原始研究的文章

前面。动力机械。Eng。,27一个pril 2022
秒。摩擦学
卷8 - 2022 | https://doi.org/10.3389/fmech.2022.905026

严重磨损的部分对模型:假设和影响

毛皮Mechanik研究所科技大学柏林,柏林,德国

基于聚合物的穿的例子,这表现出幂律所损失的时间变化穿在恒定加载条件下,引入了部分对穿方程。固定接触区磨损接触问题是解决使用已知的空间和时间分离变量的方法。结果表明,在磨损过程中,接触压力的方法均匀分布在接触面积,这称为准稳态解,因为平均体积磨损率并不倾向于成为常数。感兴趣的是,接触压力变化显示衰减振荡性质的严重磨损,随着时间的推移,当平均体积磨损率增加。

1介绍

穿是摩擦学的现象伴随接触之间的交互界面滑动的固体表面,主要体现在逐渐丧失的材料由于地下损伤积累和表面退化(Zmitrowicz 2006)。在穿材料测试、磨损损失通常是测量了材料的体积,V收益率的磨损深度,w有关接触的面积,一个,因为

w = \frac{V}{一个} 。 (1)

情商。暂时假定磨损损失是相同的每一点的接触区,这条件是稳态磨损过程的特征(Dundurs Comninou, 1980;Paczelt Mroz, 2007)。

通常,滑动磨损测试执行在恒定正常加载条件下,它的特点是可以接触载荷,P,或者意味着接触压力,

\bar{p} = \frac{P}{一个} 。 (2)

在轻度或中度磨损的情况下,一些最初的磨合后(赖特和Kukureka, 2001年;境外et al ., 2021)或磨损(蓝色,2005)一段时间,稳定状态的条件 $p (x, t) \equiv \bar{p}$ 在接触界面实现和维持很长一段时间,在此期间穿材料特性测量。

在稳态磨损过程,线性磨损率,定义为时间导数 $\dot{w} = d w / d t$ 时间是恒定的,此外,接触压力p达到一个恒定的值在整个接触区。所以,在稳态穿制度,体积磨损损失V将时间变量的线性函数t,因此,可以评为线性磨损率

\dot{w} = \frac{V (t_{2}) - V (t_{1})}{一个 (t_{2} - t_{1})}, (3)

在哪里t₁和t₂任何两个不同时刻的稳态期间时间。

在许多情况下,磨损方程可以写在下列表格(Kragelsky 1965):

V = k_{w} P v t 。 (4)

在这里,v滑动速度,k_w是磨损系数。针对方程式1,2,Eq。4可以表示成

\dot{w} = k_{w} \bar{p} v, (5)

这是被称为Archard方程(孟和Ludema, 1995),尽管类似穿之前介绍了方程急性脑病(1860),Khrushchov和Babichev (1941),河中沙洲(1946)。磨损系数k_w决定在稳态条件下使用方程式3,5。

一个泛化的磨损Eq。4,这是建议的Rhee (1970)polymer-bonded摩擦材料的

V = K_{w} P^{γ} v^{β} t^{α}, (6)

在哪里K_w是穿的因素,α,β,γ是参数。然而,尽管情商。已成功用于预测聚合物复合材料的耐磨性为极端环境条件(Gardos 1982;Sedakova科济列夫,2021应用穿),有一个问题情商。为解决磨损接触与接触压力的时空变异问题(Grzelczyk Awrejcewicz, 2015;Ciavarella et al ., 2020)。

近年来,已经有越来越多的兴趣建模严重磨损(阮et al ., 2018;波波夫和Pohrt, 2018;李et al ., 2020)。广义上说,严重穿被定义为一种穿的特点是快速增加的数量和尺寸磨损粒子(蓝色,1992)。在很多情况下,严重磨损的机制可以通过没有任何特征常数条件下稳态政权。这是如此,例如,在穿聚合物(Viswanath和波纹管,1995),在固定的正常负载和滑动速度(见下图1),磨损体积损失V不同比例在一定时间的力量,t^α,因此,磨损率 $\dot{w}$ 将是一个时间的函数(成正比吗t^α−1在整个测试期间)。

图1

图1。体积损失与时间线性坐标与最符合幂律行缩醛树脂对两个同行(根据实验获得的数据Viswanath和波纹管(1995))。

很明显,在实验中,所示的结果图1,情商。是不适用的。相反,我们可以考虑的比率V(t)/t这定义了意味着体积磨损率。两种情况α= 0.812,α= 1.595相差这个量的减少/增加的趋势。磨损过程随着时间的意思是体积磨损率(即当α> 1)将被称为狭义严重磨损。与此同时,这个案子α< 5月1日称为轻微磨损,磨损过程中磨损率降低至零。

