y2B一个99年gydF4y2B一个)以及高阶熵稳定方案LeFloch et al。gydF4y2B一个One hundred.gydF4y2B一个]summation-by-parts (SBP)有限差分框架与高阶边界关闭gydF4y2B一个参考文献88。gydF4y2B一个和gydF4y2B一个101年gydF4y2B一个分别。LeFloch等人,费舍尔等人发现,低阶熵稳定估计阵线方法,由Tadmor [gydF4y2B一个78年gydF4y2B一个),可以扩展到高阶精度。而高阶重建LeFloch等人是周期域(即不考虑有限域边界),SBP的有限差分框架包括特殊边界闭包和适用于有限域。克瑞斯et al。gydF4y2B一个102年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个105年gydF4y2B一个]介绍了SBP专门模仿分部积分有限差分框架。分部积分法是一个有价值的工具,用于建设的稳定预期。SBP是进一步讨论,例如,奥尔森(gydF4y2B一个106年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个107年gydF4y2B一个,链gydF4y2B一个108年gydF4y2B一个],Nordstrom [gydF4y2B一个109年gydF4y2B一个)和斯瓦德,Nordstrom (gydF4y2B一个110年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

简要介绍经典的SBP有限差分的主要思想框架中,我们考虑一个discretisation在有限区间上的一个空间维度gydF4y2B一个EgydF4y2B一个= (−1,1)。在这个区间内,我们认为一组gydF4y2B一个NgydF4y2B一个+ 1正则网格节点gydF4y2B一个xgydF4y2B一个_{jgydF4y2B一个}包括边界gydF4y2B一个xgydF4y2B一个_{0gydF4y2B一个}= 1,gydF4y2B一个xgydF4y2B一个_{NgydF4y2B一个}= 1。在这个网格,一个连续函数gydF4y2B一个ugydF4y2B一个(gydF4y2B一个xgydF4y2B一个,gydF4y2B一个tgydF4y2B一个)表现为网格节点值gydF4y2B一个 ${\mathrm{UgydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个\mathrm{tgydF4y2B一个})gydF4y2B一个=gydF4y2B一个\mathrm{ugydF4y2B一个}(gydF4y2B一个{\mathrm{xgydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}},gydF4y2B一个\mathrm{tgydF4y2B一个})gydF4y2B一个$ 。简而言之符号,我们收集到矢量的节点值gydF4y2B一个UgydF4y2B一个。PDE的近似,我们需要两个离散运算符:一个接近集成,gydF4y2B一个 $ℳgydF4y2B一个\in gydF4y2B一个{\mathcal{RgydF4y2B一个}}^{(gydF4y2B一个\mathrm{NgydF4y2B一个}+gydF4y2B一个\mathrm{1gydF4y2B一个})gydF4y2B一个\times gydF4y2B一个(gydF4y2B一个\mathrm{NgydF4y2B一个}+gydF4y2B一个\mathrm{1gydF4y2B一个})gydF4y2B一个}$ ;,另一个接近分化,gydF4y2B一个 $\mathcal{DgydF4y2B一个}\in gydF4y2B一个{\mathcal{RgydF4y2B一个}}^{(gydF4y2B一个\mathrm{NgydF4y2B一个}+gydF4y2B一个\mathrm{1gydF4y2B一个})gydF4y2B一个\times gydF4y2B一个(gydF4y2B一个\mathrm{NgydF4y2B一个}+gydF4y2B一个\mathrm{1gydF4y2B一个})gydF4y2B一个}$ 。在本文中,我们只考虑对角矩阵gydF4y2B一个 $ℳgydF4y2B一个$ ,有时被称为对角规范SBP有限差分运算符。我们与这些运营商gydF4y2B一个

离散集成和分化需要兼容的SBP经营者满足财产gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个 $\mathcal{ℬgydF4y2B一个}$ 是边界积分评价操作符gydF4y2B一个 $\mathcal{ℬgydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\text{诊断接头gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个-gydF4y2B一个\mathrm{1,0gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\dots gydF4y2B一个,gydF4y2B一个\mathrm{0\; 1gydF4y2B一个})gydF4y2B一个$ 。乘gydF4y2B一个Eq。41gydF4y2B一个通过网格值gydF4y2B一个UgydF4y2B一个^{TgydF4y2B一个}一个任意的函数gydF4y2B一个ugydF4y2B一个(gydF4y2B一个xgydF4y2B一个从左边)和近似gydF4y2B一个VgydF4y2B一个一个任意的函数gydF4y2B一个vgydF4y2B一个(gydF4y2B一个xgydF4y2B一个从右边)gydF4y2B一个

分组条件和使用gydF4y2B一个 $ℳgydF4y2B一个$ 对角线是这样gydF4y2B一个 $ℳgydF4y2B一个=gydF4y2B一个{ℳgydF4y2B一个}^{\mathrm{TgydF4y2B一个}}$ 我们有gydF4y2B一个

这是一个离散近似的分部积分公式对应的功能gydF4y2B一个ugydF4y2B一个和gydF4y2B一个vgydF4y2B一个

因此summation-by-parts名称。gydF4y2B一个

与SBP的财产,它直接可以显示gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}有限差分格式的稳定性常系数线性平流的问题。重新开始与标量问题。作为一个例子gydF4y2B一个Eq。11gydF4y2B一个和线性变化gydF4y2B一个fgydF4y2B一个=gydF4y2B一个非盟gydF4y2B一个,我们得到以下SBP有限差分semi-discretisationgydF4y2B一个

如上所述,SBP的框架的一个动机是模仿的能源分析有限元discretisations这样在DG分析上述线性平流。我们进行第一次让一个相应的伽辽金变分形式与离散积分矩阵相乘gydF4y2B一个 $ℳgydF4y2B一个$

这种形式是有效的对所有网格功能gydF4y2B一个VgydF4y2B一个^{TgydF4y2B一个}从左边增加,因此直接近似变分金的形式,例如,gydF4y2B一个Eq。12gydF4y2B一个。我们指出这个有限差分近似忽略了表面上特定于间断伽辽金方案。在这里,任意网格功能gydF4y2B一个VgydF4y2B一个^{TgydF4y2B一个}需要测试函数ϕ的角色。因此,我们可以模拟分析的下一步,即取代DG的测试函数的解决方案gydF4y2B一个 $\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个}$ ,乘以gydF4y2B一个Eq。46gydF4y2B一个与gydF4y2B一个UgydF4y2B一个^{TgydF4y2B一个}从左边gydF4y2B一个

体积术语可以与SBP的新配方属性离散到测试函数导数和生成边界数据gydF4y2B一个

从这一步我们看到SBP的体积的贡献有限差分格式可以再次举起区间边界gydF4y2B一个

但这一次gydF4y2B一个没有gydF4y2B一个任何必要的假设在正交规则精度。事实上,这是一般适用于所有对角线标准SBP有限差分运算符。再次,随着时间的假设连续性和周期性边界条件(gydF4y2B一个UgydF4y2B一个_{NgydF4y2B一个}=gydF4y2B一个UgydF4y2B一个_{0gydF4y2B一个}),它是离散的gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范的SBP有限差分方案gydF4y2B一个 ${为gydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个}为gydF4y2B一个}_{\mathrm{年代gydF4y2B一个}\mathrm{BgydF4y2B一个}\mathrm{PgydF4y2B一个}}^{\mathrm{2gydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个{\mathrm{UgydF4y2B一个}}^{\mathrm{TgydF4y2B一个}}ℳgydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个}$ 是有界的所有gydF4y2B一个tgydF4y2B一个。gydF4y2B一个

我们再次强调,无论是重建技术LeFloch et al .,有限差分和SBP的框架作为一个整体,取决于集成或确切的评价积分。因此,与DG稳定性结果上面所讨论的,SBP有限差异的稳定性结果费舍尔et al。gydF4y2B一个不gydF4y2B一个假设准确评估任何积分。因此,这种方法产生有效和可行的实现算法,可证明的稳定预期。gydF4y2B一个

