雷竞技rebat前沿|超图与edge-dependent顶点权重:利用谱聚类</t我tle> <link href="https://209cd62b0febf2a55d40-715eb384bc6027b876e93ad33d5c5ec3.ssl.cf3.rackcdn.com/font-awesome-4.3.0/css/font-awesome.min.css" rel="stylesheet"> <link href="https://9d0dd7a648345f19af83-877d2ecaf11b88d5e17327c758e17ef6.ssl.cf2.rackcdn.com/museo-sans-1.0.1/css/museo-sans.css" rel="stylesheet"> <style type="text/css"> .journal-big-data { background: #fff url('https://3718aeafc638f96f5bd6-d4a9ca15fc46ba40e71f94dec0aad28c.ssl.cf1.rackcdn.com/journal-big-data.png') no-repeat center 51px; } .journal-big-data { background: #fff url('https://3718aeafc638f96f5bd6-d4a9ca15fc46ba40e71f94dec0aad28c.ssl.cf1.rackcdn.com/journal-big-data.png') no-repeat center 51px; } @media only screen and (max-width: 1409px) { .journal-big-data { background: #fff url('https://3718aeafc638f96f5bd6-d4a9ca15fc46ba40e71f94dec0aad28c.ssl.cf1.rackcdn.com/journal-big-data.png') no-repeat center 51px; } } @media only screen and (max-width: 1250px) { 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sidemenu-collapsed" id="main-content"> <div id="article" class="boxed white no-padding"> <div class="container-fluid main-container-xxl"> <div class="row" id="similar-articles"> <div class="new-wrapper"> <style> .disabled-supplementary-btn { cursor: not-allowed; pointer-events: none; opacity: .65; filter: alpha(opacity=65); -webkit-box-shadow: none; box-shadow: none; } </style> <aside class="right-container"> <div class="side-article-download clearfix"> <ul class="list-unstyled list-inline clearfix"> <li class="dropdown text-center paper"><button data-target="#" class="dropdown-toggle" data-test-id="download-button" data-toggle="dropdown" role="button" aria-expanded="false"><span class="icon-label" data-event="download-button-click">下载文章</gydF4y2Baspan></button> <div class="dropdown-menu-wrapper"> <div class="dropdown-menu-mobile-title"> 下载文章</gydF4y2Badiv> <ul class="dropdown-menu" role="menu"> <li><a class="download-files-pdf action-link" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/pdf" data-test-id="article-downloadpdf" data-event="downloadpdf-button-click" id="download_article">下载</一个></li> <li><a class="download-files-readcube" href="http://www.readcube.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173" data-test-id="article-viewenhancedpdf" data-event="downloadreadcube-button-click" id="download_article">ReadCube</一个></li> <li><a class="download-files-epub" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/epub" data-test-id="article-epub" data-event="downloadepub-button-click" id="download_article">EPUB</一个></li> <li><a class="download-files-nlm" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/xml/nlm" data-test-id="article-nlm" data-event="downloadnlm-button-click" id="download_article">XML (NLM)</一个></li> <li><a data-test-id="supplementary-button" class="supplemental-data-disabled" data-event="supplementary-button-click" id="supplementary_view">补充<bgydF4y2Bar>材料</一个></li> </ul> <button class="dropdown-menu-mobile-close-button" aria-label="Close" data-toggle="dropdown"></button> </div></li> <li><button class="btn btn-open-supplemental" data-event="supplementary-button-click" id="supplementary_view">补充数据</but来n></li> <li class="dropdown"></li> <li class="dropdown"><button type="button" class="navbar-toggle navbar-citations" data-event="citation-button-click" data-toggle="dropdown" data-target="#" aria-expanded="false"></button> <div class="dropdown-menu-wrapper"> <div class="dropdown-menu-mobile-title"> 出口的引用</gydF4y2Badiv> <ul class="dropdown-menu" role="menu"> <li><a data-test-id="article-endnote" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/endNote" data-event="endnotedownload-button-click">尾注</一个></li> <li><a data-test-id="article-referencemanager" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/reference" data-event="referencemanagerdownload-button-click">引用管理器</一个></li> <li><a data-test-id="article-simpletextfile" 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id="citations-count"></span><span class="title-views">引用</gydF4y2Baspan></li> </ul> <div class="infoPopover" id="infoPopover" style="display:none"> <div role="button" class="infoPopover__trigger"></div> <div class="infoPopover__content"> <p>2023年5月,边界采用计雷竞技rebat数器5兼容的一个新的报告平台,符合行业标准。</p><一个href="https://blog.frontiersin.org/2023/05/16/open-access-publisher-frontiers-moves-to-a-new-article-metric-platform-counter/" target="_blank">阅读更多</一个><div role="button" class="infoPopover__close"></div> </div> </div> </div> <div class="articleImpact" id="article-impact"> <span class="borderLine"></span> <a class="articleImpact--url" data-test-id="view-article-impact" data-event="impact-button-click" href="http://loop-impact.frontiersin.org/impact/article/1020173" target="_blank">查看文章的影响</一个></div> </div> <div class="side-article-impact"> <ul class="nav"> <li class="altmetric-wrapper"> <div class="altmetric-embed" data-badge-type="donut" data-event="altmetric-button-click" data-badge-popover="bottom" data-doi="10.3389/fdata.2023.1020173" data-condensed="true" data-link-target="new"></div><a class="altmetricScore_url" href="https://www.altmetric.com/details/doi/10.3389/fdata.2023.1020173" target="_blank">视图altmetric得分</一个></li> </ul> </div> </div> <aside id="anchors" class="pull-left table-of-contents side-article"> <div class="side-people hidden-sm hidden-xs"> <section class="side-article-editors"> <header> <h5 class="like-h4">编辑</h5></he一个der> <a class="authors" href="https://loop.frontiersin.org/people/1675979/overview" target="_blank"><img alt="" class="pr5 pull-left" onerror="this.src = '/Areas/Articles/Images/Frontiers/Common/Profile/default-loop-profile.jpg'" src="https://loop.frontiersin.org/images/profile/1675979/24"><h6 class="author-link-aside">李潘</h6></一个><div class="clearfix"></div> <p><span class="notes">美国普渡大学</gydF4y2Baspan></p> <header> <h5 class="like-h4">看过的</h5></he一个der> <a class="authors" href="https://loop.frontiersin.org/people/1968982/overview" target="_blank"><img alt="" class="pr5 pull-left" onerror="this.src = '/Areas/Articles/Images/Frontiers/Common/Profile/default-loop-profile.jpg'" src="https://loop.frontiersin.org/images/profile/1968982/24"><h6 class="author-link-aside">弗朗西斯科·Tudisco</h6></一个><div class="clearfix"></div> <p><span class="notes">意大利格兰萨索科学研究所</gydF4y2Baspan></p> <a class="authors" href="https://loop.frontiersin.org/people/1974669/overview" target="_blank"><img alt="" class="pr5 pull-left" onerror="this.src = '/Areas/Articles/Images/Frontiers/Common/Profile/default-loop-profile.jpg'" src="https://loop.frontiersin.org/images/profile/1974669/24"><h6 class="author-link-aside">Uthsav Chitra</h6></一个><div class="clearfix"></div> <p><span class="notes">美国普林斯顿大学</gydF4y2Baspan></p> </section> </div> <nav> <header> <h5 class="like-h4" style="padding-top: 14px; padding-left: 6px; margin-bottom: 6px;">表的内容</h5></he一个der> <ul class="nav nav-list list-unstyled contents" data-event="toc-link-click"> <li> <ul class="flyoutJournal"> <li><a href="#h1">文摘</一个></li> <li><a href="#h2">1。介绍</一个></li> <li><a href="#h3">2。预赛</一个></li> <li><a href="#h4">3所示。EDVW-based子模块超图</一个></li> <li><a href="#h5">4所示。基于1-Laplacian谱聚类</一个></li> <li><a href="#h6">5。实验</一个></li> <li><a href="#h7">6。相关工作</一个></li> <li><a href="#h8">7所示。结论</一个></li> <li><a href="#h9">数据可用性声明</一个></li> <li><a href="#h10">作者的贡献</一个></li> <li><a href="#h11">资金</一个></li> <li><a href="#h12">的利益冲突</一个></li> <li><a href="#h13">出版商的注意</一个></li> <li><a href="#h14">补充材料</一个></li> <li><a href="#h15">脚注</一个></li> <li><a href="#h16">引用</一个></li> </ul></li> </ul> </nav> </aside> <div class="clearfix"></div> <div class="side-article-download side-export clearfix"> <ul class="list-unstyled list-inline clearfix"> <li><button class="btn btn-open-supplemental" data-event="supplementary-button-click" id="supplementary_view">开放补充数据</but来n></li> <li class="dropdown text-center citation"><button data-target="#" data-test-id="citation-button" data-toggle="dropdown" role="button" aria-expanded="false"><span class="icon-label" data-event="citation-button-click">出口的引用</gydF4y2Baspan></button> <ul class="dropdown-menu" role="menu"> <li><a data-test-id="article-endnote" id="export_citation" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/endNote" data-event="endnotedownload-button-click">尾注</一个></li> <li><a data-test-id="article-referencemanager" id="export_citation" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/reference" data-event="referencemanagerdownload-button-click">引用管理器</一个></li> <li><a data-test-id="article-simpletextfile" id="export_citation" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/text" data-event="simpletextfiledownload-button-click">简单的文本文件</一个></li> <li><a data-test-id="article-bibtex" id="export_citation" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/bibTex" data-event="bibtexdownload-button-click">助理</一个></li> </ul></li> </ul> </div> <div class="side-crossmark"> <a data-target="crossmark" class="crossmark"> <figure> <img id="crossmark-icon" style="border: 0; width:64px; height:64px;" src="https://crossmark-cdn.crossref.org/widget/v2.0/logos/CROSSMARK_BW_square_no_text.svg" title="" alt=""> </figure> <div id="crossmark-icon"> 检查更新</gydF4y2Badiv></a> </div> <article class="widget-listing people-also-looked-at side-article-related hidden"> <h5 class="like-h4" data-event="peoplelookedat-link-click">人也看了</h5></一个rticle> </aside> <main class=""> <div class="article-section"> <div class="article-container" data-html="True"> <div class="abstract-container"> <div class="article-header-container">   <div class="header-bar-one"> <h2>原始研究的文章</h2></gydF4y2Badiv> <div class="header-bar-three-container"> <div class="header-bar-three"> 前面。大数据,2023年2月21日<bgydF4y2Bar>秒,机器学习和人工智能<bgydF4y2Bar> <span class="volumeInfo">卷6 - 2023 |</gydF4y2Baspan> <a href="https://doi.org/10.3389/fdata.2023.1020173">https://doi.org/10.3389/fdata.2023.1020173</一个></div> </div> </div> <div class="JournalAbstract"> <a id="h1" name="h1"></a> <h1>超图与edge-dependent顶点权值:<我>p</gydF4y2Ba我>- - - - - -l一个placians和谱聚类</h1><gydF4y2Badiv class="authors"> <a href="//www.thespel.com/people/u/1777282" class="user-id-1777282"><img class="pr5" src="https://loop.frontiersin.org/images/profile/1777282/24" onerror="this.src='https://f96a1a95aaa960e01625-a34624e694c43cdf8b40aa048a644ca4.ssl.cf2.rackcdn.com/Design/Images/newprofile_default_profileimage_new.jpg'">朱昱</一个><sup>*</gydF4y2Basup> <a href="//www.thespel.com/people/u/2204866" class="user-id-2204866"><img class="pr5" src="https://loop.frontiersin.org/images/profile/2204866/24" onerror="this.src='https://f96a1a95aaa960e01625-a34624e694c43cdf8b40aa048a644ca4.ssl.cf2.rackcdn.com/Design/Images/newprofile_default_profileimage_new.jpg'">圣地亚哥中央大学</一个></div> <ul class="notes"> <li class="pl0">电子与计算机工程系,莱斯大学,休斯顿,美国TX</gydF4y2Bali> </ul> <p>我们学习<我>p</gydF4y2Ba我>- - - - - -l一个placians和谱聚类最近提议超图模型,其中包括edge-dependent顶点权重(EDVW)。这些权重可以反映不同顶点hyperedge内的重要性,从而赋予超图模型更高的表现性和灵活性。通过构造子模块EDVW-based分裂功能,我们将与EDVW超图转换成子模块超图的谱理论是更好的发展。通过这种方式,现有的概念和定理等<我>p</gydF4y2Ba我>- - - - - -l一个placians和cheege子模块下不平等提出了超图设置可以直接扩展到与EDVW超图。为子模块与EDVW-based超图分割功能,我们提出一个有效的算法来计算特征向量与第二个最小的特征值相关的超图1-Laplacian。然后我们利用这个特征向量集群顶点,实现聚类精度高于传统的基于2-Laplacian谱聚类。更广泛地说,该算法适用于所有子模块图可约的超图。数值实验使用实际数据证明相结合的有效性基于1-Laplacian和EDVW谱聚类。</p><gydF4y2Badiv class="clear"></div> </div> <div class="JournalFullText"> <a id="h2" name="h2"></a> <h2>1。介绍</h2><pcgydF4y2Balass="mb15">谱聚类利用特征值和特征向量图拉普拉斯算子将顶点的图。这是最流行的一种聚类方法由于其通用性,效率,和强大的理论基础。首次采用标准图拉普拉斯算子获得的松口平衡图切割标准(<一个href="#B33">冯Luxburg 2007</一个>)。之后,这些都是广义的<我>p</gydF4y2Ba我>- - - - - -l一个placians,能够提供更好的近似cheege常数(<一个href="#B1">Amghibech 2003</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B6">布勒公司,嗯,2009</一个>)。尤其是第二个最小的特征值1-Laplacian cheege常数和分区相同,达到最优cheege减少可以通过阈值对应的特征向量(<一个href="#B29">Szlam和布莱松,2010年</一个>)。</p><pcgydF4y2Balass="mb15">两两交互图是广泛用于模型,但在许多实际应用实体参与高阶的关系(<一个href="#B4">本森et al ., 2016</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B28">肖布et al ., 2021</一个>)。例如,在共同创作网络中多个作者可能交互在一起写一篇文章(<一个href="#B12">2019年Chitra和拉斐尔</一个>)。在电子商务系统中,多个客户可以联系,如果他们一旦购买相同的产品(<一个href="#B22">李et al ., 2018</一个>)。