此外,当比较ArchardEq。4与李情商。,我们看到,对于聚合物Archard磨损系数k_w,这是评估的比率V/Pvt,发现取决于时间 $k_{w} \sim t^{(} α - 1)$ 。这意味着对于polymer-bonded摩擦材料,Rhee穿方程适用,磨损系数为常数的概念特点tribo-pair不适用。然而,两种情况α< 1,α> 1显著不同的时间变化线性磨损率。接下来,为了避免误解轻微和严重磨损的机制,这两种情况下会称为sub-Archard和super-Archard政权的磨损。

然而,自然担心出现磨损时间的影响,当初始接触压力的发展由于接触几何适应(Argatov我和茶,2020)。在pin-on-disk滑动磨损的测试中,当一个可穿戴的销放在一个研磨盘,存在一个小的初始接触(见表面之间的差距图2一个),影响初始接触压力,p(x,t)t= 0,在加载状态图2 b)。

图2

图2。最初接触配置:(一)卸载状态;(B)加载状态。

在磨损过程中,由于接触几何适应,接触压力p(x,t)的演化在时间和方法的稳态模式均匀分布在接触区(见图3一)。相应的稳态销表面的形状所面临的磁盘的特点是功能限制的差距,Δ_∞(x),它不依赖于初始差距(见图3 b)。

图3

图3。稳态接触配置:(一)加载状态;(B)卸载状态。

当接触几何适应性的理论建模框架(图2,3)应用于super-Archard穿的情况下,以这种方式来解决的主要问题是泛化的实验观察不稳定的关系 $\dot{w}$ 和 $\bar{p} = c o n 年代 t$ 实际的重要情况p≠const。迄今为止没有出版物Rhee模型的概括Archard穿方程(6)相似,它遵循情商。通过更换意味着接触压力 $\bar{p}$ 与接触压力p。应该强调,同样的方法不适合Rhee穿情商。。这个程度,分数对时间的概念可以被有效地应用于洞察接触压力演化严重磨损。

近年来,部分分化的装置被用于力学,尤其是推广扩散模型(曼拉德,1996),粗糙的接触(Argatov 2003)和粘弹性(苏et al ., 2021)。在目前的研究中,我们使用古典Riemann-Liouville导数。应该注意,存在许多不同的方法来介绍导数的一个更一般的概念(Ortigueira和马查多,2015)。特别是,一个所谓的分形分数导数(陈et al ., 2010;他,2011)不涉及卷积积分,代表了一个当地的运营商。然而,而分形已经成为一个有用的数学工具在摩擦学的研究(1990年灵;奥尼先科Borodich和,1993年;Borodich 1999),本研究先驱的分数阶导数建模概念的使用磨损过程。

因为戴隐形的理论问题是成熟的(Aleksandrov Kovalenko, 1980;Kovalenko 1985),我们采用方法提出建设性的评论(Argatov我和柴y年代,2020),一般的观点描述的销/磁盘交互联系,既适用的三个,二维的设置。为了说明接触压力演化,我们考虑一个二维戴隐形问题(Galin 1976),详细分析了现有文献中(Aleksandrov et al ., 1978;Argatov Fadin, 2011)。预计与某些修改以下部分对方法开发可以应用于模型机械力化学腐蚀等其他temporary-spatial严重破坏过程(Sedova Pronina, 2022),穿/划痕损伤(Dasari et al ., 2009),穿的超材料(花环et al ., 2020)。

剩下的纸是组织如下。在第2部分中,我们介绍一个分数对(FTD)穿方程的简单概括Archard穿方程代替时间导数的定义与适当的分数导数线性磨损率。FTD穿方程应用恒定负载条件下预测的幂律时间变化体积穿类似Rhee穿方程。这一观点解释了本研究的主要目的是推广Rhee穿方程不恒定的情况下(时空)接触压力的变化。它假设FTD穿方程提供了这样一个泛化。论文的主体是用于分析影响来自模型的解决方案在第三节穿接触问题制定。特别是准稳态的存在在第四节被识别,采用分离变量的方法(5节),接触压力向准稳态的评估被认为是在第6节中详细。尤其是小说aspect-oscillatory性质的接触压力的变化是第七节中讨论。穿的时空变异概要提出了部分8。最后,9节,我们讨论结果和进一步推广和制定的结论。

第二部分对磨损方程

由于在它的基本版本Archard (1953)磨损方程线性关系的磨损率与坐标点x和时间t的接触压力

\dot{w} (x, t) = κ p (x, t) (7)