第二个重要的结果被Gassner(分别在2013年发现gydF4y2B一个111年gydF4y2B一个]。他意识到节点的基础运营商间断伽辽金谱元法(DGSEM)对角线标准SBP属性只要搭配节点gydF4y2B一个 ${\{gydF4y2B一个{\mathrm{xgydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}\}gydF4y2B一个}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{0gydF4y2B一个}}^{\mathrm{NgydF4y2B一个}}$ 和权重gydF4y2B一个 ${\{gydF4y2B一个{\mathrm{\omega gydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}\}gydF4y2B一个}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{0gydF4y2B一个}}^{\mathrm{NgydF4y2B一个}}$ 被选出的是那些与LGL正交。有趣的是,早在2010年,Kopriva和Gassner [gydF4y2B一个34gydF4y2B一个)已经发现与LGL DGSEM正交,弱者DG配方和强劲的配方是离散等效。所示gydF4y2B一个方程式。9gydF4y2B一个和gydF4y2B一个10gydF4y2B一个,弱形式和强形式可以用分部积分转换为另一个。因此,当两种形式离散是等价的,这基本上意味着离散分部积分,即。,SBP。我们在1996年指出,在光谱方法的背景下Chebyshev-Lobatto节点或LGL节点,木匠和戈特利布gydF4y2B一个112年gydF4y2B一个)显示一个类似的财产作为这些光谱运营商SBP,但是他们认为分部积分法适用于证明。参考文献中的结果。gydF4y2B一个34gydF4y2B一个和gydF4y2B一个111年gydF4y2B一个完成他们的发现他们删除的假设完全集成。gydF4y2B一个

节点DGSEM-LGL框架,类似于有限差分框架,解决DG多项式的系数是节点的值gydF4y2B一个 ${\mathrm{UgydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个\mathrm{tgydF4y2B一个})gydF4y2B一个$ 在LGL节点的位置gydF4y2B一个xgydF4y2B一个_{jgydF4y2B一个}。与拉格朗日节点DG多项式表示基函数gydF4y2B一个 ${\{gydF4y2B一个{\mathrm{\ell gydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个\mathrm{xgydF4y2B一个})gydF4y2B一个\}gydF4y2B一个}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{0gydF4y2B一个}}^{\mathrm{NgydF4y2B一个}}$ 张成LGL节点gydF4y2B一个

克罗内克符号的属性gydF4y2B一个 ${\mathrm{\ell gydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个{\mathrm{xgydF4y2B一个}}_{\mathrm{我gydF4y2B一个}})gydF4y2B一个=gydF4y2B一个{\mathrm{\delta gydF4y2B一个}}_{\mathrm{我gydF4y2B一个}\mathrm{jgydF4y2B一个}}$ ,即1,如果gydF4y2B一个我gydF4y2B一个=gydF4y2B一个jgydF4y2B一个和0。这个选择基函数和正交规则,可以发现离散的版本对应的积分算子和微分算子。我们考虑的积分gydF4y2B一个

与gydF4y2B一个 $ℳgydF4y2B一个=gydF4y2B一个\text{诊断接头gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个{\mathrm{\omega gydF4y2B一个}}_{\mathrm{0gydF4y2B一个}},gydF4y2B一个\dots gydF4y2B一个,gydF4y2B一个{\mathrm{\omega gydF4y2B一个}}_{\mathrm{NgydF4y2B一个}})gydF4y2B一个$ 和LGL节点向量的值gydF4y2B一个UgydF4y2B一个和gydF4y2B一个VgydF4y2B一个。此外,我们对离散微分gydF4y2B一个

我们用速记符号的空间导数拉格朗日呢gydF4y2B一个 $\frac{\mathrm{dgydF4y2B一个}}{\mathrm{dgydF4y2B一个}\mathrm{xgydF4y2B一个}}\mathrm{\ell gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{xgydF4y2B一个})gydF4y2B一个=gydF4y2B一个{\mathrm{\ell gydF4y2B一个}}^{\prime gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{xgydF4y2B一个})gydF4y2B一个$ 。引入微分矩阵gydF4y2B一个

我们得到了gydF4y2B一个

正如所示gydF4y2B一个111〕。gydF4y2B一个再次,这两个离散运营商兼容,并提供SBP的财产gydF4y2B一个

这意味着DGSEM-LGL运营商属于SBP对角规范运营商的类。这个简单的一维离散分部积分法是一个多项式谱微积分的基础(gydF4y2B一个113年gydF4y2B一个),包括,例如,离散的高斯定律在三维空间曲线网格。gydF4y2B一个

回到讨论稳定,LGL正交规则gydF4y2B一个NgydF4y2B一个有一个集成精度2 + 1分gydF4y2B一个NgydF4y2B一个−1。因此,为标量DGSEM-LGL稳定线性平流如上所示。然而,DGSEM-LGL不稳定的非线性问题,例如,在2.1节讨论的二次通量函数集成精度3gydF4y2B一个NgydF4y2B一个−1即是必要的。,exact integration of the volume terms. But using the SBP property of the DGSEM-LGL operators, it is possible to apply ideas similar to Fisher et al. and construct a novel DGSEM with LGL quadrature, that is discretelylgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定的非线性汉堡的方程,gydF4y2B一个没有gydF4y2B一个假设的确切评价积分(gydF4y2B一个111年gydF4y2B一个]。这些最初的结果已经扩展为可压缩和复合欧拉方程(gydF4y2B一个114年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个118年gydF4y2B一个],浅水方程[gydF4y2B一个63年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个119年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个121年gydF4y2B一个),可压缩n - s方程(gydF4y2B一个32gydF4y2B一个,gydF4y2B一个122年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个124年gydF4y2B一个[],保守多阶段问题gydF4y2B一个124年gydF4y2B一个),磁流体动力学(gydF4y2B一个125年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个126年gydF4y2B一个],相对论欧拉[gydF4y2B一个127年gydF4y2B一个),相对论磁流体动力学(gydF4y2B一个128年gydF4y2B一个],Cahn-Hilliard方程[gydF4y2B一个129年gydF4y2B一个),不可压缩n - s (INS) [gydF4y2B一个130年gydF4y2B一个),和耦合Cahn-Hilliard INS (gydF4y2B一个131年gydF4y2B一个]在许多其他复杂PDE模型和DG离散化类型如,[gydF4y2B一个132年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

4的关键理念是什么?gydF4y2B一个

回顾一下讨论,有几个障碍,很难获得高阶熵稳定估计DG方法在双曲pde的一般非线性系统:1)积分的精确评估的假设在实践中是不可能实现的;2)我们需要合同熵变量gydF4y2B一个wgydF4y2B一个非线性依赖保守的数量gydF4y2B一个ugydF4y2B一个,这意味着我们需要替换测试函数的投影(或插值)gydF4y2B一个w (ugydF4y2B一个);3)我们需要满足一个离散的链式法则的版本合同通量散度到熵空间,即一个离散的版本gydF4y2B一个 ${\mathbf{wgydF4y2B一个}}^{\mathrm{TgydF4y2B一个}}{(gydF4y2B一个{\mathbf{fgydF4y2B一个}}_{\mathrm{我gydF4y2B一个}})gydF4y2B一个}_{{\mathrm{xgydF4y2B一个}}_{\mathrm{我gydF4y2B一个}}}=gydF4y2B一个{(gydF4y2B一个{\mathrm{fgydF4y2B一个}}_{\mathrm{我gydF4y2B一个}}^{\mathrm{年代gydF4y2B一个}})gydF4y2B一个}_{{\mathrm{xgydF4y2B一个}}_{\mathrm{我gydF4y2B一个}}}$ ,gydF4y2B一个我gydF4y2B一个= 1,2,3,现在熵变量和通量函数离散预测和导数代替离散导数算子。gydF4y2B一个

接下来,关键思想解决这三个问题。我们专注于问题1),考虑一个标量非线性二次通量上面所讨论的第一个问题。然后我们过渡的复杂性在第二节,并讨论如何扩展小说一般的系统和方法如何解决所有问题(1)- (3)。gydF4y2B一个