在文本挖掘中,多个文档是相互关联的,如果他们包含相同的关键字(<一个href="#B15">Hayashi et al ., 2020</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B36">朱et al ., 2021</一个>)。这种多路关系可以通过超图建模,优势的概念是广义的hyperedge可以连接两个以上顶点。</p><pcgydF4y2Balass="mb15">图,只有一种方法减少的优势,因此,一个标量重量足以描述。但在超图,可能存在多种方式hyperedge分裂。因此,一个分裂的函数<我>w</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>介绍了为每个hyperedge吗<我>e</gydF4y2Ba我>在超图,将成本分配给每一个可能的<我>e</gydF4y2Ba我>。对于任何<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mo> ⊆</米o> <mi> e</米我></米一个th>,<gydF4y2Ba米一个th><米sub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>显示分区的点球<我>e</gydF4y2Ba我>成<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>和<米一个th><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o> \</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>。特别是,当<我>w</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>是为每个hyperedge子模块吗<我>e</gydF4y2Ba我>,相应的模型称为子模块的超图的数学性质,使它方便理论分析(<一个href="#B23">李和Milenkovic, 2017年</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#B24">2018年</一个>)。图的谱理论包括一系列的结果<我>p</gydF4y2Ba我>- - - - - -l一个placians、节点域定理和一直cheege不等式推广到子模块超图(<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B35">吉田,2019</一个>)。</p><pcgydF4y2Balass="mb15">hyperedge分割函数的选择有巨大的实际影响超图聚类性能。主要有两种类型的分割函数在现有工作。一个是所谓的孤注一掷的分割函数在一个相同的点球被指控如果hyperedge分裂不管如何它的顶点是分开的(<一个href="#B18">嗯et al ., 2013</一个>)。另一个稍微一般类型是类的基数的分裂功能分割处罚只取决于数量的顶点分裂的放在每一方(<一个href="#B32">草原et al ., 2020</一个>)。</p><pcgydF4y2Balass="mb15">现有的分割功能的局限性是他们平等对待所有的hyperedge中的顶点,同时在实践中这些顶点hyperedge可能有不同程度的贡献。这些信息可以被edge-dependent顶点权重(EDVW):每个顶点<我>v</gydF4y2Ba我>与体重γ相关联<gydF4y2Basub><i>e</我></sub>(<我>v</gydF4y2Ba我>为每个事件hyperedge)<我>e</gydF4y2Ba我>反映的贡献和重要性<我>v</gydF4y2Ba我>来<我>e</gydF4y2Ba我>(<gydF4y2Ba一个href="#B12">2019年Chitra和拉斐尔</一个>)。回到前面提到的例子,EDVW可用于模型位置在合著的一篇文章中,作者由客户购买产品的数量,以及文档中一个词的频率。</p><pcgydF4y2Balass="mb15">光谱理论在超图模型与EDVW比在子模块欠发达超图。现有工作研究超图与EDVW只有关注随机walk-based拉普拉斯算子矩阵(<一个href="#B12">2019年Chitra和拉斐尔</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B15">Hayashi et al ., 2020</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B36">朱et al ., 2021</一个>),从而提高了问题:<我>如何定义非线性</我><我>p</gydF4y2Ba我><我>超图模型,其中包括EDVW -Laplacians吗?</我>我们解决这个问题的基本思想是将与EDVW超图转换为子模块超图<我>p</gydF4y2Ba我>- - - - - -l一个placians和相关定理为子模块开发的超图可以直接利用。基于我们以前的工作(<一个href="#B37">朱et al ., 2022</一个>),模型转换可以通过定义子模块EDVW-based分割函数的形式<米一个th><米sub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <msub> <mrow> <mi> g</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> v</米我><米text></米text> <mo> ∈</米o> <mtext></mtext> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> </munder> <msub> <mrow> <mi> γ</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>在哪里<我>g</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>是一个凹函数和分裂的点球<米一个th><米sub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>只有依靠EDVW的总和在吗<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>。此外,超图分割函数证明是图形可约,这意味着存在一些图共享相同的属性(<一个href="#B38">朱和中央大学,2022</一个>)。</p><pcgydF4y2Balass="mb15">自1-Laplacian提供最逼近cheege常数,接下来的问题是:<我>如何应用</我>1<gydF4y2Ba我>谱聚类到子模块与EDVW-based超图分割功能?</我>为此,我们开发一个算法来计算的第二特征向量1-Laplacian EDVW-based子模块基于逆幂法的超图(IPM)。无向图的IPM最初提出(<一个href="#B16">嗯,布勒公司,2010年版</一个>),然后推广到子模块与基数的超图分割函数(<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>)。成功的一个关键IPM内循环优化问题是一种有效的解决方案。在本文中,我们得到的一个等价定义图还原性基于我们内部问题进一步提出一个有效的解决方案,适用于所有图可约子模块包括那些EDVW超图。建议的解决方案也可以用来解决子模块函数最小化(SFM)问题(<一个href="#B2">巴赫,2013</一个>)当子模块函数可以表示成的凹函数应用于模块化函数。</p><pcgydF4y2Balass="mb15">本文的主要贡献可以概括如下:</p><pgydF4y2Bastyle="margin-top:0em;margin-bottom:0em;margin-left:1.5em;text-indent:-1.5em;text-align:left">(1)我们提出的一个等价定义图还原性的Lovasz减少函数的扩展(见定理1),这是有助于理解图拉普拉斯算子之间的关系和超图拉普拉斯算子。</p><pgydF4y2Bastyle="margin-top:0em;margin-bottom:0em;margin-left:1.5em;text-indent:-1.5em;text-align:left">(2)我们提出了一个算法来计算特征向量的1-Laplacian第二个最小的特征值对所有图可约子模块超图包括那些EDVW-based分裂功能,并使用1-spectral集群的特征向量。</p><pgydF4y2Bastyle="margin-top:0em;margin-bottom:0em;margin-left:1.5em;text-indent:-1.5em;text-align:left">(3)我们验证该算法的有效性,利用EDVW和1-spectral集群<我>通过</我>在真实数据集的数值实验。</p><h3>1。1。论文大纲</h3><pcgydF4y2Balass="mb0">本文的其余部分的结构如下。初步的数学概念和子模块在第二节超图进行了综述。第三节介绍了与EDVW超图模型,展示了如何将它转换成图形可约子模块超图通过构造EDVW-based分裂功能。的部分还提出了两个等价定义图还原性。拟议中的1-spectral聚类算法是在第四节中描述。第五节介绍了实验结果。以不同的方式之间的关系超图拉普拉斯算子的定义,讨论了该算法的应用在SFM在第六节。结束语部分中包括7。</p><h3>1。2。符号</h3><pcgydF4y2Balass="mb0">为一个向量<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>和一组<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>,<米一个th><米sub> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> </msub> </math>表示向量形成的条目<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>被<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>和<米一个th><米style mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> v</米我><米text>∈</米text><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> </munder> <msub> <mrow> <mi> x</米我></米row> <mrow> <mi> v</米我></米row> </msub> </math>。操作员<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> P</米我></米row> </mrow> <mrow> <mi> 一个</米我><米o> ,</米o> <mi> b</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>项目的每一个条目<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>在范围内(<我>一个、b</我>]。在本文我们假设认为是超图连接。</p><一个我d="h3" name="h3"></a> <h2>2。预赛</h2><h3cgydF4y2Balass="pt0">2.1。数学预赛</h3><pcgydF4y2Balass="mb0">对于一个有限集<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>一组函数<米一个th><米我>F</gydF4y2Ba米我><米o> :</米o> <msup> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> </msup> </math>→ℝ叫做子模块<米一个th><米我>F</gydF4y2Ba米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> +</米o> <mi> F</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </msub> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> ≥</米o> <mi> F</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> <mo> ∪</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </msub> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> +</米o> <mi> F</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> <mo> ∩</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </msub> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>对于每一个<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> <mo> ,</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </msub> <mo> ⊆</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>。考虑一组函数<米一个th><米我>F</gydF4y2Ba米我><米o> :</米o> <msup> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> </msup> </math>→ℝ这样<我>F</gydF4y2Ba我>(∅)=0<gydF4y2Ba米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> =</米o> <mrow> <mo> (</米o> <mrow> <mi> N</米我></米row> <mo> ]</米o> </mrow> <mo> =</米o> <mrow> <mo> {</米o> <mrow> <mn> 1</米n> <mo> ,</米o> <mn> 2</米n> <mo> ,</米o> <mo> ⋯</米o> <mspace width="0.3em" class="thinspace"></mspace> <mo> ,</米o> <mi> N</米我></米row> <mo> }</米o> </mrow> </math>,其Lovasz扩展<我>f</gydF4y2Ba我>:ℝ<gygydF4y2BadF4y2Basup><i>N</我></sup>→ℝ定义如下。对于任何<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>∈ℝ<gydF4y2Basup><i>N</我></sup>,无添加条目的顺序<我>x</gydF4y2Ba我><sub><i>我</我><sub>1</gydF4y2Basub></sub>≥<我>x</gydF4y2Ba我><sub><i>我</我><sub>2</gydF4y2Basub></sub>≥⋯≥<我>x</gydF4y2Ba我><sub><i>我</我><sub><i>N</我></sub></sub>,(<我>我</我><sub>1</gydF4y2Basub>,<我>我</我><sub>2</gydF4y2Basub>⋯,<我>我</我><sub><i>N</我></sub>)是一个排列(1、2⋯,<我>N</gydF4y2Ba我>),并设置</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M1"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> f</米我><米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> x</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <msubsup> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="true"> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> j</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> N</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> </msubsup> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> F</米我><米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> j</米我></米row> </msub> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> x</米我></米row> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 我</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> j</米我></米row> </msub> </mrow> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> x</米我></米row> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 我</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> j</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> +</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> +</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> F</米我><米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> x</米我></米row> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 我</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> N</米我></米row> </msub> </mrow> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb0">在哪里<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mi> j</米我></米row> </msub> <mo> =</米o> <mrow> <mo> {</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi> 我</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> <mo> ,</米o> <mo> ⋯</米o> <mspace width="0.3em" class="thinspace"></mspace> <mo> ,</米o> <msub> <mrow> <mi> 我</米我></米row> <mrow> <mi> j</米我></米row> </msub> </mrow> <mo> }</米o> </mrow> </math>1≤<我>j</gydF4y2Ba我><<gydF4y2Ba我>N</gydF4y2Ba我>。一组函数<我>F</gydF4y2Ba我>是子模块当且仅当其Lovasz扩展<我>f</gydF4y2Ba我>凸(<一个href="#B26">Lovasz 1983</一个>)。对于任何<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mo> ⊆</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>,<米一个th><米我>F</gydF4y2Ba米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <mi> f</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mn> 1</米n> </mstyle> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> </msub> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>在哪里<米一个th><米sub> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mn> 1</米n> </mstyle> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> </msub> </math>是指标向量的<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>。如果<米一个th><米我>F</gydF4y2Ba米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <mn> 0</米n> </math>,<我>f</gydF4y2Ba我>(<gydF4y2Ba我>一个</我><strong>x</gydF4y2Bastrong>+<我>b</gydF4y2Ba我><strong>1</gydF4y2Bastrong>)=<我>房颤</我>(<gygydF4y2BadF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>)对于任何<我>一个</我>∈ℝ<gygydF4y2BadF4y2Basub>≥0</gydF4y2Basub>,<我>b</gydF4y2Ba我>∈ℝ。更多的属性可以在子模块功能<一个href="#SM1">附录A</一个>。</p><h3>2。2。子模块超图</h3><pcgydF4y2Balass="mb15">让<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> <mo> =</米o> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> ,</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> <mo> ,</米o> <mi> μ</米我><米o> ,</米o> <mrow> <mo> {</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> </mrow> <mo> }</米o> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>表示子模块超图(<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>),<gydF4y2Ba米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> =</米o> <mrow> <mo> (</米o> <mrow> <mi> N</米我></米row> <mo> ]</米o> </mrow> </math>顶点集和吗<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </math>hyperedges的集合。这个函数<米一个th><米我>μ</gydF4y2Ba米我><米o> :</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> →</米o> <msub> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <mo> +</米o> </mrow> </msub> </math>积极的权重分配顶点。每个hyperedge<米一个th><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </math>与子模块分割函数<米一个th><米sub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mo> :</米o> <msup> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msup> <mo> →</米o> <msub> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <mo> ≥</米o> <mn> 0</米n> </mrow> </msub> </math>分配非负惩罚每一个可能的分裂<我>e</gydF4y2Ba我>。此外,<我>w</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>需要满足<我>w</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(∅)= 0,是对称的,所以<米一个th><米sub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <msub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> e</米我><米o> \</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>对于任何<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mo> ⊆</米o> <mi> e</米我></米一个th>。的领域<我>w</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>从2可以扩展吗<gydF4y2Basup><i>e</我></sup>来<米一个th><米sup> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> </msup> </math>通过设置<米一个th><米sub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <msub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mo> ∩</米o> <mi> e</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>对于任何<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mo> ⊆</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>,保证submodularity维护。