与一个常数κ穿相关系数,k_w,因为κ=k_wv,在那里v相对滑动的速度在接触界面。

假设下穿材料在初始时刻缺席t= 0w(x,0)= 0,7情商。等于的关系

w (x, t) = κ \int_{0}^{t} p (x, τ) d τ 。 (8)

积分形式情商。穿的7情商。用于制定戴隐形问题(Galin 1976;Argatov日吨产量,2012年),磨损深度w(x,t)直接描述的进化方向正常的接触几何接触界面。

让我们替换分化对时间的左边7情商。与一个更一般的导数的概念。特别是,我们利用的部分Riemann-Liouville导数秩序α将用 $D_{t}^{α}$ 。通过这种方式,我们直接到达方程

D_{t}^{α} w (x, t) = κ p (x, t), (9)

它包含两个参数,即κ和α。

分数阶微积分的框架,从Eq。9,接下去

w (x, t) = \frac{κ}{Γ (α)} \int_{0}^{t} \frac{p (x, τ)}{{(t - τ)}^{1 - α}} d τ, (10)

Γ(x)是γ函数。

的右边情商。包含的Riemann-Liouville积分次序α这是符合各自的分数阶导数出现在的反转吗Eq。9。

强调通过α= 1情商。Γ正常化的条件(1)= 1,我们恢复积分形式情商。的non-fractional Archard磨损方程。因此,它是有意义的假设0 <α< 2,因为Eq。9概括Archard的7情商。,完全对应的基本情况α= 1。

备注1。在稳定状态的情况下,观察到 $p (x, t) \equiv \bar{p}$ ,情商。收益率

w = \frac{κ \bar{p}}{α Γ (α)} t^{α}, (11)

因此,平均线性磨损率(磨损过程的评估从一开始)将不恒定

\frac{w}{t} = \frac{κ \bar{p}}{α Γ (α)} t^{α - 1} 。

针对情商。,从Eq。11,接下去

V = \frac{κ P}{α Γ (α)} t^{α} 。 (12)

Eq。12中所示的实验数据可以安装吗图1来唯一地确定这两个参数κ和α。

3戴隐形问题公式化

后Komogortsev (1985)和Argatov和Fadin (2011),我们考虑一个穿一个弹性固体接触问题(pin)接触刚性基础(磁盘)和一个固定的接触区,x∈ω在一个恒定的正常负载下,P。在这种情况下,接触压力的结果p(x,t)满足平衡方程

\int_{ω} p (x, t) d x = P, t \geq 0 。 (13)

戴隐形的问题可以被简化为以下管理域积分方程x∈ω,t≥0,这涉及到两个未知数,即接触压力p(x,t)和接触位移δ₀(t):

\int_{ω} K (x, ξ) p (ξ, t) d ξ = δ_{0} (t) - [Δ_{0} (x) + w (x, t)] 。 (14)

在这里,K(x,ξ()是给定surface-influence函数x和ξ点的观察和集成),Δ₀(x)是一个已知函数的初始接触表面之间的差距w(x,t)的磨损深度与接触压力有关p(x,t)情商。。注意,函数通常是受的差距Δ定心条件₀(0)= 0。

我们回想一下,surface-influence函数K(x,ξ)被定义为正常组件对应的向量的格林函数限制弹性固体的表面,因此,弹性固体内部的平衡方程(Shillor et al ., 2004)是自然满足建筑的功能K(x,ξ)。减少磨损接触问题管理相应的积分方程是众所周知的(Argatov我和柴y年代,2020),并允许应用边界元法(Sfantos Aliabadi, 2006)的直接评价接触压力。

4统一接触压力作为一个准稳定的状态

通过集成情商。接触时间间隔和考虑到平衡Eq。13,我们得到以下的体积磨损损失的关系:

\begin{align} V (t) & = \int_{ω} w (x, t) d x \\ = \frac{κ}{Γ (α)} \int_{0}^{t} \frac{d τ}{{(t - τ)}^{1 - α}} \int_{ω} p (x, τ) d x = \frac{κ P t^{α}}{α Γ (α)} 。 \end{align} (15)

因此,利用Eq。15和前面介绍的方法(Komogortsev 1985),我们可以减少管理积分Eq。14这个方程

\int_{ω} (K (x, ξ) - \frac{1}{一个} K_{1} (ξ)) [p (ξ, t) - p (ξ, 0)] d ξ + w (x, t) = \frac{κ P}{一个} \frac{t^{α}}{α Γ (α)}, (16)

在哪里x∈ω和t> 0。此外,一个表示定义的接触面积测量

一个 = \int_{ω} d x, (17)