4.1保守的形式,形式和斜对称分裂gydF4y2B一个

说明一种分裂的总体想法,如何把它变成一个高阶DG近似我们检查简单的标量非线性双曲守恒律,汉堡的方程。我们从保守的形式开始gydF4y2B一个

可以改写成其对流形式gydF4y2B一个

这相当于在连续光滑的解决方案。我们也可以考虑两种形式的组合gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个 $\mathrm{\alpha gydF4y2B一个}\in gydF4y2B一个\mathcal{RgydF4y2B一个}$ 是一个任意的参数。这种形式被称为汉堡的分裂形式的方程,α的分裂形式参数。gydF4y2B一个

而在连续情况下顺利解决所有这些形式是等价的,重要的是要注意,在离散情况下并非如此。考虑到DGSEM运营商gydF4y2B一个NgydF4y2B一个+ 1 LGL节点,保守的形式给出的体积gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个UgydF4y2B一个向量的值吗gydF4y2B一个ugydF4y2B一个在LGL节点,gydF4y2B一个 $\mathcal{DgydF4y2B一个}$ 是DGSEM-LGL导数算子和gydF4y2B一个 $\underset{¯gydF4y2B一个}{\mathrm{UgydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个\text{诊断接头gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个{\mathrm{UgydF4y2B一个}}_{\mathrm{0gydF4y2B一个}},gydF4y2B一个\dots gydF4y2B一个,gydF4y2B一个{\mathrm{UgydF4y2B一个}}_{\mathrm{NgydF4y2B一个}})gydF4y2B一个$ 是一个矩阵,节点值吗gydF4y2B一个UgydF4y2B一个注入到它的对角线上。类似地,的体积对流形式gydF4y2B一个

只对多项式函数gydF4y2B一个ugydF4y2B一个与学位gydF4y2B一个 $\le gydF4y2B一个\mathrm{NgydF4y2B一个}/gydF4y2B一个\mathrm{2gydF4y2B一个}$ 和相应的节点值gydF4y2B一个UgydF4y2B一个,我们有gydF4y2B一个

在所有其他情况下,即在一般情况下,任意节点向量gydF4y2B一个UgydF4y2B一个,我们得到gydF4y2B一个

离散形式是不同的,因为不同的混叠误差。而保守的形式计算离散的导数gydF4y2B一个UgydF4y2B一个^{2gydF4y2B一个},第二种形式计算一个“干净”的导数gydF4y2B一个UgydF4y2B一个,但另一方面需要计算两个函数的乘积gydF4y2B一个UgydF4y2B一个和gydF4y2B一个 $\mathcal{DgydF4y2B一个}\mathrm{UgydF4y2B一个}$ 与只有一个网格gydF4y2B一个NgydF4y2B一个+ 1节点。一个有趣的问题是,如果我们可以利用不同的(别名)两种形式中的错误并找到通过拆分组合配方取消这些错误。gydF4y2B一个

我们注意到分裂的想法配方已经介绍了光谱社区稳定发展为不可压缩n - s方程数值方法如(gydF4y2B一个133年gydF4y2B一个),但在有限差分流体动力学社区尤其突出如(gydF4y2B一个134年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个139年gydF4y2B一个]。分裂配方被用作一个内置dealiasing机制来稳定数值方法如(gydF4y2B一个140年gydF4y2B一个]。不同形式的组合可压缩欧拉方程的对流条件收益率有限差分近似比标准更健壮的保守的。在一个完美的世界中,这将是理想的如果我们可以选择分割形式参数α,这样不同的混叠误差完全取消。不幸的是,在一般情况下,是不可能取消每个网格节点的混叠误差;然而,接下来我们将介绍什么是它gydF4y2B一个是gydF4y2B一个可能取消混叠误差得到全球gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}江稳定性估计的估计和舒gydF4y2B一个65年gydF4y2B一个),但没有完全集成的假设。gydF4y2B一个

首先,我们推导出强烈DG配方的分裂形式的汉堡gydF4y2B一个Eq。58gydF4y2B一个通过测试函数乘以ϕ,集成在一个网格单元gydF4y2B一个EgydF4y2B一个、插入一个数值通量函数gydF4y2B一个fgydF4y2B一个^{*gydF4y2B一个}在网格单元接口来占我们拟设的不连续的性质,并利用分部积分到达gydF4y2B一个

通量在哪里gydF4y2B一个fgydF4y2B一个(gydF4y2B一个UgydF4y2B一个)=gydF4y2B一个UgydF4y2B一个^{2gydF4y2B一个}/ 2。我们考虑专门DGSEM-LGL变体离散运营商满足SBP的财产与对角线标准(质量矩阵)gydF4y2B一个 $ℳgydF4y2B一个$ 。我们到达DGSEM-LGL变体代替离散正交积分的gydF4y2B一个NgydF4y2B一个当使用相同的+ 1 LGL节点gydF4y2B一个NgydF4y2B一个+ 1 LGL节点跨越拉格朗日基函数用于多项式拟设。这给下面的离散DGSEM-LGL分裂形式gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个 $\mathcal{ℬgydF4y2B一个}$ 是边界评估矩阵从SBP的财产吗gydF4y2B一个Eq。41gydF4y2B一个,gydF4y2B一个FgydF4y2B一个=gydF4y2B一个FgydF4y2B一个(gydF4y2B一个UgydF4y2B一个)是集中的节点流量值的向量即gydF4y2B一个 ${\mathrm{FgydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个\mathrm{fgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个{\mathrm{UgydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}})gydF4y2B一个\forall gydF4y2B一个\mathrm{jgydF4y2B一个}$ ,gydF4y2B一个FgydF4y2B一个^{*gydF4y2B一个}是一个向量,其中包含的数值通量接口“左”和“正确”的第一个和最后一个条目和是零。的值gydF4y2B一个UgydF4y2B一个^{+gydF4y2B一个},表明数值通量的功能不仅取决于当地的元素值gydF4y2B一个UgydF4y2B一个从你的邻居,但也值网格细胞。我们将Gassner [gydF4y2B一个111年gydF4y2B一个)对这种形式的详细推导及其连接与simultaneous-approximation-terms SBP的框架(坐)。gydF4y2B一个

接下来,我们遵循标准的过程获得gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定估计乘以DG的计划解决方案,并利用正交规则数值积分元素即。,我们乘gydF4y2B一个 ${\mathrm{UgydF4y2B一个}}^{\mathrm{TgydF4y2B一个}}ℳgydF4y2B一个$

我们使用这一事实在哪里gydF4y2B一个 $ℳgydF4y2B一个\underset{¯gydF4y2B一个}{\mathrm{UgydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个\underset{¯gydF4y2B一个}{\mathrm{UgydF4y2B一个}}ℳgydF4y2B一个$ 因为两个矩阵是对角。再一次,我们考虑semi-discrete版本和时间的连续性gydF4y2B一个

离散的进化gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范网格中的单元gydF4y2B一个EgydF4y2B一个。接下来,我们关注体积。注意,在江和蜀完全集成的分析是假定合同表面体积的贡献。这是非常重要的,因为它允许直接控制方案的稳定性和数值的选择界面通量gydF4y2B一个FgydF4y2B一个^{*gydF4y2B一个}。没有完全集成的假设,我们看的选择分割的影响形式参数α。我们意识到第二项的体积积分可以调换gydF4y2B一个 ${\mathrm{UgydF4y2B一个}}^{\mathrm{TgydF4y2B一个}}\underset{¯gydF4y2B一个}{\mathrm{UgydF4y2B一个}}ℳgydF4y2B一个\mathcal{DgydF4y2B一个}\mathrm{UgydF4y2B一个}=gydF4y2B一个{\mathrm{UgydF4y2B一个}}^{\mathrm{TgydF4y2B一个}}{(gydF4y2B一个ℳgydF4y2B一个\mathcal{DgydF4y2B一个})gydF4y2B一个}^{\mathrm{TgydF4y2B一个}}\underset{¯gydF4y2B一个}{\mathrm{UgydF4y2B一个}}\mathrm{UgydF4y2B一个}$ 和类似于第一项体积积分,除了gydF4y2B一个 ${(gydF4y2B一个ℳgydF4y2B一个\mathcal{DgydF4y2B一个})gydF4y2B一个}^{\mathrm{TgydF4y2B一个}}$ 现在是转置。使用SBP的属性gydF4y2B一个 ${(gydF4y2B一个ℳgydF4y2B一个\mathcal{DgydF4y2B一个})gydF4y2B一个}^{\mathrm{TgydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个\mathcal{ℬgydF4y2B一个}-gydF4y2B一个ℳgydF4y2B一个\mathcal{DgydF4y2B一个}$ 我们得到了gydF4y2B一个