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">削减是一个顶点集的分区<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>分成两个不相交的,非空用子集<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>和它的补充<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> \</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>。减少的重量被定义为分裂的总和与每个hyperedge(相关处罚<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B32">草原et al ., 2020</一个>),也就是说,</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M2"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> 减少</米text></米style> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> H</米我></米row> </mrow> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="true"> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米text米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米text><米row> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> E</米我></米row> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> w</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 。</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">规范化cheege削减(NCC)被定义为</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M3"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> NCC</米text></米style> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> 减少</米text></米style> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> H</米我></米row> </mrow> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米o> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> {</米o> <mrow> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> 卷</米text></米style> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> 卷</米text></米style> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> \</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> }</米o> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 3</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">在哪里<米一个th><米text>卷</米text><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> v</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> </munder> <mi> μ</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>表示的体积<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>。双向cheege常数定义为最低NCC所有非空的子集<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>除了本身,也就是说,</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M4"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> h</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mstyle displaystyle="true"> <munder class="msub"> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∅</米我><米text米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> ⊂</米text><米row> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> <mtext mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ⊂</米text><米row> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> </mrow> </munder> </mstyle> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> NCC</米text></米style> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 。</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 4</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">(4)的解决方案提供了一个最优分区,我们得到两个集群平衡联系松散的体积和捕捉到一个小降低体重。在本文中,我们采用最小化NCC作为我们的目标。存在其他集群等措施比例减少,规范化,比cheege削减,这是密切相关的(<一个href="#B33">冯Luxburg 2007</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B6">布勒公司,嗯,2009</一个>)。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">最优解(4)已被证明是np难图(<一个href="#B34">瓦格纳和瓦格纳,1993年</一个>),更不用说超图。在光谱图论,cheege不等式推导绑定和使用图近似cheege常数<我>p</gydF4y2Ba我>-Laplacians (<gydF4y2Ba一个href="#B1">Amghibech 2003</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B6">布勒公司,嗯,2009</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B29">Szlam和布莱松,2010年</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B10">张,2016</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B11">Chang et al ., 2017</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B30">Tudisco,嗯,2018</一个>)。结果被广义子模块超图(<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B35">吉田,2019</一个>)。的<我>p</gydF4y2Ba我>拉普拉斯算子的△<gydF4y2Basub><i>p</我></sub>子模块的超图的定义是经营者,<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>∈ℝ<gydF4y2Basup><i>N</我></sup>,诱发</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M5"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 〈</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> x</米text></米style> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> △</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> p</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> x</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 〉</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="true"> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米text米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米text><米row> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> E</米我></米row> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ϑ</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> f</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <msup> <mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> x</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> p</米我></米row> </msup> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ≜</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 问</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> p</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> x</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 5</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb0">在哪里<米一个th><米sub> <mrow> <mi> ϑ</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo class="qopname"> 马克斯</米o> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mo> ⊆</米o> <mi> e</米我></米row> </munder> <msub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>和<我>f</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>是归一化分割的Lovasz扩展函数<米一个th><米subsup> <mrow> <mi> ϑ</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> <mrow> <mo> - - - - - -</米o> <mn> 1</米n> </mrow> </msubsup> <msub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> </math>。请注意,△<gydF4y2Basub><i>p</我></sub>可以选择的次微分的定义<我>f</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>),而我们把定义(5)因为它更有助于我们的发展。特别是,当<我>p</gydF4y2Ba我>= 1,<gydF4y2Ba我>问</我><sub>1</gydF4y2Basub>(<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>)是Lovasz减少函数的扩展中定义的(2)。事实证明,第二个最小的特征值1-Laplacian cheege常数相同<我>h</gydF4y2Ba我><sub>2</gydF4y2Basub>(<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>)。</p><一个我d="h4" name="h4"></a> <h2>3所示。EDVW-based子模块超图</h2><h3cgydF4y2Balass="pt0">3.1。与EDVW超图模型</h3><pcgydF4y2Balass="mb15">让<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> <mo> =</米o> <mrow> <mo stretchy="true"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> ,</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> <mo> ,</米o> <mi> μ</米我><米o> ,</米o> <mi> κ</米我><米o> ,</米o> <mrow> <mo> {</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi> γ</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> </mrow> <mo> }</米o> </mrow> </mrow> <mo stretchy="true"> )</米o> </mrow> </math>表示与EDVW超图(<一个href="#B12">2019年Chitra和拉斐尔</一个>),<gydF4y2Ba米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>,<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </math>,μ分别表示顶点集,hyperedge集,和积极的顶点权重。这个函数<米一个th><米我>κ</gydF4y2Ba米我><米o> :</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> <mo> →</米o> <msub> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <mo> +</米o> </mrow> </msub> </math>hyperedges分配积极的权重,权重可以反映连接的强度。每个hyperedge<米一个th><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </math>与一个函数<米一个th><米sub> <mrow> <mi> γ</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mo> :</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> →</米o> <msub> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <mo> ≥</米o> <mn> 0</米n> </mrow> </msub> </math>分配edge-dependent顶点权重。为<我>v</gydF4y2Ba我>∈<gydF4y2Ba我>e</gydF4y2Ba我>,γ<gygydF4y2BadF4y2Basub><i>e</我></sub>(<我>v</gydF4y2Ba我>)是积极的顶点的重要性和措施<我>v</gydF4y2Ba我>到hyperedge<我>e</gydF4y2Ba我>;为<我>v</gydF4y2Ba我>∉<gydF4y2Ba我>e</gydF4y2Ba我>,<gydF4y2Ba我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>v</gydF4y2Ba我>)被设置为零。为了方便起见,我们定义<米一个th><米sub> <mrow> <mi> γ</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> v</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> </munder> <msub> <mrow> <mi> γ</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">引入EDVW的动机是使超图模型来描述情况下的顶点在同一个hyperedge hyperedge贡献不同。这些信息不能被超图采用“全有或全无”或基数的分裂功能,也很难直接描述子模块超图,但它可以方便地表示<我>通过</我>EDVW。例如,<一个href="#B12">Chitra和拉斐尔(2019)</一个>研究的应用排名在学术论文引文网络,作者和作者分别建模为顶点和hyperedges。为一篇论文<我>e</gydF4y2Ba我>和任何作者<我>v</gydF4y2Ba我>论文的,相应的EDVW<我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>v</gydF4y2Ba我>)被设置为2<我>v</gydF4y2Ba我>是第一个或最后一个作者,否则重量设置为1。</p><h3>3。2。建立子模块从EDVW超图</h3><pcgydF4y2Balass="mb15">为了有效地处理EDVW同时还利用现有结果的子模块超图,我们认为与EDVW超图的转换<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> <mo> =</米o> <mrow> <mo stretchy="true"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> ,</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> <mo> ,</米o> <mi> μ</米我><米o> ,</米o> <mi> κ</米我><米o> ,</米o> <mrow> <mo> {</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi> γ</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> </mrow> <mo> }</米o> </mrow> </mrow> <mo stretchy="true"> )</米o> </mrow> </math>子模块的超图<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> <mo> =</米o> <mrow> <mo stretchy="true"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> ,</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> <mo> ,</米o> <mi> μ</米我><米o> ,</米o> <mrow> <mo> {</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> </mrow> <mo> }</米o> </mrow> </mrow> <mo stretchy="true"> )</米o> </mrow> </math>。基本思想是保持<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>,<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </math>μ不变,构造子模块分割函数{<我>w</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>从EDVW {}<我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>}和κhyperedge权重。这种转变之后,我们可以直接延长等概念<我>p</gydF4y2Ba我>- - - - - -l一个placians为子模块和相关定理提出了超图模型(<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>)EDVW-based超图模型。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">在我们的初步工程(<一个href="#B38">朱和中央大学,2022</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B37">朱et al ., 2022</一个>),我们提出了一类子模块EDVW-based分裂功能在以下形式</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M6"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> w</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> h</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> κ</米我><米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ·</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> γ</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 6</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb0">在哪里<我>h</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>:ℝ<gydF4y2Basub>+</gydF4y2Basub>→ℝ<gydF4y2Basub>+</gydF4y2Basub>是一个任意的函数和<我>g</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>:[0,<我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>e</gydF4y2Ba我>)→ℝ<gygydF4y2BadF4y2Basub>≥0</gydF4y2Basub>是凹的,对称的对吗<我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>e</gydF4y2Ba我>)/2,和满足<我>g</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(0)= 0。由此产生的<我>w</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>是一个有效的分割函数非负,子模块,对称的,和满足<我>w</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(∅)= 0。在实践中,它是合理的选择非衰减函数<我>h</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>如<我>h</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>x</gydF4y2Ba我>)=1,<gydF4y2Ba我>h</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>x</gydF4y2Ba我>)=<gydF4y2Ba我>x</gydF4y2Ba我>从一个更大的hyperedge重量κ(<我>e</gydF4y2Ba我>)预计将导致一个更大的分裂hyperedge点球同样的分裂。可能的选择<我>g</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>包括<我>g</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>x</gydF4y2Ba我>)=<gydF4y2Ba我>x</gydF4y2Ba我>·(<gydF4y2Ba我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>e</gydF4y2Ba我>)−<gydF4y2Ba我>x</gydF4y2Ba我>),<gydF4y2Ba我>g</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>x</gydF4y2Ba我>)=分钟{<我>x</gydF4y2Ba我>,<gydF4y2Ba我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>e</gydF4y2Ba我>)−<gydF4y2Ba我>x</gydF4y2Ba我>},<gydF4y2Ba我>g</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>x</gydF4y2Ba我>)=分钟{<我>x</gydF4y2Ba我>,<gydF4y2Ba我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>e</gydF4y2Ba我>)−<gydF4y2Ba我>x、b</我>},<gydF4y2Ba我>b</gydF4y2Ba我>是一个积极的参数。