我们已经介绍了符号

K_{1} (ξ) = \int_{ω} K (x, ξ) d x 。 (18)

的形式Eq。16最好戴隐形问题(Komogortsev 1985),初始接触配置的影响,与函数Δ的差距₀(x),现在并入初始接触压力密度p(x,0)。

现在,让我们引入的符号的意思是接触压力和接触压力的逐点偏差的平均值

\bar{p} = \frac{P}{一个}, 问 (x, t) = p (x, t) - \bar{p} 。 (19)

因此,鉴于(方程式15,19),Eq。16可以改写形式

\int_{ω} K_{2} (x, ξ) [问 (ξ, t) - 问 (ξ, 0)] d ξ + \frac{κ}{Γ (α)} \int_{0}^{t} \frac{问 (x, τ)}{{(t - τ)}^{1 - α}} d τ = 0, (20.)

在哪里x∈ω和t> 0,我们已经介绍了符号

K_{2} (x, ξ) = K (x, ξ) - \frac{1}{一个} K_{1} (ξ) - \frac{1}{一个} K_{1} (x) 。 (21)

我们注意到关于内核的积分Eq。16右边的第三个任期Eq。21介绍了均衡(Argatov柴,2019)。这是方便但不影响结果,因为零平均财产

\int_{ω} 问 (ξ, t) d ξ = 0, t \geq 0, (22)

它遵循的定义(19)₂函数的问(x,t)和平衡方程Eq。13。

为此,剩余的行为功能问(x,t)随着时间的推移所描述的Eq。20。通过类比戴隐形问题基于Archard磨损方程,可以预期,接触压力的偏差的平均值随时间减少。在考虑中,我们也发现问(x,t)→0t→∞,因此平均接触压力 $\bar{p}$ 将被称为准稳态解。

5 Non-Dimensionalization和分离变量

为了简单起见,我们假设销材料是各向同性的,可表现为杨氏模量,E和泊松比,ν。接触力学,在其中扮演了一个重要的角色降低弹性模量E* =E/ (1−ν²)。同时,让一个表示特征联系域的大小ω,可以采取的half-diameter等于ω。

后Komogortsev (1985),我们利用这一事实Eq。20,针对情商。是可分离的形式(内核函数K₂(x,ξ不依赖于时间变量t),可以构造形式的解决方案

问 (x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} (t) ϕ_{n} (x), (23)

在哪里ϕ_n(x)是n与内核积分算子的本征函数K₂(x,ξ)由Eq。21,也就是说,

\frac{E^{*}}{一个} \int_{ω} K_{2} (x, ξ) ϕ_{n} (ξ) d ξ = λ_{n} ϕ_{n} (x), x \in ω 。 (24)

我们注意到non-dimensionalising因素E* /一个介绍了左边的Eq。24确保特征值λ₁,λ₂,无量纲…。相关的注意的是这里,在视图的方程式21,22、特征函数具有零均值的财产

\int_{ω} ϕ_{n} (ξ) d ξ = 0 (n = 1、2, \dots) 。 (25)

不失一般性,我们假设特征值问题的解决方案Eq。24是归一化

\frac{1}{一个} \int_{ω} {[ϕ_{n} (ξ)]}^{2} d ξ = 1 (n = 1、2, \dots) 。 (26)

因此,考虑到关系(19)₂和Eq。23,我们可以代表形式的接触压力

p (x, t) = \bar{p} + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} (t) ϕ_{n} (x), (27)

在哪里 $\bar{p}$ 是由(19)₁和协调功能的集合ϕ_n(x)是唯一地定义的方程式24,26)。

通过设置t= 0,从Eq。27,接下去

p (x, 0) = \bar{p} + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} (0) ϕ_{n} (x), (28)

在哪里p(x,0)解决了积分方程的初始接触,这是获得Eq。14通过设置t= 0,然而,在视图的Eq。26,给出了无穷级数的系数

b_{n} (0) = \frac{1}{一个} \int_{ω} [p (x, 0) - \bar{p}] ϕ_{n} (x) d x 。 (29日)

在下一节中,我们考虑的发展功能b_n(t),满足初始条件(29)。相应的方程获得的仅仅是替代扩张(Eq。23)Eq。20和利用Eq。24。

6接触压力向准稳态的进化

针对Eq。24该系列解决方案Eq。23满足Eq。20,当且仅当

b_{n} (t) + \frac{E^{*} κ}{λ_{n} 一个 Γ (α)} \int_{0}^{t} \frac{b_{n} (τ)}{{(t - τ)}^{1 - α}} d τ = b_{n} (0) 。 (30.)