这个术语与边界评估矩阵gydF4y2B一个 $\mathcal{ℬgydF4y2B一个}$ 是一个表面,然而其余项是一个体积项,可以增加或减少gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范。因此,这学期可能关键在它增加了规范的情况下,这是一个不稳定的行为,可能会导致分解的模拟。我们注意到这个体积项是另一个表达式的混叠问题。保证这一项不影响稳定,我们需要保证它消失。我们可以看到,有一个分裂的形式参数(独特的)选择gydF4y2B一个 $\mathrm{\alpha gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{2gydF4y2B一个}/gydF4y2B一个\mathrm{3gydF4y2B一个}$ 取消剩余的体积。有了这个选择,离散变化的gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}正常读取,gydF4y2B一个

现在估计是类似于一个完全集成gydF4y2B一个Eq。19gydF4y2B一个因此,使用相同的参数,数值通量函数的选择gydF4y2B一个

再给一个离散稳定性估计gydF4y2B一个

分裂DGSEM-LGL形式gydF4y2B一个 $\mathrm{\alpha gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{2gydF4y2B一个}/gydF4y2B一个\mathrm{3gydF4y2B一个}$ 当对所有网格细胞求和与周期性边界条件。重要的是要注意到,这估计是离散的,它没有完全集成和假设它只能派生的特定选择gydF4y2B一个 $\mathrm{\alpha gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{2gydF4y2B一个}/gydF4y2B一个\mathrm{3gydF4y2B一个}$ 消掉了体积混叠误差的贡献。,我们有一个新方法,我们已经解决了问题我)中提到的开始部分。gydF4y2B一个

我们注意到这个特定的数值通量函数的选择完全保留了离散gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范。如果一个人认为模型的解决方案这个选择将是不合适的对于如电击,因为gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}规范需求减少gydF4y2B一个ugydF4y2B一个^{2gydF4y2B一个}是汉堡的熵的数学方程。对于标量方程,gydF4y2B一个年代gydF4y2B一个(gydF4y2B一个ugydF4y2B一个)=gydF4y2B一个ugydF4y2B一个^{2gydF4y2B一个}/ 2的平方熵(导致一个gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定的估计如(gydF4y2B一个99年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个141年gydF4y2B一个出简单的熵变量)gydF4y2B一个 $\mathrm{wgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{ugydF4y2B一个})gydF4y2B一个=gydF4y2B一个\frac{\mathrm{dgydF4y2B一个}\mathrm{年代gydF4y2B一个}}{\mathrm{dgydF4y2B一个}\mathrm{ugydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个\mathrm{ugydF4y2B一个}$ 。因此,数值通量的具体选择gydF4y2B一个Eq。72gydF4y2B一个通常被称为一个保守(EC)熵通量函数。对于一个熵耗散通量函数,有很多的选择。它可以表明E-fluxes的类,例如,(gydF4y2B一个33gydF4y2B一个),保证耗散,导致估计gydF4y2B一个

作为一个例子,一个简单的选择一个熵耗散Rusanov的数值通量函数gydF4y2B一个

一个重要的问题是我们如何可以扩展这种方法一般非线性系统。遵循同样的想法,可以推导出分离形式的浅水方程(gydF4y2B一个63年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个119年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个142年gydF4y2B一个),可压缩的一个简化版本欧拉方程。有很多分裂形式为可压缩欧拉,例如,给动能保护属性如(gydF4y2B一个143年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个144年gydF4y2B一个]。然而,到目前为止,没有分裂形式出所需的可压缩欧拉方程已知离散熵稳定性估计。问题中提到的问题2)和3)的开始部分,我们需要离散链式法则的财产合同的体积表面。结束本节我们重温汉堡的方程的推导,使两个重要的观察结果。gydF4y2B一个

首先,通过适当的选择gydF4y2B一个 $\mathrm{\alpha gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{2gydF4y2B一个}/gydF4y2B一个\mathrm{3gydF4y2B一个}$ ,我们得到所谓的斜对称的形式gydF4y2B一个

斜对称熵强连通,看到如Tadmor [gydF4y2B一个85年gydF4y2B一个]。空间导数项乘以gydF4y2B一个ugydF4y2B一个就像在gydF4y2B一个lgydF4y2B一个_{2gydF4y2B一个}稳定性分析给出了gydF4y2B一个

这表明斜对称的形式给出了乘法法则式形式的稳定性分析可以直接散度形式即简约。整合时,合同表面。事实上,对于这个简单的问题,简单的链式法则需要收缩减少乘法法则。类似地,我们得到的离散斜对称的体积DGSEM-LGL条款gydF4y2B一个

因此,在推导过程中,我们已经使用一个特定的离散版本的链式法则(产品规则)来估计。问题是,一般情况下如何扩展这个主意吗?gydF4y2B一个

第二个重要的观察是SBP计划费舍尔在他的博士论文gydF4y2B一个88年gydF4y2B一个](在早期作品中的精神LeFloch et al。gydF4y2B一个One hundred.gydF4y2B一个])是特定的反对称的数量上gydF4y2B一个 $\frac{\mathrm{1gydF4y2B一个}}{\mathrm{3gydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个\mathcal{DgydF4y2B一个}\underset{¯gydF4y2B一个}{\mathrm{UgydF4y2B一个}}\mathrm{UgydF4y2B一个}+gydF4y2B一个\underset{¯gydF4y2B一个}{\mathrm{UgydF4y2B一个}}\mathcal{DgydF4y2B一个}\mathrm{UgydF4y2B一个}]gydF4y2B一个$ 可以改写为任何对角线标准SBP运营商(因此,也对于DGSEM-LGL)gydF4y2B一个

与gydF4y2B一个 ${\mathrm{fgydF4y2B一个}}^{\text{*gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathrm{EgydF4y2B一个}\mathrm{CgydF4y2B一个}}$ 特定的数值通量gydF4y2B一个Eq。69gydF4y2B一个是对称的,其参数和导致的保护gydF4y2B一个UgydF4y2B一个^{2gydF4y2B一个}。我们进一步介绍了速记符号gydF4y2B一个 ${\mathcal{DgydF4y2B一个}}^{\mathrm{EgydF4y2B一个}\mathrm{CgydF4y2B一个}}\mathrm{fgydF4y2B一个}$ 表明我们的体积,使用特定的导数算子EC-flux建造。备注,我们注意到这个关系很容易证明,作为一个常数的离散微分为零,然后,例如,gydF4y2B一个

结合第一次观察到我们得到这个新的离散导数算子的性质(或散度算子在多维情况下)满足gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个 ${\mathrm{FgydF4y2B一个}}^{\mathrm{年代gydF4y2B一个}}$ 集中的节点向量的熵通量吗gydF4y2B一个 ${\mathrm{fgydF4y2B一个}}^{\mathrm{年代gydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个{\mathrm{ugydF4y2B一个}}^{\mathrm{3gydF4y2B一个}}/gydF4y2B一个\mathrm{3gydF4y2B一个}$ 汉堡的熵方程广场gydF4y2B一个年代gydF4y2B一个(gydF4y2B一个ugydF4y2B一个)=gydF4y2B一个ugydF4y2B一个^{2gydF4y2B一个}/ 2。这个关系是重要的离散模拟链式法则的财产gydF4y2B一个 $\mathrm{ugydF4y2B一个}{\mathrm{fgydF4y2B一个}}_{\mathrm{xgydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个{\mathrm{fgydF4y2B一个}}_{\mathrm{xgydF4y2B一个}}^{\mathrm{年代gydF4y2B一个}},gydF4y2B一个$ 它遵循的集成(gydF4y2B一个82年gydF4y2B一个)是离散的模拟gydF4y2B一个