也注意到琐碎EDVW,即<我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>v</gydF4y2Ba我>)=1<gydF4y2Ba我>v</gydF4y2Ba我>∈<gydF4y2Ba我>e</gydF4y2Ba我>,分裂的功能定义为(6)减少基数的(<一个href="#B32">草原et al ., 2020</一个>)。</p><h3>3。3。Hypergraph-to-graph减少</h3><pcgydF4y2Balass="mb0">子模块超图分割函数定义为(6)有一个理想的属性图可约。换句话说,他们可以项目到一些相同的股票减少属性的图。后<一个href="#B32">草原et al。(2020)</一个>,我们可以考虑减少超图(可能导演)图与一个潜在的增强顶点集。为一个有向图(有向图)<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </math>与顶点集<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </math>和加权邻接矩阵<gydF4y2Bastrong>一个</gydF4y2Bastrong>的条目<我>一个</我><sub><i>紫外线</我></sub>表示的重量直接指向从边缘<我>u</gydF4y2Ba我>来<我>v</gydF4y2Ba我>被定义为,其功能</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M7"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> 减少</米text></米style> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="true"> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> \</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 一个</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 。</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 7</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">在下面,我们国家的正式定义图还原能力的降低权重,这是一个变体hyperedge分裂的定义在函数的声明<一个href="#B32">草原et al。(2020)</一个>。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">定义1。子模块的超图<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> </math>与顶点集<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>,我们说它的切功能<米一个th><米sub> <mrow> <mtext> 减少</米text></米row> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>是简化为一个有向图的切割功能<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </math>与顶点集<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> ∪</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mo> ̄</米o> </mover> </math>在哪里<米一个th><米over accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mo> ̄</米o> </mover> </math>是一组辅助顶点如果以下平等吗</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M8"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> 减少</米text></米style> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> H</米我></米row> </mrow> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mstyle displaystyle="true"> <munder class="msub"> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> T</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ⊆</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ̄</米o> </mover> </mrow> </munder> </mstyle> <msub> <mrow> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> 减少</米text></米style> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∪</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> T</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> </mtext> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∀</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ⊆</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 。</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 8</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">在下面的定理,我们展示的一个等价条件图还原性有关Lovasz削减的延伸功能,这有利于我们以后的发展1-spectral聚类算法。Lovasz扩展图的函数可以写成</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M9"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 问</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="true"> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 一个</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 马克斯</米o> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> {</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> y</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> y</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 0</米n> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> }</米o> </mrow> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 9</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">在哪里<gydF4y2Bastrong>y</gydF4y2Bastrong>是一个向量的长度<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </math>。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">定理1。(8)相当于提出的平等</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M10"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 问</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> x</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mstyle displaystyle="true"> <munder class="msub"> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> x</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ̄</米o> </mover> <mtext mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米text><米sup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ℝ</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 米</米我></米row> </msup> </mrow> </munder> </mstyle> <msubsup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 问</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> </mtext> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∀</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> x</米text></米style> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <msup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ℝ</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> N</米我></米row> </msup> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 10</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">在哪里<我>问</我><sub>1</gydF4y2Basub>(<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>),<米一个th><米subsup> <mrow> <mi> 问</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> g</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>分别定义在(5)和(9),<米一个th><米o> |</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> |</米o> <mo> =</米o> <mi> N</米我></米一个th>,<gydF4y2Ba米一个th><米o> |</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mo> ̄</米o> </mover> <mo> |</米o> <mo> =</米o> <mi> 米</米我></米一个th>,<gydF4y2Bastrong>y</gydF4y2Bastrong>∈ℝ<gydF4y2Basup><i>N</我>+<gydF4y2Ba我>米</我></sup>是由<米一个th><米sub> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </math>和<米一个th><米sub> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mo> ̄</米o> </mover> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mo> ̄</米o> </mover> </math>。</p><pcgydF4y2Balass="mb15">证明。(8)和(10)之间的等价性证明<一个href="#SM1">附录B</一个>。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">所示<一个href="#B32">草原et al。(2020)</一个>所有超图与子模块基数的分裂可还原的功能图。我们以前的工作(<一个href="#B38">朱和中央大学,2022</一个>)广义超图的结论子模块EDVW-based分裂功能。在下一节中,我们提出一个1-spectral聚类算法对所有子模块图可约包括EDVW-based的超图,这是本文的重点。</p><一个我d="h5" name="h5"></a> <h2>4所示。基于1-Laplacian谱聚类</h2><h3cgydF4y2Balass="pt0">4.1。IPM-based 1-spectral集群</h3><pcgydF4y2Balass="mb0">我们研究谱聚类算法EDVW-based子模块超图利用1-Laplacian。正如2.2节中提到的,对于子模块超图cheege常数<我>h</gydF4y2Ba我><sub>2</gydF4y2Basub>等于第二个最小的特征值λ<gydF4y2Basub>2</gydF4y2Basub>的1-Laplacian△<gydF4y2Basub>1</gydF4y2Basub>。相应的优化分为两部分可以通过阈值△的特征向量<gydF4y2Basub>1</gydF4y2Basub>与λ<gydF4y2Basub>2</gydF4y2Basub>(<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>)。这可以通过最小化计算特征向量</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M11"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> R</米我><米n mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mstyle mathvariant="bold" mathsize="normal"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> x</米我></米style> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mfrac> <mrow> <msub> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 问</米我><米n mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mstyle mathvariant="bold" mathsize="normal"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> x</米我></米style> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> c</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ℝ</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> |</米o> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> |</米o> <mstyle mathvariant="bold" mathsize="normal"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> x</米我></米style> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> −</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> c</米我><米style mathvariant="bold" mathsize="normal"> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> |</米o> <msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> |</米o> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> μ</米我></米row> </msub> </mrow> </mfrac> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> </mrow> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 11</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb0">在哪里<米一个th><米o> |</米o> <mo> |</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> <mo> |</米o> <msub> <mrow> <mo> |</米o> </mrow> <mrow> <mn> 1</米n> <mo> ,</米o> <mi> μ</米我></米row> </msub> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> v</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> </munder> <mi> μ</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> |</米o> <msub> <mrow> <mi> x</米我></米row> <mrow> <mi> v</米我></米row> </msub> <mo> |</米o> </math>。考虑到特征向量<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>一个分区可以被定义为<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mo> =</米o> <mrow> <mo> {</米o> <mrow> <mi> v</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> |</米o> <msub> <mrow> <mi> x</米我></米row> <mrow> <mi> v</米我></米row> </msub> <mo> ></米o> <mi> t</米我></米row> <mo> }</米o> </mrow> </math>及其补充,<我>t</gydF4y2Ba我>是一个阈值。最优<我>t</gydF4y2Ba我>可以被确定为一个最小化的NCC的管道(3)。1-spectral聚类算法总结了吗<一个href="#T1">算法1</一个>。</p><gydF4y2Badiv class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 算法1</gydF4y2Badiv> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_m/fdata-06-1020173-t001.jpg" name="algorithm1" target="_blank"><img id="T1" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.orggydF4y2Ba" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_m/fdata-06-1020173-t001.jpg"></a> <p><b>算法1</b>gydF4y2Ba。1-spectral集群与EDVW超图。</p></gydF4y2Badiv> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <p class="mt15 w100pc float_left">的最小化<我>R</gydF4y2Ba我><sub>1</gydF4y2Basub>(<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>)可以解决基于逆幂法(<一个href="#B16">嗯,布勒公司,2010年版</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>),如中概述<一个href="#T2">算法2</一个>。介绍了三个函数:<米一个th><米sub> <mrow> <mi> μ</米我></米row> <mrow> <mo> +</米o> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> v</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> :</米o> <msub> <mrow> <mi> x</米我></米row> <mrow> <mi> v</米我></米row> </msub> <mo> ></米o> <mn> 0</米n> </mrow> </munder> <mi> μ</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>,<米一个th><米sub> <mrow> <mi> μ</米我></米row> <mrow> <mo> - - - - - -</米o> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> v</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> :</米o> <msub> <mrow> <mi> x</米我></米row> <mrow> <mi> v</米我></米row> </msub> <mo> <</米o> <mn> 0</米n> </mrow> </munder> <mi> μ</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>和<米一个th><米sub> <mrow> <mi> μ</米我></米row> <mrow> <mn> 0</米n> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> v</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> :</米o> <msub> <mrow> <mi> x</米我></米row> <mrow> <mi> v</米我></米row> </msub> <mo> =</米o> <mn> 0</米n> </mrow> </munder> <mi> μ</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>。虽然这种算法不能保证收敛到第二特征向量的目标<我>R</gydF4y2Ba我><sub>1</gydF4y2Basub>(<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>)是保证减少和迭代过程的收敛。此外,如果我们从某一时刻开始<米一个th><米style mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> <mo> =</米o> <msub> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mn> 1</米n> </mstyle> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> </msub> </math>在<一个href="#T2">算法2</一个>在哪里<米一个th><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mo> ,</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> \</米o> <mtext></mtext> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>是一个给定的分区的<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>IPM-based方法的每一步,然后给了一个分区,有一个小(或至少等于)NCC价值(见定理4.2<一个href="#B17">嗯,Setzer设计,2011年</一个>)。这意味着我们可以利用分区<我>通过</我>其他方法初始化。无向图的算法是首次提出设置(<一个href="#B16">嗯,布勒公司,2010年版</一个>),然后推广到子模块与基数的超图分割函数(<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>)。