方程30被归为阿贝尔积分方程的第二种(见,例如,(Gorenflo曼拉德,1997;Gorenflo et al ., 2014)),其解决方案b_n(t)的形式给出

b_{n} (t) = b_{n} (0) E_{α} (- \frac{E^{*} κ}{λ_{n} 一个} t^{α}) (31日)

单个参数的米塔格-莱弗勒秩序的函数α,定义为

E_{α} (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{Γ (α k + 1)}, (32)

Γ(x)是γ函数。

也方便考虑米塔格-莱弗勒类型函数

e_{α} (x) = E_{α} (- x^{α}), (33)

这α∈(0,1)是已知的(曼拉德,2020)完全单调正半轴。函数的变化e_α(x不同的参数值α∈(1、2)所示图4。

图4

图4。米塔格-莱弗勒函数类型。

此外,我们引入一个磨损过程的特征时间

τ_{在} = {(\frac{一个}{E^{*} κ})}^{1 / α} 。 (34)

所以,在视图的方程式33,34,Eq。31可以表示成

b_{n} (t) = b_{n} (0) e_{α} (\frac{t}{λ_{n}^{1 / α} τ_{在}}) (35)

因此,使用方程式27,35,我们发现

p (x, t) = \bar{p} + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} (0) e_{α} (\frac{t}{λ_{n}^{1 / α} τ_{在}}) ϕ_{n} (x) 。 (36)

接触压力的演化特征p(x,t时间变量)t趋于无穷时,我们考虑下面的渐近公式e_α(x),α∈(0,2),α≠1,以足够大的参数值(曼拉德,2020):

e_{α} (x) \sim \frac{罪 (α π)}{π} \frac{Γ (α)}{x^{α}}, x \to \infty 。 (37)

因此,在视图的方程式36,37,接触压力的方法均匀分布 $\bar{p}$ 在大的时间。强调的是,这个结论对这两种情况下是有效的α∈(0,1)α∈(1、2)。最后,我们注意到什么时候α= 1,E_α(−x^α)= exp (−x),因此我们恢复穿接触问题(已知的解决方案Komogortsev 1985;Argatov Fadin, 2011),的方法p(x,t) $\bar{p}$ 正在快速成倍增长。

备注2。应该注意的是,渐近Eq。37反映了米塔格-莱弗勒衰减行为的功能E_α(x负实轴上)x→−∞。这个公式可以用于分析接触压力的渐近(Eq。36),提供所有特征值λ_n是积极的。证明这是事实,我们考虑弹性能量, $E_{0}$ ,产生的表面负载问(x,0),鉴于方程式23,26,可以评估如下:

\begin{align} 2 E_{0} & = \int_{ω} 问 (x, 0) \int_{ω} K (x, ξ) 问 (ξ, 0) d ξ d x \\ = \sum_{米 = 1}^{\infty} b_{米} (0) \int_{ω} ϕ_{n} (x) \{\frac{E^{*}}{一个} \sum_{n = 1}^{\infty} λ_{n} b_{n} (0) ϕ_{n} (x) + c o n 年代 t\} d x \\ = \frac{E^{*} 一个}{一个} \sum_{n = 1}^{\infty} λ_{n} {[b_{n} (0)]}^{2} 。 \end{align} (38)

因此,由于弹性能量 $E_{0}$ 系数是正对任何重要的设置b_n(0)n= 1,2,…,Eq。38由此可见,λ_n> 0,n= 1,2,…。

7振荡性质的接触压力变化Super-archard穿

方程37提供的信息限制接触压力的进化p(x,t时间变量)t趋向于无穷。在磨损时间的演变p(x,t)强烈依赖于米塔格-莱弗勒类型函数的变化e_α(x),其行为完全单调的变化α∈(0,1)衰减振荡α∈(见(1、2)图4)。

说明在磨损时间的接触压力变化,我们认为二维的例子一个弹性层和耐磨硬度计压头接触,建立固定联系间隔x∈(−一个,一个)的一个相对较小的半宽度,一个相比,层厚度。相应的磨损接触问题的Archard类型穿方程研究了Aleksandrov et al。(1978)评估形式,利用伽辽金方法。我们参考的论文Argatov和Fadin (2011)为更多的细节。

图5显示了相对接触压力的实时变化 $p (x, t) / \bar{p}$ 中心的接触区,x例sub-Archard = 0, (α= 0.812)和super-Archard (α= 1.595)。很明显,这两个曲线从同一点t= 0(因为相同的初始条件)和单位价值的水平线t→∞(因为同样的准稳态)。他们之间一个显著的不同之处发生在持续的磨损时间几倍的时间特征τ_在,super-Archard曲线显示了显著的衰减振荡行为。