在下一小节,我们将看到如何将这些观察指导路径离散为一般双曲PDE系统稳定性估计。gydF4y2B一个

4.2离散熵DGSEM-LGL的稳定性gydF4y2B一个

我们演示了如何构建一个高阶反对称的DG标量非线性汉堡的近似方程。这样做需要一个非常特殊的离散微分算子gydF4y2B一个Eq。78gydF4y2B一个这是恢复离散熵稳定的关键。我们现在讨论如何扩展的分裂形式方法一般系统非线性双曲守恒定律。对于一般非线性系统,目前尚不清楚如何显式地构造分割形式获得离散链式法则的财产。特别是物理通量的相容性条件获得当一个合同到熵空间gydF4y2B一个Eq。29gydF4y2B一个我们繁殖,假设一个空间维度,由于他们的针对性在目前的讨论gydF4y2B一个

正如前面指出的,链式法则是不可行的,甚至无法直接与离散微分恢复。这一点我们乘积法则适用于物理通量之间的相容性条件gydF4y2B一个fgydF4y2B一个和熵通量gydF4y2B一个fgydF4y2B一个^{年代gydF4y2B一个}找到gydF4y2B一个

这个操作原则的动机,因为它是更容易恢复产品规则离散比链式法则。我们已经有一个特定的离散等效为产品规则如果离散微分矩阵gydF4y2B一个 $\mathcal{DgydF4y2B一个}$ 是一个SBP算子。gydF4y2B一个

接下来,我们的目标是找到一个离散的新版本兼容性条件gydF4y2B一个Eq。81gydF4y2B一个Tadmor[想法后gydF4y2B一个78年gydF4y2B一个]。Tadmor分析低阶阵线计划和开发条件数值表面通量导出一个离散熵保护方案。在低阶阵线方法论的背景下,我们未知的元素平均值自然不连续在网格单元的接口。正如上面提到的,这个想法解决这些不连续数值通量函数也被用于建设的DG近似。考虑到兼容性条件贡献gydF4y2B一个Eq。81gydF4y2B一个在任意界面。这取决于离散值在当前的细胞和细胞的直接邻居,再次与一个“+”来表示。我们与一阶近似所有衍生品差异和定义TadmorgydF4y2B一个熵守恒gydF4y2B一个条件数值表面通量函数gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个 $\text{ΔgydF4y2B一个}\mathrm{xgydF4y2B一个}$ 每个网格单元的大小。同样,我们到达以下一般条件熵的数值表面通量守恒gydF4y2B一个

标量非线性问题可以解决这种情况明确(gydF4y2B一个145年gydF4y2B一个]。例如,在汉堡的方程,我们有gydF4y2B一个 $\mathrm{wgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{ugydF4y2B一个})gydF4y2B一个=gydF4y2B一个\mathrm{ugydF4y2B一个}$ ,gydF4y2B一个fgydF4y2B一个(gydF4y2B一个ugydF4y2B一个)=gydF4y2B一个ugydF4y2B一个^{2gydF4y2B一个}/ 2,gydF4y2B一个fgydF4y2B一个^{年代gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个ugydF4y2B一个)=gydF4y2B一个ugydF4y2B一个^{3gydF4y2B一个}/ 3,这样解决gydF4y2B一个Eq。83gydF4y2B一个

匹配特定的保守熵通量派生的4.1节中。我们又注意熵保守通量参数是对称的gydF4y2B一个UgydF4y2B一个^{+gydF4y2B一个}和gydF4y2B一个UgydF4y2B一个物理通量,是一致的,同样的参数我们PDE通量恢复gydF4y2B一个 ${\mathrm{fgydF4y2B一个}}^{\text{*gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathrm{EgydF4y2B一个}\mathrm{CgydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个})gydF4y2B一个=gydF4y2B一个\mathrm{fgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{UgydF4y2B一个})gydF4y2B一个$ 。gydF4y2B一个

然而,对于系统的非线性双曲守恒定律gydF4y2B一个Eq。83gydF4y2B一个是一个系统的代数条件向量数量不明的通量。因此,必须注意熵定义一个保守的数值通量函数仍然是身体上一致。也就是说,熵通量数值表面保护条件gydF4y2B一个Eq。83gydF4y2B一个是一个非常强大的声明。提供我们知道熵变量的显式形式,物理通量和熵通量我们可以定义一个合适的数值通量,确保低阶阵线数值近似熵的一致性。这样的数值通量的一般形式是由Tadmor [gydF4y2B一个77年gydF4y2B一个积分)定义为一个阶段gydF4y2B一个

评估数值通量函数的积分形式阶段需要一定通过相空间正交规则定义了一个路径。虽然从理论上讲有用,这个阶段为实际模拟计算的积分形式,即使是低阶数值近似。然而,在过去的20年里“负担得起”版本的熵保守的通量函数gydF4y2B一个 ${\mathbf{fgydF4y2B一个}}^{\text{*gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathrm{EgydF4y2B一个}\mathrm{CgydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个{\mathbf{UgydF4y2B一个}}^{+gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathbf{UgydF4y2B一个})gydF4y2B一个$ 已经开发了多种非线性浅水方程系统(gydF4y2B一个119年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个146年gydF4y2B一个),可压缩欧拉(gydF4y2B一个81年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个83年gydF4y2B一个),和理想磁流体动力学(gydF4y2B一个147年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

这些数值的关键驯良的版本的熵保守的数值通量函数来评估组件的物理通量在不同州之间的意思gydF4y2B一个UgydF4y2B一个^{+gydF4y2B一个}和gydF4y2B一个UgydF4y2B一个。注意,这些意味着国家可以采取极其复杂的形式取决于算术平均,算术的产品意味着,或者更常见的量对数平均。完整详细的推导数值通量函数可以在例如,(gydF4y2B一个81年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个83年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个146年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个147年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

为了便于说明,我们总结一个熵保守的数值通量的具体形式的一维欧拉方程与可压缩理想气体假设由于Chandrashekar [gydF4y2B一个81年gydF4y2B一个]。首先,我们引入符号算术平均值和两个量的对数平均gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个和gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个^{+gydF4y2B一个}:gydF4y2B一个

同时,我们引入一个变量与温度的倒数成正比gydF4y2B一个

简化了熵变量的形式gydF4y2B一个Eq。36gydF4y2B一个是gydF4y2B一个

然后,应用熵守恒条件gydF4y2B一个Eq。83gydF4y2B一个和许多代数操作后,我们来到一个熵保守的数值通量的解析表达式可压缩的欧拉方程gydF4y2B一个

到目前为止,讨论保守的数值近似熵的上下文中都是低阶有限体积方法。可以创建一个高阶熵与ENO意识到计划gydF4y2B一个148年gydF4y2B一个]或WENO重构[gydF4y2B一个149年gydF4y2B一个]。然而,正如上面提到的,费雪的工作的关键和非凡的结果是,低阶有限体积熵保守方案可以扩展到任意高阶精确的空间计划,当它是基于对角规范SBP运营商(gydF4y2B一个101年gydF4y2B一个]。就像汉堡的描述方程在4.1节最后两个观测中,关键的部分是将熵产生的贡献从数量上表面通过链式法则的一个离散的版本。一旦稳定只是由表面的贡献,可以控制的稳定性与适当的数值通量函数接口的选择。从这个意义上讲,高阶的分析方案减少类似问题的低阶有限体积方法gydF4y2B一个Eq。83gydF4y2B一个和完善的理论分析工具和结果可以被重用。值得一提的是,gydF4y2B一个 ${\mathbf{fgydF4y2B一个}}^{\text{*gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathrm{EgydF4y2B一个}\mathrm{CgydF4y2B一个}}$ 并不是唯一的,一个特定的选择保守熵通量产生不同的分裂形式的控制方程,例如,(gydF4y2B一个144年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个150年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个151年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

我们回到一个强大的形式DG近似非线性双曲系统的守恒定律,相同的一种形式gydF4y2B一个Eq。38gydF4y2B一个但现在只考虑在一个空间维度gydF4y2B一个