它实际上是一个更一般的类的一个特例的最小化算法叫做RatioDCA和广义RatioDCA提议<一个href="#B17">嗯,Setzer设计(2011)</一个>和<一个href="#B31">Tudisco et al。(2018)</一个>为了处理削减更多类型的平衡图和模块性措施,分别。图设置和超图之间的主要区别在于如何设置内循环优化问题(参看第5行<一个href="#T2">算法2</一个>)是解决。</p><gydF4y2Badiv class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 算法2</gydF4y2Badiv> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_m/fdata-06-1020173-t002.jpg" name="algorithm2" target="_blank"><img id="T2" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.orggydF4y2Ba" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_m/fdata-06-1020173-t002.jpg"></a> <p><b>算法2</b>gydF4y2Ba。IPM-based最小化<我>R</gydF4y2Ba我><sub>1</gydF4y2Basub>(<b>x</b>)(<gygygydF4y2BadF4y2BadF4y2Ba一个style="color:grey;" href="#B16">嗯,布勒公司,2010年版</一个>;<gydF4y2Ba一个style="color:grey;" href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>)。</p></gydF4y2Badiv> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <p class="mb0 w100pc float_left mt15">在<一个href="#B24">李和Milenkovic (2018)</一个>作者解决内部问题,使用一个随机坐标下降法(<一个href="#B13">烯和阮,2015</一个>)一起分治算法提出了<一个href="#B19">Jegelka et al。(2013)</一个>。分治算法的计算复杂度取决于解决问题的时间<米一个th><米under class="msub"> <mrow> <mo class="qopname"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mtext> ⊆</米text><米我>e</米我></米row> </munder> <mi> F</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> ≜</米o> <msub> <mrow> <mi> w</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> +</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> z</米text></米style> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>对任意一个向量<gydF4y2Bastrong>z</gydF4y2Bastrong>∈ℝ<gydF4y2Basup>|<我>e</gydF4y2Ba我>|</gygydF4y2BadF4y2Basup>。为一个基数的分裂功能,可以有效地解决这个问题<我>通过</我>即使|一行搜索<我>e</gydF4y2Ba我>|很大。线搜索,我们创建一系列集<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mn> 0</米n> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mi> ∅</米我><米o> ,</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> <mo> ,</米o> <mo> ⋯</米o> <mspace width="0.3em" class="thinspace"></mspace> <mo> ,</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mo> |</米o> <mi> e</米我><米o> |</米o> </mrow> </msub> </math>,在那里<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我></米row> </msub> </math>包含<我>我</我>第一个顶点对应<我>我</我>最小项向量<gydF4y2Bastrong>z</gydF4y2Bastrong>。我们比较他们的目标价值<米一个th><米我>F</gydF4y2Ba米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <mi> 我</米我></米row> </msub> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>并确定解决方案<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mi> 我</米我></米row> <mrow> <mo> *</米o> </mrow> </msup> </mrow> </msub> </math>导致最小的客观价值。然而,这样的解决方案不适合EDVW-based分裂功能。在下一节中,我们考虑EDVW-based案例研究内在的问题。</p><h3>4。2。解决内部问题</h3><pcgydF4y2Balass="mb15">我们提出有效解决内部问题EDVW-based子模块超图利用属性图可约。更一般来说,该解决方案适用于所有图可约子模块超图。我们第一次表明,内部问题相当于另一个优化问题(12)上定义有向图<我>通过</我>减少。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">定理2。对于任何子模块超图<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> </math>与顶点集<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>,如果是简化为一个有向图<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </math>与顶点集<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> ∪</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mo> ̄</米o> </mover> </math>和边集<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </math>,即,(8)或(10)holds, then the solution<strong>x</gydF4y2Bastrong>的内部问题<一个href="#T2">算法2</一个>可以获得(一个标量)通过设置<米一个th><米style mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> <mo> =</米o> <msub> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> </msub> </math>和<米一个th><米style mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> <mo> ∈</米o> <msup> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <mo> |</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> |</米o> </mrow> </msup> </math>的解决方案是</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M12"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mstyle displaystyle="true"> <munder class="msub"> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> </mrow> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ≤</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> </munder> </mstyle> <msubsup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 问</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 〈</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> y</米我></米style> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米style> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ~</米o> </mover> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 〉</米o> </mrow> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 12</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">在哪里<米一个th><米over accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi> g</米我></米style> </mrow> <mo> ~</米o> </mover> <mo> ∈</米o> <msup> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <mo> |</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> |</米o> </mrow> </msup> </math>是一个向量组成的吗<米一个th><米sub> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi> g</米我></米style> </mrow> <mo> ~</米o> </mover> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mtext> λ</米text><米style mathvariant="bold-italic"> <mi> g</米我></米style> </math>和<米一个th><米sub> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi> g</米我></米style> </mrow> <mo> ~</米o> </mover> </mrow> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mo> ̄</米o> </mover> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mn> 0</米n> </mstyle> </math>。</p><pcgydF4y2Balass="mb15">证明。可以找到证据<一个href="#SM1">附录C</一个>,我们使用的等价定义图还原能力提出了<gydF4y2Bastrong>定理1</gydF4y2Bastrong>。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">我们提出两种方法来解决问题(12)在部分4.2.1和4.2.2准备,分别。</p><h4>4。2。1。准备解决内部问题<我>通过</我>FISTA</h4><pcgydF4y2Balass="mb0">最初的内部问题及其等价的问题(12)凸但不平滑。灵感来自于<一个href="#B16">恩和布勒公司(2010</一个>),我们得出一个双重配方(12)(13)的问题。相比于原始问题,目标函数Ψ对偶问题的光滑。此外,问题(13)可以有效地解决使用快速迭代shrinkage-thresholding算法(FISTA) (<一个href="#B27">Nesterov 1983</一个>;<gydF4y2Ba一个href="#B3">贝克和Teboulle, 2009年</一个>),保证收敛速度<我>O</gydF4y2Ba我>(1/<gydF4y2Ba我>k</gydF4y2Ba我><sup>2</gydF4y2Basup>),<我>k</gydF4y2Ba我>是迭代的数量。FISTA需要一个上限的李普希茨常数的梯度Ψ作为输入,(15)中提供。FISTA的步骤进行了总结<一个href="#T3">算法3</一个>。</p><gydF4y2Badiv class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 算法3</gydF4y2Badiv> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_m/fdata-06-1020173-t003.jpg" name="algorithm3" target="_blank"><img id="T3" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.orggydF4y2Ba" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_m/fdata-06-1020173-t003.jpg"></a> <p><b>算法3</b>gydF4y2Ba。(13)FISTA解决问题。</p></gydF4y2Badiv> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <p class="mb15 w100pc float_left mt15">说清楚,下面的定理<米一个th><米sub> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> <mo> ~</米o> </mover> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </math>(以及定向边集<米一个th><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </math>)包含<我>命令</我>节点对,也就是说,(<我>u,v</gydF4y2Ba我>)和(<我>uv,</gydF4y2Ba我>)是不同的。的参数<我>米</我>可以被理解为对连接节点的数量的连接可能是单向或者双向的。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">定理3。定义一组<米一个th><米sub> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> <mo> ~</米o> </mover> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mrow> <mo> {</米o> <mrow> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> u</米我><米o> ,</米o> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> ∈</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> ×</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> |</米o> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> u</米我><米o> ,</米o> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> ∈</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mstyle class="text"> <mtext class="textrm" mathvariant="normal"> 或</米text></米style> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我><米o> ,</米o> <mi> u</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> ∈</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </mrow> <mo> }</米o> </mrow> </math>并设置<米一个th><米我>米</米我><米o> =</米o> <mo> |</米o> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> <mo> ~</米o> </mover> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> |</米o> <mo> /</米o> <mn> 2</米n> </math>。(12)的双重问题</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M13"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mstyle displaystyle="true"> <munder class="msub"> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mtable style="text-align:axis;" equalrows="false" columnlines="none none none none none none none none none" equalcolumns="false" class="array"> <mtr> <mtd> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> α</米我></米style> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <msup> <mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> (</米o> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 0</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ]</米o> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 米</米我></米row> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> α</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> +</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> α</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </munder> </mstyle> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> Ψ</米text></米style> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> α</米我></米style> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ≜</米o> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> f</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 一个</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> α</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米style> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ~</米o> </mover> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <msubsup> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> </mrow> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 13</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">在哪里<gydF4y2Bastrong>α</gydF4y2Bastrong>是一个向量的长度<我>米</我>收集所有<gydF4y2Bastrong>α</gydF4y2Bastrong><sub><i>紫外线</我></sub>令人满意的<米一个th><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> u</米我><米o> ,</米o> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> ∈</米o> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> <mo> ~</米o> </mover> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </math>和<我>u</gydF4y2Ba我><<gydF4y2Ba我>v</gydF4y2Ba我>。函数的<米一个th><米sub> <mrow> <mi> f</米我></米row> <mrow> <mi> 一个</米我></米row> </msub> <mo> :</米o> <msup> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <mi> 米</米我></米row> </msup> <mo> →</米o> <msup> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <mi> N</米我><米o> +</米o> <mi> 米</米我></米row> </msup> </math>,<我>u</gydF4y2Ba我>th元素<我>f</gydF4y2Ba我><sub><i>一个</我></sub>(<gydF4y2Bastrong>α</gydF4y2Bastrong>)是</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M14"> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> f</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 一个</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> α</米我></米style> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ]</米o> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="true"> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <msub> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> E</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ~</米o> </mover> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 一个</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> α</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 一个</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我></米row> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> α</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 。</米o> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">原始和双变量相关</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M15"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> f</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 一个</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> α</米我></米style> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米style> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ~</米o> </mover> </mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> |</米o> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> |</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> f</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 一个</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> α</米我></米style> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米style> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ~</米o> </mover> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> |</米o> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> |</米o> </mrow> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 。