图5

图5。接触压力的实时联系的中心地带。

在接触几何考虑的例子中,这是被几乎持平(小初始接触表面之间的差距),初始接触压力显示了强烈的接触应力集中在周边地区(见曲线τ= 0图6,7)。这就是为什么,在最初的一段时间,磨损率 $D_{t}^{α} w (x, t)$ 将更高的接触线附近,由于接触几何适应,外围地区的接触压力的进化可能是non-monotonic甚至sub-Archard磨损情况(看到了吗图8)。然而,从两种图5,8,接触压力的振荡型进化的特征super-Archard只穿。

图6

图6。Space-variation接触压力的不同值的相对时间变量τ=t/τ_在在sub-Archard磨损情况。

图7

图7。Space-variation接触压力的不同值的相对时间变量τ=t/τ_在在super-Archard磨损情况。

图8

图8。实时变化的接触压力在某种程度上远离中心。

空间的离散时间过程中显示了接触压力的变化图6,7分别在sub-Archard, super-Archard磨损的情况下。观察到的大幅减少接触应力集中发生在最初的时间间隔的时间可比的特点τ_在。的比较图6,7,可以得出结论,super-Archard磨损的磨损时间持续更长的时间比在sub-Archard穿。

8进化的概要文件

由于磨损过程,接触几何逐渐变化,而接触压力方法应用负载均匀分布的接触面积。最初的接触几何函数Δ特点是最初的差距₀(x),这是Δ定心的条件₀(0)= 0。目前的差距函数,Δ(x,t),定义如下(Argatov。我和柴y年代,2020):

Δ (x, t) = \int_{ω} [K (0, ξ) - K (x, ξ)] p (ξ, t) d ξ 。 (39)

当接触压力密度p(x,t)是由本征函数展开法的形式Eq。36,针对方程式18,24,我们将

\begin{align} \int_{ω} K (x, ξ) p (ξ, t) d ξ & = \bar{p} K_{1} (x) + \frac{一个}{E^{*}} \sum_{n = 1}^{\infty} λ_{n} b_{n} (t) ϕ_{n} (x) \\ + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{b_{n} (t)}{一个} \int_{ω} K_{1} (ξ) ϕ_{n} (ξ) d ξ, \end{align} (40)

我们使用了零均值属性(情商。)的形式ϕ_n(x),n= 1,2,…,表面影响函数的对称性K(x,ξ)=K(ξ,x)。

自b_n(t)→0t→∞,函数定义的限制差距只有第一项的右边Eq。40,因此,我们获得

Δ_{\infty} (x) = \bar{p} [K_{1} (0) - K_{1} (x)] 。 (41)

所以,从方程式39- - - - - -41,接下去

Δ (x, t) = Δ_{\infty} (x) + \frac{一个}{E^{*}} \sum_{n = 1}^{\infty} λ_{n} b_{n} (t) [ϕ_{n} (0) - ϕ_{n} (x)] 。 (42)

相对间隙的演化函数所示图9,10。这是感兴趣的观察穿概要Δnon-monotonic进展(x,t)对限制Δ形状_∞(x)对于super-Archard穿。

图9

图9。Space-variation的差距相对时间变量的函数,不同的值τ=t/τ_在在sub-Archard磨损情况。

图10

图10。Space-variation的差距相对时间变量的函数,不同的值τ=t/τ_在在super-Archard磨损情况。

图11介绍了进化的磨损深度w(0,t),它对应于接触压力的发展中心的接触区域所示图5。要注意的是,在视图的Eq。34,穿方程变换

w (x, t) = \frac{一个}{E^{*} Γ (α)} \int_{0}^{t / τ_{在}} {(\frac{t}{τ_{在}} - \bar{τ})}^{α - 1} p (x, \bar{τ}) d \bar{τ},

在哪里 $\bar{τ}$ 是一个无量纲集成时变。上述公式中使用的规范化解释道图11- - - - - -13。

图11

图11。实时变化的磨损深度接触的中心地带。

解释的演变相对间隙函数所示图9,10将简化的如果我们考虑针形状的演变所描述的功能D(x,t)=Δ₀(x)+w(x,t)(见数字12,13)。感兴趣的观察,对于super-Archard穿,穿的演化剖面也发现轻微振荡(见图10,13),它可以预测的基础上Eq。39函数,它定义了当前的差距,振荡接触压力的进化。应该强调,尽管穿概要文件进展non-monotonically随着时间的推移,这并不意味着本地(在空间意义上)可能存在增长,因为部分磨损Eq。9预测一个积极的磨损深度w(x,t任何积极的接触压力)的历史p(x,τ),τ∈(0,t)。