这里的标准工具节点应用了DG近似:gydF4y2B一个

1。解决方案和物理通量与多项式近似。gydF4y2B一个

2。任何积分变分公式与高阶近似LGL正交。gydF4y2B一个

3所示。插值和求积节点配置。gydF4y2B一个

重要的是,这些措施意味着离散DG分化矩阵是SBP算子。此外,我们使用表面熵保守的数值通量接口和特定离散微分投影gydF4y2B一个 ${\mathcal{DgydF4y2B一个}}^{\mathrm{EgydF4y2B一个}\mathrm{CgydF4y2B一个}}$ 中定义的gydF4y2B一个Eq。76gydF4y2B一个在到达保守DG近似熵的贡献gydF4y2B一个

现在,如果我们的测试函数gydF4y2B一个 $\mathrm{\varphi gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathbf{WgydF4y2B一个}$ 与gydF4y2B一个 ${\mathbf{WgydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}}=gydF4y2B一个\mathbf{wgydF4y2B一个}(gydF4y2B一个{\mathbf{UgydF4y2B一个}}_{\mathrm{jgydF4y2B一个}})gydF4y2B一个$ 评估在每个LGL节点gydF4y2B一个xgydF4y2B一个_{jgydF4y2B一个},我们获得gydF4y2B一个

假设连续性。另外,离散微分算子gydF4y2B一个 ${\mathcal{DgydF4y2B一个}}^{\mathrm{EgydF4y2B一个}\mathrm{CgydF4y2B一个}}$ 参到边界移动体积信息,请参阅。gydF4y2B一个32gydF4y2B一个,gydF4y2B一个101年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个125年gydF4y2B一个等完整的细节gydF4y2B一个

我们注意到这个非凡的属性适用于一般非线性系统可用熵估计和相应的低阶熵节约流量gydF4y2B一个 ${\mathbf{fgydF4y2B一个}}^{\text{*gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathrm{EgydF4y2B一个}\mathrm{CgydF4y2B一个}}$ 。结合熵的定义保守的通量gydF4y2B一个Eq。83gydF4y2B一个的离散熵演化DGSEM-LGLgydF4y2B一个

离散的模拟积分形式的熵守恒定律在2.2节讨论。结果DGSEM-LGL熵保守的建筑和我们认为重要的是要注意gydF4y2B一个不精确gydF4y2B一个在集成。从这个基线熵保守的数值方案,这并不消散熵的建设,我们可以创建一个执行的高阶DGSEM-LGL熵不等式gydF4y2B一个Eq。32gydF4y2B一个。我们通过引入耗散元素接口通过数值表面通量函数的选择,例如,Rusanov通量gydF4y2B一个Eq。72gydF4y2B一个。更复杂的耗散技术也可以消散解决方案信息根据不同波的优势与完整的细节中发现,例如,(gydF4y2B一个152年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个156年gydF4y2B一个]。我们终于注意到这个讨论仅限于一个空间维度为了方便和简单。扩展通用三维曲线坐标系统是可用的,看到如(gydF4y2B一个32gydF4y2B一个,gydF4y2B一个101年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个116年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个125年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个157年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个158年gydF4y2B一个详情)。gydF4y2B一个

4.3验证的鲁棒性和应用的空间物理熵DGSEM稳定gydF4y2B一个

在本节,我们将演示两个典型的仿真结果DG方案基于上述关键思想。一般的分裂形式DGSEM LGL节点三维曲线六面体的非结构化网格中实现开源软件FLUXO在github (project-fluxo / FLUXO),用现代Fortran编写特别强调大规模并行基于CPU的硬件。软件的主要焦点是在可压缩n - s和visco-resistive磁流体动力方程。时间集成semi-discrete形式完成一个四阶准确低存储的龙格-库塔方法木匠和肯尼迪(gydF4y2B一个159年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

为gydF4y2B一个验证gydF4y2B一个我们重新审视的一个重要数值贡献的健壮性莫拉et al。gydF4y2B一个67年gydF4y2B一个]。他们第一个报告的测试用例(数值)完全集成的DG方案是不能够运行,演示,进一步提高DG方法的鲁棒性是必要的。这个验证测试,我们认为可压缩n - s方程(粘性)或可压缩的欧拉方程(非粘性的情况下,基本上粘度参数设置为零)。考虑的问题是泰勒涡完全周期性领域,作为一个测试用例完全周期性动荡箱[0,1]gydF4y2B一个^{3gydF4y2B一个},始于一个平滑的初始速度场gydF4y2B一个

和过渡到湍流在其演化,直到达到类似于均匀紊流状态。初始密度是均匀的gydF4y2B一个 $\mathrm{\rho gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{1gydF4y2B一个}$ 和初始压力给了gydF4y2B一个 $\mathrm{pgydF4y2B一个}=gydF4y2B一个{\mathrm{pgydF4y2B一个}}_{\mathrm{0gydF4y2B一个}}+gydF4y2B一个\frac{\mathrm{1gydF4y2B一个}}{\mathrm{16gydF4y2B一个}}(gydF4y2B一个\text{因为gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{4gydF4y2B一个}\mathrm{\pi gydF4y2B一个}{\mathrm{xgydF4y2B一个}}_{\mathrm{1gydF4y2B一个}})gydF4y2B一个+gydF4y2B一个\text{因为gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{4gydF4y2B一个}\mathrm{\pi gydF4y2B一个}{\mathrm{xgydF4y2B一个}}_{\mathrm{2gydF4y2B一个}})gydF4y2B一个)gydF4y2B一个(gydF4y2B一个\text{因为gydF4y2B一个}(gydF4y2B一个\mathrm{4gydF4y2B一个}\mathrm{\pi gydF4y2B一个}{\mathrm{xgydF4y2B一个}}_{\mathrm{3gydF4y2B一个}})gydF4y2B一个+gydF4y2B一个\mathrm{2gydF4y2B一个})gydF4y2B一个$ ,在那里gydF4y2B一个 ${\mathrm{pgydF4y2B一个}}_{\mathrm{0gydF4y2B一个}}$ 是压力和背景gydF4y2B一个vgydF4y2B一个_{0gydF4y2B一个}速度振幅用于设置初始马赫数。在我们的例子中,我们选择的马赫数gydF4y2B一个马gydF4y2B一个= 0.1。未旋转的驱动流动特别容易上面讨论的混叠问题。这个测试用例的困难在于其广泛的尺度,当雷诺数增加(即。为低粘度),例如,(gydF4y2B一个39gydF4y2B一个]。为DGSEM discretisation,我们选择多项式的程度gydF4y2B一个NgydF4y2B一个和网格细胞的数量gydF4y2B一个 ${\mathrm{NgydF4y2B一个}}_{\mathrm{问gydF4y2B一个}}^{\mathrm{3gydF4y2B一个}}$ 。因此,自由度(自由度)的总数为一个守恒量gydF4y2B一个 ${(gydF4y2B一个\mathrm{NgydF4y2B一个}+gydF4y2B一个\mathrm{1gydF4y2B一个})gydF4y2B一个}^{\mathrm{3gydF4y2B一个}}{\mathrm{NgydF4y2B一个}}_{\mathrm{问gydF4y2B一个}}^{\mathrm{3gydF4y2B一个}}$ 。对于表面的数值通量函数,我们使用Rusanov通量。gydF4y2B一个

鲁棒性调查,我们考虑一个非粘流(粘度参数为零),专注于三个特定的设置,在那里gydF4y2B一个NgydF4y2B一个= 1、3、7和元素的数量gydF4y2B一个NgydF4y2B一个_{问gydF4y2B一个}= 56,28岁,分别为14。这将确保为所有三个计算自由度总数/守恒量是相等的,大约140万。有很多调查中所呈现的不同的配置gydF4y2B一个160〕。gydF4y2B一个相同,但它们都证明行为:在低阶变异gydF4y2B一个NgydF4y2B一个= 1,3似乎相对强劲的完全整合,多项式程度越高,DG方法变得越不稳定。和为例gydF4y2B一个NgydF4y2B一个= 7与gydF4y2B一个NgydF4y2B一个_{问gydF4y2B一个}= 14的仿真撞在仿真时间gydF4y2B一个tgydF4y2B一个_{崩溃gydF4y2B一个}= 8.4,即使增加了求积节点从8gydF4y2B一个^{3gydF4y2B一个}多达32gydF4y2B一个^{3gydF4y2B一个}每个元素= 32768。相比之下,小说与标准熵稳定DGSEM LGL节点运行所有配置没有崩溃。gydF4y2B一个