</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 14</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">的梯度的李普希茨常数Ψ上有界</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M16"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> l</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 4</米n> <mstyle displaystyle="true"> <munder class="msub"> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 马克斯</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米text米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米text><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </mrow> </munder> </mstyle> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="true"> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米text米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米text><米sub> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 一个</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> +</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 一个</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我></米row> </msub> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </msup> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 。</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 15</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">证明。给出证明<一个href="#SM1">附录D</一个>。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">简而言之,解决内部问题,我们首先计算有向图的邻接矩阵按照图还原过程提出了<一个href="#B38">朱和中央大学(2022)</一个>。然后我们解决使用FISTA对偶问题(13),并得到解决<gydF4y2Bastrong>y</gydF4y2Bastrong>原始问题(12)根据原始和双变量之间的关系(14)所示。最后,我们获得的解决方案<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>原问题的条目<gydF4y2Bastrong>y</gydF4y2Bastrong>被<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>。</p><h4>4。2。2。解决内部问题<我>通过</我>PDHG</h4><pcgydF4y2Balass="mb15">问题(12)也可以解决使用非混合梯度(PDHG)算法(<一个href="#B7">Chambolle和痘痕,2011</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#B8">2016年,一个</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#B9">b</一个>)。尽管FISTA和PDHG确保二次收敛速度,它在实践中已经观察到PDHG可以胜过FISTA为集群应用程序(<一个href="#B17">嗯,Setzer设计,2011年</一个>)。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">PDHG能够解决问题在以下形式:</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M17"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mstyle displaystyle="true"> <munder class="msub"> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <msup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ℝ</米我></米row> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> N</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </munder> </mstyle> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> f</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> +</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> f</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> B</米text></米style> </mstyle> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 16</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">其对偶问题</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M18"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mstyle displaystyle="true"> <munder class="msub"> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 马克斯</米o> </mrow> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> z</米text></米style> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <msup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ℝ</米我></米row> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> N</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </munder> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <msubsup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> f</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> *</米o> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <msup> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> B</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ⊤</米o> </mrow> </msup> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> z</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <msubsup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> f</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> *</米o> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> z</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 17</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">在哪里<米一个th><米sub> <mrow> <mi> f</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> <mo> :</米o> <msup> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <msub> <mrow> <mi> N</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo> →</米o> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mo> - - - - - -</米o> <mi> ∞</米我><米o> ,</米o> <mo> +</米o> <mi> ∞</米我></米row> <mo> ]</米o> </mrow> </math>和<米一个th><米sub> <mrow> <mi> f</米我></米row> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </msub> <mo> :</米o> <msup> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <msub> <mrow> <mi> N</米我></米row> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo> →</米o> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mo> - - - - - -</米o> <mi> ∞</米我><米o> ,</米o> <mo> +</米o> <mi> ∞</米我></米row> <mo> ]</米o> </mrow> </math>下半连续函数是正确的、凸,<米一个th><米style mathvariant="bold"> <mtext> B</米text></米style> <mo> :</米o> <msup> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <msub> <mrow> <mi> N</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo> →</米o> <msup> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <msub> <mrow> <mi> N</米我></米row> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </math>是一个有界的线性算子,<米一个th><米subsup> <mrow> <mi> f</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> <mrow> <mo> *</米o> </mrow> </msubsup> </math>和<米一个th><米subsup> <mrow> <mi> f</米我></米row> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> <mrow> <mo> *</米o> </mrow> </msubsup> </math>相应的共轭函数吗<我>f</gydF4y2Ba我><sub>1</gydF4y2Basub>和<我>f</gydF4y2Ba我><sub>2</gydF4y2Basub>(<一个href="#B5">博伊德,2004</一个>)。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">解决问题(12)<我>通过</我>下面的正常化解决问题(18)。</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M19"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mstyle displaystyle="true"> <munder class="msub"> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <msup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ℝ</米我></米row> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> </mrow> </msup> </mrow> </munder> </mstyle> <msubsup> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 问</米我></米row> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> +</米o> <mfrac> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 1</米n> </mrow> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </mfrac> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> y</米text></米style> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米style> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ~</米o> </mover> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> <msubsup> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> |</米o> </mrow> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </msubsup> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 。</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 18</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb0">我们可以配合(18)到(16)通过设置形式<米一个th><米sub> <mrow> <mi> N</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mo> |</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> |</米o> </math>,<米一个th><米sub> <mrow> <mi> N</米我></米row> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mo> |</米o> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> |</米o> </math>,<米一个th><米sub> <mrow> <mi> f</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <mfrac> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </mfrac> <mo> |</米o> <mo> |</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> <mo> - - - - - -</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold-italic"> <mi> g</米我></米style> </mrow> <mo> ~</米o> </mover> <mo> |</米o> <msubsup> <mrow> <mo> |</米o> </mrow> 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mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> |</米o> </math>矩阵。的行<gydF4y2Bastrong>B</gydF4y2Bastrong>对应于边缘<我>u</gydF4y2Ba我>→<gydF4y2Ba我>v</gydF4y2Ba我>,<gydF4y2Ba我>u</gydF4y2Ba我>th和<我>v</gydF4y2Ba我>行分别等于th元素<我>一个</我><sub><i>紫外线</我></sub>和−<我>一个</我><sub><i>紫外线</我></sub>和其他元素为零。我们可以证明<米一个th><米subsup> <mrow> <mi> f</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> <mrow> <mo> *</米o> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <mfrac> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </mfrac> <mo> |</米o> <mo> |</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> <mo> |</米o> <msubsup> <mrow> <mo> |</米o> </mrow> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </msubsup> <mo> +</米o> <mrow> <mo> 〈</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> <mo> ,</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> g</米text></米style> </mrow> <mo> ~</米o> </mover> </mrow> <mo> 〉</米o> </mrow> </math>,<米一个th><米subsup> <mrow> <mi> f</米我></米row> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> <mrow> <mo> *</米o> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> z</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <mn> 0</米n> </math>0≤的域<我>z</gydF4y2Ba我><sub><i>我</我></sub>对任何0≤≤1<我>我</我>≤<gydF4y2Ba我>N</gydF4y2Ba我><sub>2</gydF4y2Basub>。自<我>f</gydF4y2Ba我><sub>1</gydF4y2Basub>1完全凸,我们可以利用加速PDHG算法的变体。该算法针对问题(18)中给出<一个href="#T4">算法4</一个>(参看算法8<一个href="#B8">Chambolle和痘痕,2016</一个>)。</p><gydF4y2Badiv class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 算法4</gydF4y2Badiv> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_m/fdata-06-1020173-t004.jpg" name="algorithm4" target="_blank"><img id="T4" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.orggydF4y2Ba" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_m/fdata-06-1020173-t004.jpg"></a> <p><b>算法4</b>gydF4y2Ba。解决问题与加速PDHG (18)。</p></gydF4y2Badiv> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <h3>4.3。一个特例:减少到一个无向图</h3><pcgydF4y2Balass="mb15">如果子模块超图简化为一个无向图(例如,见定理3.3<一个href="#B38">朱和中央大学,2022</一个>),然后存在另一个双重配方问题(12),类似形式的梯度(13),其目标的小李普希茨常数(参看引理4.3<一个href="#B16">嗯,布勒公司,2010年版</一个>)。事实上,在这种情况下,超图1-spectral集群可以实现<我>通过</我>它的图形。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">后<gydF4y2Bastrong>定理1</gydF4y2Bastrong>进一步,我们定义一个顶点权函数<米一个th><米sub> <mrow> <mi> μ</米我></米row> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </math>的图<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </math>这样<米一个th><米sub> <mrow> <mi> μ</米我></米row> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <mi> μ</米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>为<米一个th><米我>v</gydF4y2Ba米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>和<米一个th><米sub> <mrow> <mi> μ</米我></米row> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <mn> 0</米n> </math>每个辅助顶点<米一个th><米我>v</gydF4y2Ba米我><米o> ∈</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mo> ̄</米o> </mover> </math>。然后从(10),它遵循<米一个th><米sub> <mrow> <mi> R</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo class="qopname"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mo class="qopname"> ̄</米o> </mover> <mo> ∈</米o> <msup> <mrow> <mi> ℝ</米我></米row> <mrow> <mi> 米</米我></米row> </msup> </mrow> </munder> <msubsup> <mrow> <mi> R</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> g</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>对于任何<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>∈ℝ<gydF4y2Basup><i>N</我></sup>在哪里<米一个th><米subsup> <mrow> <mi> R</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> g</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi> 问</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> g</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mrow> <munder class="msub"> <mrow> <mo class="qopname"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mi> c</米我><米o> ∈</米o> <mi> ℝ</米我></米row> </munder> <mo> |</米o> <mo> |</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> <mo> - - - - - -</米o> <mi> c</米我><米style mathvariant="bold"> <mn> 1</米n> </mstyle> <mo> |</米o> <msub> <mrow> <mo> |</米o> </mrow> <mrow> <mn> 1</米n> <mo> ,</米o> <msub> <mrow> <mi> μ</米我></米row> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </math>和<gydF4y2Bastrong>y</gydF4y2Bastrong>是由<米一个th><米sub> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </math>和<米一个th><米sub> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> <mo> ̄</米o> </mover> </mrow> </msub> <mo> =</米o> <mover accent="true"> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mo> ̄</米o> </mover> </math>。