图12

图12。销在不同形状的相对时间变量的值τ=t/τ_在在sub-Archard磨损情况。虚线对应限制概要文件。

图13

图13。销在不同形状的相对时间变量的值τ=t/τ_在在super-Archard磨损情况。虚线对应限制概要文件。

在sub-Archard穿的情况下,当0 <α< 1,磨损过程的持续时间,当平均值的接触压力的方法 $\bar{p}$ 在整个接触面积成正比,特征参数的时间τ_在,介绍了Eq。34。对于super-Archard穿,因为它是图14磨损时间的持续时间,T_在强烈的价值取决于α∈(1、2),因为如果它增加,衰减振荡的振幅增加。

图14

图14。实时变化的接触压力中心的接触区不同的参数值α从0.1到0.9,0.1的增量。

9讨论和结论

首先,我们注意到二维接触的例子已经用于演示目的。一个更现实的信息特征值λ_n,这取决于全球几何可穿戴的销,可以通过有限元模拟获得(刘et al ., 2014)。

我们想强调,中给出的数值结果图5- - - - - -13得到基于模型的精确解二维穿接触问题的弹性层(Aleksandrov et al ., 1978),可控误差由特征值的近似评估决定λ_n。在现实pin-on-disk实验的分析,应用有限元数值方法是必需的(刘et al ., 2014)。然而,接触压力变化观察到的振动特性图5是由解决方案的属性(见图4)的阿贝尔积分Eq。30,这将保持不变的三维接触问题。更准确地说,接触几何影响特征值问题Eq。24,这取决于surface-influence函数(见Eq。21),而进化Eq。30完全由部分采用对穿(FTD)模型。这意味着虽然有限元模拟不能为模型验证,时空变化的接触几何和接触压力,如果观察实验,将支持了FDT穿方程。同时,尽管验证实验研究超出了这个理论工作的范围,上面的简单分析模型提出了肯定会帮助计划这样的实验。

的基础上,提出了分析,它变得明显,临时穿的进化过程,这是由部分对模型(10),是由米塔格-莱弗勒的属性类型的功能e_α(x),这反过来又强烈依赖于指数的值α。特别是,对α∈(1、2),0的数量,n (α),的函数e_α(x),x∈(0,∞),这决定了振荡,成倍地增加α接近2(见图15)。

图15

图15。实0米塔格-莱弗勒类型的函数e_α(x基于提出的数值结果Hanneken et al。(2007)。

观察到FTD穿Eq。9是线性的和恒定负载条件下(Eq。13)这意味着下面的关系接触载荷和磨损体积(见Eq。12):

V = k P t^{α} 。 (43)

在这里,k=κ/αΓ(α)是一个常系数。这是再次强调这一点Eq。43Rhee是完全同意吗情商。在这种特殊的情况下(γ= 1)的形式

V = K_{w} P v^{β} t^{α} 。 (44)

因此,通过比较方程式43,44,我们可以写下来k=K_wv^β,因此,我们获得κ=αΓ(α)K_wv^β。换句话说,滑动速度不变的条件下,磨损系数κ在FTD穿Eq。9可能被认为是参数化依赖于滑动速度v。硬相对应的表面粗糙度的影响(磁盘),以及一个可穿戴的固体(pin)幻灯片,是融入的价值系数κ。

是实际利益的仔细看看幂律的质量近似的实验数据在固定负载下的体积磨损损失(Viswanath和波纹管,1995),它在图1。特别是,它是有益的考虑所示的绝对误差的变化图16,在看到super-Archard穿的(α> 1),实验数据表现出明显偏离幂律曲线。这一事实意味着部分磨损率 $D_{t}^{α} w (x, t)$ 可能非线性依赖接触压力。通过这种方式,我们可以概括Eq。9作为

D_{t}^{α} w (x, t) = κ {[p (x, t)]}^{γ} (45)

通过引入一个额外的拟合常数γ。

图16

图16。幂律预测和实验数据之间的差异(Viswanath和波纹管,1995)所示图1(同样的传奇也适用)。

相应地,在光的Eq。45,情商。可以归纳如下:

w (x, t) = \frac{κ}{Γ (α)} \int_{0}^{t} \frac{{[p (x, τ)]}^{γ}}{{(t - τ)}^{1 - α}} d τ 。 (46)

由于非线性穿Eq。46,体积磨损损失V(t)将不再是预测的幂律Eq。15。事实上,通过整合Eq。46,我们到达方程

V (t) = \frac{κ}{Γ (α)} \int_{0}^{t} \frac{d τ}{{(t - τ)}^{1 - α}} \int_{ω} {[p (x, τ)]}^{γ} d x, (47)