此外,它甚至可以运行这个具有挑战性的测试用例没有任何人工耗散,即与gydF4y2B一个 ${\mathrm{FgydF4y2B一个}}^{\text{*gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathrm{EgydF4y2B一个}\mathrm{CgydF4y2B一个}}$ 数值通量,而不是Rusanov通量函数。这是非常有趣的,因为它允许我们充分观察和控制人工生成的数值耗散机制。要证明这一点,我们考虑了泰勒涡流测试用例,但这一次与非零粘度的雷诺数gydF4y2B一个再保险gydF4y2B一个= 1600。在这个n - s的案例中,可以与动能衰减随时间与涡度拟能的时间行为估计雷诺数。从理论上讲,这应该是gydF4y2B一个再保险gydF4y2B一个为模拟= 1600。在实践中,有限的决议使数值色散和损耗等错误,例如,(gydF4y2B一个55gydF4y2B一个]。我们提出两个结果gydF4y2B一个图1gydF4y2B一个粘性的测试用例gydF4y2B一个NgydF4y2B一个= 7,gydF4y2B一个NgydF4y2B一个_{问gydF4y2B一个}= 8。gydF4y2B一个

我们注意到,这个标准的测试用例要坠毁DG计划,然而小说DGSEM-LGL提出适当的离散的链式法则,它运行的耗散Rusanov数值通量gydF4y2B一个 ${\mathrm{FgydF4y2B一个}}^{\text{*gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathrm{RgydF4y2B一个}\mathrm{ugydF4y2B一个}\mathrm{年代gydF4y2B一个}\mathrm{一个gydF4y2B一个}\mathrm{ngydF4y2B一个}\mathrm{ogydF4y2B一个}\mathrm{vgydF4y2B一个}}$ (熵稳定DGSEM-LGL),甚至无耗散的数值通量gydF4y2B一个 ${\mathrm{FgydF4y2B一个}}^{\text{*gydF4y2B一个},gydF4y2B一个\mathrm{EgydF4y2B一个}\mathrm{CgydF4y2B一个}}$ (熵保守DGSEM-LGL)。初始过渡区后,熵保守方案保留物理雷诺数非常好gydF4y2B一个再保险gydF4y2B一个_{数值gydF4y2B一个}= 1600,整个演化模拟损耗几乎是免费的。熵稳定变异清楚地介绍了空间尺度上尽快稳定耗散再也不能得到解决。有趣的是,这些结果提示向量化的可能性和控制下的人工耗散DGSEM的动荡和解决使用这个构造高保真湍流模型,看到一个概念验证(例如,gydF4y2B一个161年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

对于一个模范gydF4y2B一个应用程序gydF4y2B一个我们考虑一个复杂的测试用例从太空物理学。我们专注于月球的电动和等离子体交互Io木星的强磁场。Io是嵌入在一个稠密等离子体环面,木星的磁气圈,和有趣的展品等离子体流动特性包含陡峭的梯度和不连续性gydF4y2B一个162年gydF4y2B一个]。一般的问题设置所示gydF4y2B一个图2gydF4y2B一个。忽视中性密度、相对论、粘性、电阻和霍尔效应,这种磁流体动力流在Io的等离子体环可以建模与理想磁流体动力方程。这种磁流体动力流,FLUXO中的熵稳定DGSEM解算器使用双曲散度清洁机制执行divergence-free约束磁场变量gydF4y2B一个 $\stackrel{\to gydF4y2B一个}{\mathrm{BgydF4y2B一个}}$ (gydF4y2B一个125年gydF4y2B一个]。此外,解算器必须增强震惊地捕捉技术来处理强不连续(gydF4y2B一个163年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

Io木星轨道,等离子体和环面流的形式当地电离层电场诱导分化费用和修改,从而改变了当地的洛伦兹力和阻尼电子和离子流动接近Io。等离子体流强烈降低Io(很弱)的大气,内部可以建模,通过融合一个中立的碰撞源项的理想磁流体动力系统,阿富汗二月et al。gydF4y2B一个162年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个164年gydF4y2B一个),gydF4y2B一个

的碰撞频率gydF4y2B一个

在哪里gydF4y2B一个 ${\mathrm{\varpi gydF4y2B一个}}_{\text{在gydF4y2B一个}}>gydF4y2B一个\mathrm{0gydF4y2B一个}$ 是恒定的。的内部气氛Io表示为中性气体云gydF4y2B一个 $\mathfrak{UgydF4y2B一个}$ 。为了电离层模型,我们还引入一个平稳过渡区域gydF4y2B一个 $\mathfrak{TgydF4y2B一个}$ 由一个指数混合依赖于半径gydF4y2B一个 ${\mathrm{rgydF4y2B一个}}_{\mathfrak{UgydF4y2B一个}},gydF4y2B一个\mathrm{rgydF4y2B一个}$ 和膨胀系数gydF4y2B一个dgydF4y2B一个。在这个地区引起电离层的中性大气稀释导率减少,他们不再能够维持当前电离层垂直于磁场。最终,电流是继续沿着磁力线Io的电离层,最后送入Io的阿尔芬翅膀的地方见gydF4y2B一个图3gydF4y2B一个。gydF4y2B一个

在无量纲计算域我们规模的半径大气球形与半径和定位球体的中心在原点gydF4y2B一个

电离层过程使用的指数混合上面的碰撞频率与膨胀的因素gydF4y2B一个dgydF4y2B一个= 150/1820。流作为初始条件gydF4y2B一个

将最后一次进化gydF4y2B一个TgydF4y2B一个= 5。被气体常数gydF4y2B一个 $\mathrm{\gamma gydF4y2B一个}=gydF4y2B一个\mathrm{5gydF4y2B一个}/gydF4y2B一个\mathrm{3gydF4y2B一个}$ 。边界在左边,前后边界面临这个引用状态不变,而我们定义流出边界条件在右边,顶部和底部的域。gydF4y2B一个

预期捕获相关的物理相互作用在球体以及阿尔芬翅膀的发展最好,我们利用熵稳定DGSEM解算器的几何灵活性和计算域划分为非结构化,曲线网格中给出gydF4y2B一个图4gydF4y2B一个。我们用一个多项式的顺序在每个元素gydF4y2B一个NgydF4y2B一个= 3。gydF4y2B一个

在gydF4y2B一个图5gydF4y2B一个我们2 d-slicegydF4y2B一个BgydF4y2B一个_{1gydF4y2B一个}和gydF4y2B一个vgydF4y2B一个_{1gydF4y2B一个}组件gydF4y2B一个ygydF4y2B一个= 0的近似熵稳定的最后一次提出了熵的数值生成的阿尔芬翅膀DGSEM稳定。它还演示了的预期正相关gydF4y2B一个BgydF4y2B一个_{1gydF4y2B一个}变量以速度变量gydF4y2B一个vgydF4y2B一个_{1gydF4y2B一个}北部的阿尔芬机翼和翼南部的负相关。此外,我们考虑在这些形象片gydF4y2B一个BgydF4y2B一个_{1gydF4y2B一个}和gydF4y2B一个vgydF4y2B一个_{1gydF4y2B一个}沿着线gydF4y2B一个zgydF4y2B一个= 5和比较结果的解决方案计算开源软件宙斯(gydF4y2B一个www.astro.princeton.edu/jstone/zeus.htmlgydF4y2B一个)gydF4y2B一个图6gydF4y2B一个。宙斯是一个阵线能手写在球坐标,使用显式时间积分。宙斯的比较,提出用1000万网格细胞(景深)总共而熵稳定DGSEM解算器使用大约14336个元素gydF4y2B一个NgydF4y2B一个= 3多项式和共有大约100万个自由度。减少自由度也翻译近10倍减少总体CPU时间代码都使用MPI并行运行在100年核心。提高效率的高阶DGSEM-LGL,由于离散熵增加鲁棒性稳定,这部小说的几何灵活性几个优势DG框架。gydF4y2B一个