尽量减少双方的方程<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>∈ℝ<gydF4y2Basup><i>N</我></sup>导致最小NCC值相同。当<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </math>是无向的,第二个图的特征向量1-Laplacian可以计算通过最小化<米一个th><米subsup> <mrow> <mi> R</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> g</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>然后第二特征向量的超图1-Laplacian可以计算<米一个th><米style mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> <mo> =</米o> <msub> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> y</米text></米style> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </mrow> </msub> </math>。这也可以理解的函数。(8)后,很容易显示图表的cheege常数<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </math>相同的超图吗<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> </math>。这正好与定理3.3英寸(<一个href="#B25">刘et al ., 2021</一个>),这进一步证明了如果<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>是一组在<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </math>导致的最低NCC顶点权函数<米一个th><米sub> <mrow> <mi> μ</米我></米row> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> </math>,然后<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mo> ∩</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>最低NCC设置在吗<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> </math>。</p><一个我d="h6" name="h6"></a> <h2>5。实验</h2><pcgydF4y2Balass="mb0">我们评估拟议的EDVW-based 1-spectral聚类算法性能的子模块超图(称为EDVW-based以后)重点分为两部分的情况。特别是hyperedge分割函数(6),我们选择<我>h</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>x</gydF4y2Ba我>)=<gydF4y2Ba我>x</gydF4y2Ba我>和<我>g</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>x</gydF4y2Ba我>)=分钟{<我>x</gydF4y2Ba我>,<gydF4y2Ba我>γ</gydF4y2Ba我>(<gydF4y2Ba我>e</gydF4y2Ba我>)−<gydF4y2Ba我>x</gydF4y2Ba我>,<gydF4y2Ba我>βγ</gydF4y2Ba我>(<gydF4y2Ba我>e</gydF4y2Ba我>为每个hyperedge)}<米一个th><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </math>,即</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M20"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> w</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> κ</米我><米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ·</米o> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米o> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> {</米o> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> γ</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> γ</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> γ</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> β</米我><米sub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> γ</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> }</米o> </mrow> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 19</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb0">β的可调。请注意,我们重用的符号<gydF4y2Bastrong>α</gydF4y2Bastrong>和<gydF4y2Bastrong>β</gydF4y2Bastrong>在本节中,这不同于和无关<gydF4y2Bastrong>α</gydF4y2Bastrong>和<gydF4y2Bastrong>β</gydF4y2Bastrong>描述FISTA时使用。一个超图分割功能(19)可以减少到一个包含有向图<米一个th><米o> |</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> |</米o> <mo> +</米o> <mn> 2</米n> <mo> |</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> <mo> |</米o> </math>顶点,<米一个th><米o> |</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> <mo> |</米o> <mo> +</米o> <mn> 2</米n> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> e</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> </munder> <mo> |</米o> <mi> e</米我><米o> |</米o> </math>边缘。更准确地说,我们每个hyperedge第一个项目<我>e</gydF4y2Ba我>到一个小图形包含|<我>e</gydF4y2Ba我>|+2点包括两个辅助顶点用<我>e</gydF4y2Ba我>′和<我>e</gydF4y2Ba我>”。对于每一个<我>v</gydF4y2Ba我>∈<gydF4y2Ba我>e</gydF4y2Ba我>,分别有两个定向边缘<我>v</gydF4y2Ba我>来<我>e</gydF4y2Ba我>′和<我>e</gydF4y2Ba我>”<我>v</gydF4y2Ba我>,体重κ(<我>e</gydF4y2Ba我>)<gydF4y2Ba我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>v</gydF4y2Ba我>)。还有一个边缘的重量<我>βκ</gydF4y2Ba我>(<gydF4y2Ba我>e</gydF4y2Ba我>)<gydF4y2Ba我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>e</gydF4y2Ba我>)<gydF4y2Ba我>e</gydF4y2Ba我>′,<gydF4y2Ba我>e</gydF4y2Ba我>”。然后我们将这些小图形hyperedges在一起形成最终的图。</p><h3>5。1。数据集</h3><pcgydF4y2Balass="mb15">我们考虑三个真实数据集的广泛使用。</p><pcgydF4y2Balass="mb15"><i>路透第一卷文集(RCV1):</我>这个数据集是一组手动分类新闻专线的故事(<一个href="#B21">刘易斯et al ., 2004</一个>)。我们认为两类碳和C23。短短几包含少于20字的文档将被忽略。我们选择100个最频繁的词删除停止后的语料库词和词出现在10 >和< 0.2%的文档。然后删除文件包含< 5所选单词,让我们446文件。一个文档(顶点)属于一个词(hyperedge)如果这个词出现在文档。edge-dependent顶点权重作为相应的tf-idf(术语frequency-inverse文档频率)值(<一个href="#B20">Leskovec et al ., 2020</一个>)的α,α是一个可调参数。</p><pcgydF4y2Balass="mb15">20.<我>新闻组</我><sup id="footnotesuper1"><a id="note1a"></a><a class="footnoteanchor" href="#note1">1</一个></sup><i>:</我>这也是一个文本数据集。对于我们的分区情况,我们考虑类别中的文档”矩形。汽车”和“rec.sport.hockey。”We preprocess the dataset following the same procedure as used in RCV1 above. We finally construct a hypergraph of 1, 389 vertices and 100 hyperedges.</p><pclass="mb15"><i>Covtype:</我>这个数据集包含补丁的森林在不同覆盖类型。我们考虑两种封面(标记为4和5)和所有的数值特性。每个数值特性首先量化成20箱的范围,然后映射到hyperedges相等。由此产生的超图12,240点和196 hyperedges。为每个hyperedge(本),计算每个特征值之间的距离在这个本及其值,然后规范化这些距离区间[0,1]。edge-dependent顶点权重计算exp(−α·距离)。此设置下,大edge-dependent顶点权重被分配到顶点的特性值接近典型特性值在相应的垃圾箱。</p><pclass="mb0">后<一个href="#B15">Hayashi et al。(2020)</一个>所有数据集,我们设置了hyperedge重量κ(<我>e</gydF4y2Ba我>EDVW的标准差<我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>v</gydF4y2Ba我>)为所有<米一个th><米我>v</gydF4y2Ba米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> </math>。后<一个href="#B24">李和Milenkovic (2018)</一个>,我们设置顶点体重μ(<我>v</gydF4y2Ba我>子模块中定义的)顶点度超图模型,例如,<米一个th><米我>μ</gydF4y2Ba米我><米row> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> e</米我><米o> ∋</米o> <mi> v</米我></米row> </munder> <msub> <mrow> <mi> ϑ</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> </math>。</p><h3>5。2。基线</h3><pcgydF4y2Balass="mb15">我们比较该方法与三个基本方法。</p><pcgydF4y2Balass="mb15"><i>随机walk-based:</我>这篇论文<一个href="#B15">Hayashi et al。(2020)</一个>定义了一个超图拉普拉斯算子矩阵与EDVW基于随机漫步。我们计算的第二特征向量归一化超图拉普拉斯算子(cf。(6)<一个href="#B15">Hayashi et al ., 2020</一个>然后阈值的分区。</p><pcgydF4y2Balass="mb15"><i>基数:</我>在上面的数据集的描述中,α= 0时,我们得到了琐碎EDVW和分裂功能减少基数的。</p><pcgydF4y2Balass="mb15"><i>孤注一掷的:</我>采用分割函数(19),他们减少孤注一掷的情况下如果β足够小(例如,<米一个th><米我>β</gydF4y2Ba米我><米o> ≤</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo class="qopname"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mi> v</米我><米o> ∈</米o> <mi> e</米我></米row> </munder> <msub> <mrow> <mi> γ</米我></米row> <mrow> <mi> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> v</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>]。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">对于该方法,<一个href="#T2">算法2</一个>我们采用上述随机walk-based方法获得的特征向量作为起点。我们使用PDHG在解决内部问题<一个href="#T4">算法4</一个>。此外,在<一个href="#T4">算法4</一个>我们初始化<米一个th><米我>τ</gydF4y2Ba米我><米o> =</米o> <mi> σ</米我><米o> =</米o> <mfrac> <mrow> <mn> 0</米n> <mo> 。</米o> <mn> 9</米n> </mrow> <mrow> <mo> |</米o> <mo> |</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> B</米text></米style> <mo> |</米o> <msub> <mrow> <mo> |</米o> </mrow> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </math>和<gydF4y2Bastrong>z</gydF4y2Bastrong>=<gydF4y2Bastrong>0</gydF4y2Bastrong>。</p><h3>5。3。结果</h3><pcgydF4y2Balass="mb0">所示的结果<一个href="#F1">图1</一个>。我们当前聚类误差和集群的NCC误差计算错误群集的一部分样品。RCV1数据集(模拟),我们解决β= 0.2观察α的影响(A, B)和修复测试βα= 1 (C, D)。为20新闻组数据集(情况),我们解决β= 0.1 (E, F)和α= 0.8 (G, H)观察α和β的影响,分别。为Covtype数据集(我),我们解决β= 0.2 (I, J)和α= 2 (K, L)。我们可以看到所有的数据集,当edge-dependent顶点权重被忽略(包括α= 0为基数的分裂功能和β孤注一掷的分割函数接近于零),聚类性能严重恶化,确认有必要结合EDVW额外建模的灵活性。它也可以观察到,当选择合适的α和β值(如α= 1.2,β= 0.2,RCV1α= 1.2,β= 0.1 20新闻组和α= 2.4,β= 0.2 Covtype),该方法执行比随机walk-based方法依赖于古典拉普拉斯算子。这强调了使用非线性1-Laplacian谱聚类的价值。总而言之,使用EDVW和1-Laplacian都有利于提高光谱聚类性能。</p><gydF4y2Badiv class="DottedLine"></div> <div class="Imageheaders"> 图1</gydF4y2Badiv> <div class="FigureDesc"> <a href="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_m/fdata-06-1020173-g001.jpg" name="figure1" target="_blank"><img id="F1" alt="www.雷竞技rebatfrontiersin.orggydF4y2Ba" class="lazy" data-src="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_m/fdata-06-1020173-g001.jpg"></a> <p><b>图1</b>gydF4y2Ba。集群性能三个真实数据集显示在对数据描述聚类误差和NCC值的函数参数α或β。RCV1,我们解决β= 0.2<b>(A, B)</b>α=1<b>(C, D)</b>gygygydF4y2BadF4y2BadF4y2Ba。20新闻组,我们解决β= 0.1<b>(E, F)</b>α=0gygydF4y2BadF4y2Ba。8<b>(GH)</b>gygygydF4y2BadF4y2BadF4y2Ba。Covtype,我们解决β= 0.2<b>(I, J)</b>α=2<b>(K, L)</b>gygygydF4y2BadF4y2BadF4y2Ba。一个适当的选择α和β有助于显著减少聚类错误与现有方法相比。性能改进可能受益于使用EDVW和1-Laplacian。</p></gydF4y2Badiv> <div class="clear"></div> <div class="DottedLine"></div> <a id="h7" name="h7"></a> <h2>6。相关工作</h2><pcgydF4y2Balass="mb0">在本节我们将讨论相关工作。我们将展示超图拉普拉斯算子之间的关系<我>通过</我>随机漫步和基于子模块定义分裂功能。我们还将显示所提议的解决方案如何有助于SFM内部问题。</p><h3>6。1。随机walk-based拉普拉斯算子</h3><pcgydF4y2Balass="mb15">我们展开讨论超图拉普拉斯算子之间的关系基于随机漫步EDVW和那些研究考虑子模块EDVW-based分裂功能。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">考虑与EDVW超图模型(参见3.1节),随机漫步将EDVW定义如下(<一个href="#B12">2019年Chitra和拉斐尔</一个>)。从一些顶点<我>u</gydF4y2Ba我>沃克选择hyperedge<我>e</gydF4y2Ba我>包含<我>u</gydF4y2Ba我>的概率成正比κ(<我>e</gydF4y2Ba我>),然后移动到顶点<我>v</gydF4y2Ba我>包含在<我>e</gydF4y2Ba我>的概率成正比<我>γ</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>(<我>v</gydF4y2Ba我>)。在这个过程中,从的概率<我>u</gydF4y2Ba我>来<我>v</gydF4y2Ba我><我>通过</我><我>e</gydF4y2Ba我>是</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M21"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> P</米我><米row> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> →</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> →</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> {</米o> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> κ</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="true"> ∑</米o> <mrow> <msup> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ′</米o> </msup> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∋</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我></米row> </msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> κ</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <msup> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ′</米o> </msup> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ·</米o> <mfrac> <mrow> <msub> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> γ</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米sub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mrow> <msub> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> γ</米我><米我米一个thsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米sub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mfrac> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 0</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> 其他的</米text></米style> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 。</米o> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 20.</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">一个可以定义一个转换矩阵<gydF4y2Bastrong>P</gydF4y2Bastrong>的(<我>u,v</gydF4y2Ba我>)条目表示的转移概率<我>u</gydF4y2Ba我>来<我>v</gydF4y2Ba我>和计算<米一个th><米sub> <mrow> <mi> P</米我></米row> <mrow> <mi> u</米我><米我>v</gydF4y2Ba米我></米row> </msub> <mo> =</米o> <munder class="msub"> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> e</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> E</米我></米row> </mrow> </munder> <msub> <mrow> <mi> P</米我></米row> <mrow> <mi> u</米我><米o> →</米o> <mi> e</米我><米o> →</米o> <mi> v</米我></米row> </msub> </math>。超图连接时,随机漫步收敛于一个独特的平稳分布<gydF4y2Bastrong>π</gydF4y2Bastrong>一切积极占统治地位的左特征向量是哪一个<gydF4y2Bastrong>P</gydF4y2Bastrong>扩展以满足| |<gydF4y2Bastrong>π</gydF4y2Bastrong>| |<gydF4y2Basub>1</gydF4y2Basub>= 1。在<一个href="#B12">Chitra和拉斐尔(2019)</一个>和<一个href="#B15">Hayashi et al。(2020)</一个>,超图拉普拉斯算子的基础上提出了随机漫步和他们实际上是等于组合和归一化图拉普拉斯算子矩阵(即。