在接触域内积分恒定负载下将不再是常数,但会在磨损过程中振荡。

需要注意的是非线性部分的磨损方程式45- - - - - -47介绍了的精神Archard-Kragelsky模型线性磨损率(Kragelsky 1965),因此,他们可以应用的假设下恒速相对滑动的接触界面的磨损系数κ在非线性依赖于滑动速度。

应该强调,虽然二维的简单示例戴隐形问题已经使用在上面的分析中,主要发现的衰减振荡的性质的准稳态方法将适用于相应的三维接触配置,因为这个功能是植根于部分时间磨损过程的描述。

观察(Soldatenkov 2010)穿情商。仅仅是一个更一般的类型的特殊情况

w (x, t) = \int_{0}^{t} K_{1} (τ) K_{2} (t - τ) p (x, τ) d τ, (48)

在哪里K₁(t),K₂(t)是已知的功能。特别是,Eq。48与K₁(t)≡1和K₂(t)= (κ/Γ(α))t^α−1只是恰逢情商。。另一方面,它是观察到感兴趣的Eq。48与K₁(t)= (κ/Γ(α))t^α−1和K₂(t≡1的常数加载也会导致Eq。11。此外,它可以显示Eq。9与 $D_{t}^{α}$ 被解释为订单的分形阶导数α也与李承晚的一致情商。,γ= 1,作为基础介绍部分磨损Eq。9。

因此,有可能推广Rhee穿的不同方式情商。不恒定的情况下(时空)接触压力的变化,有相同的幂律的时间行为的稳定状态。尽管目前的研究没有提供物理动机部分磨损模型(9),可以验证上述假设和影响制定实验并不是很困难。另外,另一项研究需要确定关键磨损方程之间的相同点与不同点在前款规定的讨论。

系统分析的物理影响聚合物的磨损过程的变量(Viswanath和波纹管,1995)显示一个密集的温度效应,因此值得评论的热弹性框架(Yevtushenko Pyryev, 1999)应该申请建模接触变形,一旦温度超过某一阈值。

最后,介绍了部分对磨损率来描述的幂律time-growth体积磨损损失在恒定加载条件下,磨损测试中遇到的聚合物。新引入分数对磨损方程允许延长实验观察依赖变量的情况下接触压力。sub-Archard和super-Archard穿著名的基于时间的价值指数α∈(0,2)描述减少(α< 1,“轻度”穿)或增加(α> 1,“严重”穿)意味着磨损率的变化。

惊人的含义发达戴隐形模型是预测接触压力衰减振荡行为的时间在磨损时间的变化,当它接近均匀分布在接触面积。本文的主要理论找到支持幂律的分析近似的体积磨损损失在不断应用负载的情况下获得的。发达分数对时间的方法可以应用于其他temporary-spatial伤害流程建模,维持一个幂律增长常数加载条件下的累积损伤。

数据可用性声明

最初的贡献提出了研究中都包含在本文/辅料,可以针对相应的作者进一步询问。

作者的贡献

作者证实了这项工作的唯一贡献者和已批准出版。

的利益冲突

作者说,这项研究是在没有进行任何商业或金融关系可能被视为一个潜在的利益冲突。

审稿人电子战宣布与第四作者共享关系处理编辑的审查。

出版商的注意

本文表达的所有索赔仅代表作者,不一定代表的附属组织,或那些出版商编辑和评论员。任何产品,可以评估在这篇文章中,或声称,可能是由其制造商,不保证或认可的出版商。

确认

金融支持重庆市巴渝学者项目的(中国)。作者要感谢博士德米特里一支(TU维恩)有用的讨论。同时,作者表达了他的感谢裁判的洞察力和建设性的评论。我们承认支持由德国研究基金会和开放获取出版基金你柏林。

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收到:2022年3月26日;接受:08年4月2022;
发表:2022年4月27日。

编辑:

于田,清华大学,中国

审核:

Willert伊曼纽尔德国,柏林技术大学
德国米Borodich英国卡迪夫大学

*通信:伊凡Argatov,ivan.argatov@campus.tu-berlin.de

原始研究的文章

严重磨损的部分对模型:假设和影响

1介绍

第二部分对磨损方程

3戴隐形问题公式化

4统一接触压力作为一个准稳定的状态

5 Non-Dimensionalization和分离变量

6接触压力向准稳态的进化

7振荡性质的接触压力变化Super-archard穿

8进化的概要文件

9讨论和结论

数据可用性声明

作者的贡献

的利益冲突

出版商的注意

确认

引用

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