5接下来去哪里?gydF4y2B一个

DG的反应社会的分裂形式DGSEM LGL正交张量积上hexahedra一直是令人震惊的。然而,当然,还有很多这种方法的局限性。一些最近解决和其他许多人还开着。到目前为止,我们讨论了semi-discrete DGSEM-LGL变异与张量积扩张可能的曲线非结构化六面体网格。直接扩展这种变体包括非相容的网格(gydF4y2B一个166年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个167年gydF4y2B一个),移动网格(gydF4y2B一个168年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个170年gydF4y2B一个等),不同的相关版本如线DG方法(gydF4y2B一个171年gydF4y2B一个),和一个完全离散时空方法没有假设时间连续性[gydF4y2B一个172年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个175年gydF4y2B一个]。一个令人兴奋的最近的发展是显式龙格-库塔方法修改,保留semi-discrete熵稳定估计(gydF4y2B一个176年gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

LGL的一个缺点是,相比Legendre-Gauss (LG)点,精度在色散和损耗较低,看到如(gydF4y2B一个56gydF4y2B一个]。不幸的是,LG点不包括边界节点,因此他们不直接满足经典SBP财产和提出发展不能直接适用于这种情况。然而,有几个发展框架的扩展与LG节点构造熵稳定变异。一种基于交错网格方法由Parsani et al。gydF4y2B一个176年gydF4y2B一个]。作者使用了标准的LG节点跨解决方案,然而计算离散导数算子,它们插入到一个高阶交错网格LGL可以使用SBP的属性。然后他们确保投影熵依然稳定保持稳定的估计的准确性的LG节点。另一种方法是提出的如Ortleb [gydF4y2B一个177年gydF4y2B一个),作者直接构造方案,保留了动能与LG节点。尽管SBP不能直接应用,区别只在于边界算子gydF4y2B一个 $\mathcal{ℬgydF4y2B一个}$ 。SBP的经典gydF4y2B一个 $\mathcal{ℬgydF4y2B一个}$ 斜,而LG的节点gydF4y2B一个 $\mathcal{ℬgydF4y2B一个}$ 有一些列填满。Ortleb固定这通过考虑特殊边界修正条款,在使用类似的想法在LGL体积计算。在他的博士论文,费尔南德斯(gydF4y2B一个178年gydF4y2B一个)扩展了经典SBP财产一般节点集,或不包括边界节点,所有网格节点所在的内部或者外部域。gydF4y2B一个

推广到多维领域在例如,(gydF4y2B一个179年gydF4y2B一个),称为多维SBP运营商。这是一个有趣的发展,因为它解决了经典DGSEM-LGL的另一个限制。在某些应用程序中,有更大的灵活性是有利的在生成网格的几何图形复杂形状。在这种情况下,与单纯形元素类型,如三角形和四面体网格,甚至混合元素类型如棱镜和金字塔。我们将提及一些最新发展和扩展,但强调这个列表并不完整和有很多。回到多维SBP框架,这种方法的优势是,它可以用来构建稳定的单纯形网格的方法例如,由陈(gydF4y2B一个115年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个180年gydF4y2B一个陈,和舒gydF4y2B一个132年gydF4y2B一个),Hicken et al。gydF4y2B一个181年gydF4y2B一个Crean], et al。gydF4y2B一个182年gydF4y2B一个]。另一个有趣的方法来生成DG方案一般网格提出了陈(gydF4y2B一个115年gydF4y2B一个]。他表明,一个特殊的投影直接与网格节点的熵变量配置可以给SBP类型属性,可用于构建discretisations稳定。gydF4y2B一个

如上所述的反应DG社会惊人的爆炸的发展,扩展和新见解。然而,仍有许多未解决的问题,需要研究在未来进一步发展高阶DG方法为计算物理学的一个可行的工具。最重要的问题仍然是鲁棒性。虽然熵稳定性显著提高方案的稳定性在许多应用程序中,仍有情况没有显著增加鲁棒性DG的方案可以观察到gydF4y2B一个183年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个184年gydF4y2B一个]。一个可能的原因可能是,例如,数学熵函数的正确选择。而通常只有一个物理(热力学)熵,有许多数学往往会导致一个稳定的估计在相应规范的解决方案。那么重要的熵量考虑是什么?例如,动能,交叉螺旋性和相关数量吗?例如,在动荡的动能和适当的预测行为似乎发挥重要作用[gydF4y2B一个144年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个161年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个185年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个186年gydF4y2B一个]。除了得到离散熵稳定估计,可以使用分割形式DGSEM-LGL 4.1节的方法来构造离散DG计划保留的动能和离散是兼容的内在和总能量,例如,(gydF4y2B一个116年gydF4y2B一个]。它可以是所示gydF4y2B一个参考文献160。gydF4y2B一个和gydF4y2B一个161年gydF4y2B一个这种动能保持DG方案表现积极可压缩湍流的模拟标准DG相比,特别是在结合次网格湍流模型。然而,正如在熵的发展保守(以及反过来熵稳定)有nonuniqeuness数值通量函数。存在许多可能的解决方案创建一个数值通量,例如,动能保护或熵保守或两者如(gydF4y2B一个81年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个83年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个144年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个185年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个187年gydF4y2B一个]。此外,动能的离散行为在时间演化under-resolved湍流通量之间的流动是完全不同的甚至都证实动能保存在纸上(gydF4y2B一个116年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个187年gydF4y2B一个,gydF4y2B一个188年gydF4y2B一个]。对未来的一个重要的问题是:什么是重要的数量不仅从数学,但也从一个物理的角度吗?gydF4y2B一个

这个上下文中的一个基本问题的问题设置,包括物理不连续如冲击波可压缩欧拉或理想磁流体动力方程。不连续触发另一个固有的不稳定、高阶方法:即吉布斯现象。,数值振荡。这些振荡可能是毁灭性的不足或过度会导致非物质状态的解决方案如负密度或压力。因此,积极性是一个必要的准则等所有数值方法模拟问题。然而,这个日期至今仍没有足够研究熵稳定和积极的主题如(gydF4y2B一个40gydF4y2B一个]。值得指出的是,数学,熵函数只定义良好的积极的解决方案,因此,积极性强连通。推广此讨论,很明显,熵稳定是“不够”属性的数值方法。我们需要更多的属性,如如,积极性。然而,这也是我们到达未知的研究领域为连续许多问题例如,甚至可压缩n - s方程,这一点甚至不清楚显示积极为模型本身。gydF4y2B一个

概述在这工作集中在体积的贡献和底层工具(物理和数学)导致熵稳定DG方法。然而,在物理边界的贡献被忽视了。正确姿势边界条件熵稳定对于一个给定的模型,如欧拉或可压缩n - s方程,被认为是(gydF4y2B一个189年gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个195年gydF4y2B一个),但这仍然是一个活跃的研究领域特别是因为解决方案的治疗和行为(无论在连续或离散级别)的有效性直接关系到数学PDE模型和直接相关的问题。适定性问题gydF4y2B一个

结束,我们目前在一个令人兴奋的发展阶段与高阶DG方法,我们可以模仿重要估计小心离散运营商建设持续稳定。然而,实际模拟表明,这些是不够的我们想要模拟的最复杂的问题。加上,我们数值方案及其属性非常接近当前分析知识的物理模型。很难进步与数值发展进一步比分析:哪些属性很重要吗?你怎么显示积极性?或一个更普遍的问题:如何证明物质层的解决方案对于一个给定的PDE模型?答案似乎只能在密切合作从物理和数学的研究。gydF4y2Ba

作者的贡献gydF4y2B一个

所有作者列出了一大笔,直接和知识贡献的工作,批准发布。gydF4y2B一个

资金gydF4y2B一个

GG支持的欧洲研究委员会(ERC)在欧盟的8框架项目地平线2020研究项目的一个极端,伦理委员会授予协议714487号。支持开放获取出版物是由林雪平大学提供。gydF4y2B一个

的利益冲突gydF4y2B一个

作者声明,这项研究是在没有进行任何商业或财务关系可能被视为一个潜在的利益冲突。gydF4y2B一个

确认gydF4y2B一个

这部分工作是在科隆上执行效率高操作平台,科学(基奥普斯)地区Rechenzentrum科隆科隆大学(RRZK)。作者感谢马文玻姆贡献空间物理的讨论。gydF4y2B一个

引用gydF4y2B一个