图2-Laplacians)一个无向图上定义相同的顶点集作为超图,下面的邻接矩阵</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M22"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> 一个</米text></米style> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <mfrac> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> Φ</米我><米style mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> P</米text></米style> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> +</米o> <mstyle mathvariant="bold"> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> P</米text></米style> </mstyle> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> Φ</米我></米style> </mrow> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 21</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb15">在哪里<gydF4y2Bastrong>Φ</gydF4y2Bastrong>是一个对角矩阵的(<我>v,v</gydF4y2Ba我>π)th条目<gydF4y2Basub><i>v</我></sub>。</p><pcgydF4y2Balass="mb0">考虑一个超图<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> </math>子模块分割功能在以下每个hyperedges形式:</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M23"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> w</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> =</米o> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="true"> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> \</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> π</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我></米row> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> P</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> →</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> →</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> </msub> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> +</米o> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> π</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我></米row> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> P</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> v</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> →</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> →</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> u</米我></米row> </msub> </mrow> <mrow> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 2</米n> </mrow> </mfrac> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext> </mtext> </mstyle> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∀</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ⊆</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 。</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 22</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb0">很容易证明<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> </math>简化为图吗<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </math>定义的邻接矩阵(21),因为他们有相同的功能<米一个th><米sub> <mrow> <mtext> 减少</米text></米row> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <msub> <mrow> <mtext> 减少</米text></米row> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <msub> <mrow> <mo> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi> u</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> <mo> ,</米o> <mi> v</米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> V</米我></米row> <mo> \</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </mrow> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi> π</米我></米row> <mrow> <mi> u</米我></米row> </msub> <msub> <mrow> <mi> P</米我></米row> <mrow> <mi> u</米我><米我>v</gydF4y2Ba米我></米row> </msub> <mo> +</米o> <msub> <mrow> <mi> π</米我></米row> <mrow> <mi> v</米我></米row> </msub> <msub> <mrow> <mi> P</米我></米row> <mrow> <mi> v</米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row> </msub> </mrow> <mrow> <mn> 2</米n> </mrow> </mfrac> </math>。请注意,这里没有减少辅助图中顶点了。后<gydF4y2Bastrong>定理1</gydF4y2Bastrong>,我们有<米一个th><米sub> <mrow> <mi> 问</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo> =</米o> <msubsup> <mrow> <mi> 问</米我></米row> <mrow> <mn> 1</米n> </mrow> <mrow> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mi> g</米我></米row> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mstyle mathvariant="bold"> <mtext> x</米text></米style> </mrow> <mo stretchy="false"> )</米o> </mrow> </math>,这意味着超图1-Laplacian<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> H</米我></米row> </math>图1-Laplacian是相同的<米一个th><米row> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> G</米我></米row> </math>如果我们假设他们共享相同的顶点权函数μ。</p><h3>6。2。可分解的子模块函数最小化</h3><pcgydF4y2Balass="mb0">在内部的问题<一个href="#T2">算法2</一个>,如果规范<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>是| |<gydF4y2Bastrong>x</gydF4y2Bastrong>| |<gydF4y2Basub>∞</gydF4y2Basub>,问题是相当于以下SFM问题</p><gydF4y2Badiv class="equationImageholder"> <math id="M24"> <mtable class="eqnarray" columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mstyle displaystyle="true"> <munder class="msub"> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 最小值</米o> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ⊆</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> V</米我></米row> </mrow> </munder> </mstyle> <msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="true"> ∑</米o> </mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我><米o mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ∈</米o> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> E</米我></米row> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> w</米我></米row> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> e</米我></米row> </msub> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> - - - - - -</米o> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> λ</米我><米style mathvariant="bold"> <mi mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> g</米我></米style> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mrow> <mrow> <mi mathsize="10.5pt" mathvariant="-tex-caligraphic" mathcolor="black"> 年代</米我></米row> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> ,</米o> </mtd> <mtd> <mstyle class="text" mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> <mtext></mtext> </mstyle> <mrow> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> (</米o> <mn mathsize="10.5pt" mathcolor="black"> 23</米n> <mo mathsize="10.5pt" mathcolor="black" stretchy="false"> )</米o> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> <div class="clear"></div> </div> <p class="mb0">原始和双变量相关的在哪里<我>x</gydF4y2Ba我><sub><i>v</我></sub>= 1,如果<米一个th><米我>v</gydF4y2Ba米我><米o> ∈</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>和<我>x</gydF4y2Ba我><sub><i>v</我></sub>=−1如果<米一个th><米我>v</gydF4y2Ba米我><米o> ∉</米o> <mrow> <mi mathvariant="-tex-caligraphic"> 年代</米我></米row> </math>(<一个href="#B24">李和Milenkovic, 2018年</一个>)。因此,内部问题的解决方案也可以用来解决问题的形式(23)在每个函数<我>w</gydF4y2Ba我><sub><i>e</我></sub>可以表示成一个凹函数应用于模块化(添加剂)函数(cf。(6)]。</p><一个我d="h8" name="h8"></a> <h2>7所示。结论</h2><pcgydF4y2Balass="mb0">我们提出的一个等价定义图还原能力基础上,我们进一步提出了1-spectral聚类算法的子模块图可约的超图,特别是对于那些EDVW-based分裂功能。通过真实数据集的实验,我们展示的价值将超图1-Laplacian EDVW。未来的研究方向包括:(1)发展为超图计算方法1-Laplacian特征向量可以有效工作的所有子模块分割功能,(2)基于非线性拉普拉斯算子的设计多路分区算法(<一个href="#B6">布勒公司,嗯,2009</一个>),(3)探索的应用<我>p</gydF4y2Ba我>- - - - - -l一个placians为不同的值<我>p</gydF4y2Ba我>(<gydF4y2Ba一个href="#B14">傅et al ., 2022</一个>)。</p><一个我d="h9" name="h9"></a> <h2>数据可用性声明</h2><pcgydF4y2Balass="mb0">最初的贡献提出了研究中都包含在这篇文章/<一个href="#h14">补充材料</一个>,进一步的调查可以针对相应的作者。</p><一个我d="h10" name="h10"></a> <h2>作者的贡献</h2><pcgydF4y2Balass="mb0">YZ发达的方法,进行了实验,写了最初的手稿。党卫军监督这项研究,促成了讨论,编辑了手稿。所有作者阅读和批准最终的手稿。</p><一个我d="h11" name="h11"></a> <h2>资金</h2><pcgydF4y2Balass="mb0">这项工作是支持由NSF奖CCF 2008555。</p><一个我d="h12" name="h12"></a> <h2>的利益冲突</h2><pcgydF4y2Balass="mb0">作者声明,这项研究是在没有进行任何商业或财务关系可能被视为一个潜在的利益冲突。</p><一个我d="h13" name="h13"></a> <h2>出版商的注意</h2><pcgydF4y2Balass="mb0">本文表达的所有索赔仅代表作者,不一定代表的附属组织,或出版商、编辑和审稿人。任何产品,可以评估在这篇文章中,或声称,可能是由其制造商,不保证或认可的出版商。</p><一个我d="h14" name="h14"></a> <h2>补充材料</h2><pcgydF4y2Balass="mb0" id="SM1">本文的补充材料在网上可以找到:<一个href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/full">https://www.雷竞技rebatfrontiersin.org/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/full补充材料</一个></p><一个我d="h15" name="h15"></a> <h2>脚注</h2><gydF4y2Badiv id="footnotetext" class="fulltextdescription"> <p style="margin-top:0em;margin-bottom:0em;margin-left:1em;text-indent:-1em;" id="note1">1。<一个class="footnotetextanchor" href="#note1a" title="^gydF4y2Ba">^</一个><一个style="color:grey;" href="http://qwone.com/~jason/20Newsgroups/">http://qwone.com/杰森/ 20个新闻组</一个></p></div> <a id="h16" name="h16"></a> <h2>引用</h2><gydF4y2Badiv class="References"> <p class="ReferencesCopy1"><a name="B1" id="B1"></a>Amghibech,美国(2003年)。特征值的离散下图表。<我>一个rs梳</我>。67年,283 - 302。</p><pcgydF4y2Balass="ReferencesCopy2"><a href="http://scholar.google.com/scholar_lookup?author=S.+Amghibech+&publication_year=2003&title=Eigenvalues+of+the+discrete+p-laplacian+for+graphs&journal=Ars+Comb&volume=67&pages=283-302" target="_blank">谷歌学术搜索</一个></p></div> <div class="References"> <p class="ReferencesCopy1"><a name="B2" id="B2"></a>巴赫,f (2013)。学习与子模块功能:凸优化的角度来看。<我>发现。趋势马赫。学习</我>。6,145 - 373。doi: 10.1561 / 2200000039</p><pcgydF4y2Balass="ReferencesCopy2"><a href="https://doi.org/10.1561/2200000039" target="_blank">CrossRef全文</一个>|<gydF4y2Ba一个href="http://scholar.google.com/scholar_lookup?author=F.+Bach+&publication_year=2013&title=Learning+with+submodular+functions%3A+a+convex+optimization+perspective&journal=Found.+Trends+Mach.+Learn&volume=6&pages=145-373" target="_blank">谷歌学术搜索</一个></p></div> <div class="References"> <p class="ReferencesCopy1"><a name="B3" id="B3"></a>贝克,一个。,Teboulle, M. 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Higher-order organization of complex networks.<我>科学</我>353年,163 - 166。doi: 10.1126 / science.aad9029</p><pcgydF4y2Balass="ReferencesCopy2"><a href="https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/27387949" target="_blank">《公共医学图书馆摘要》</一个>|<gydF4y2Ba一个href="https://doi.org/10.1126/science.aad9029" target="_blank">CrossRef全文</一个>|<gydF4y2Ba一个href="http://scholar.google.com/scholar_lookup?author=A.+R.+Benson&author=D.+F.+Gleich&author=J.+Leskovec+&publication_year=2016&title=Higher-order+organization+of+complex+networks&journal=Science&volume=353&pages=163-166" target="_blank">谷歌学术搜索</一个></p></div> <div class="References"> <p class="ReferencesCopy1"><a name="B5" id="B5"></a>博伊德。,博伊德。P。,Vandenberghe l . (2004)。<我>凸优化</我>。剑桥:剑桥大学出版社。doi: 10.1017 / CBO9780511804441</p><pcgydF4y2Balass="ReferencesCopy2"><a href="https://doi.org/10.1017/CBO9780511804441" target="_blank">CrossRef全文</一个>|<gydF4y2Ba一个href="http://scholar.google.com/scholar_lookup?author=S.+Boyd&author=S.+P.+Boyd&author=L.+Vandenberghe+&publication_year=2004&title=Convex+Optimization" target="_blank">谷歌学术搜索</一个></p></div> <div class="References"> <p class="ReferencesCopy1"><a name="B6" id="B6"></a>布勒公司T。,嗯,M。(2009)。“基于图下,谱聚类”<我>国际会议上机器学习</我>(加拿大蒙特利尔的),81 - 88。doi: 10.1145/1553374.1553385</p><pcgydF4y2Balass="ReferencesCopy2"><a href="https://doi.org/10.1145/1553374.1553385" target="_blank">CrossRef全文</一个>|<gydF4y2Ba一个href="http://scholar.google.com/scholar_lookup?author=T.+Bühler&author=M.+Hein+&publication_year=2009&title=“Spectral+clustering+based+on+the+graph+p-laplacian,”&journal=International+Conference+on+Machine+Learning&pages=81-88" target="_blank">谷歌学术搜索</一个></p></div> <div class="References"> <p class="ReferencesCopy1"><a name="B7" id="B7"></a>Chambolle,。,Pock, T. 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Hypergraph cuts with edge-dependent vertex weights.<我>达成。Netw。Sci</我>。45。doi: 10.1007 / s41109 - 022 - 00483 - x</p><pcgydF4y2Balass="ReferencesCopy2"><a href="https://doi.org/10.1007/s41109-022-00483-x" target="_blank">CrossRef全文</一个>|<gydF4y2Ba一个href="http://scholar.google.com/scholar_lookup?author=Y.+Zhu&author=S.+Segarra+&publication_year=2022&title=Hypergraph+cuts+with+edge-dependent+vertex+weights&journal=Appl.+Netw.+Sci&volume=7&pages=45" target="_blank">谷歌学术搜索</一个></p></div> </div> <div class="thinLineM20"></div> <div class="AbstractSummary"> <p><span>关键词:</gydF4y2Baspan>子模块超图,<我>p</gydF4y2Ba我>拉普拉斯算子的谱聚类,edge-dependent顶点权重,可分解的子模块函数最小化</p><p><gydF4y2Baspan>引用:</gydF4y2Baspan>朱Y和中央大学年代(2023)超图与edge-dependent顶点权重:<我>p</gydF4y2Ba我>- - - - - -l一个placians和谱聚类。<我>前面。大数据</我>6:1020.173。doi: 10.3389 / fdata.2023.1020173</p><p我d="timestamps"><span>收到:</gydF4y2Baspan>2022年8月15日;<gydF4y2Baspan>接受:</gydF4y2Baspan>2023年2月02;<bgydF4y2Bar><span>发表:</gydF4y2Baspan>2023年2月21日。</p><gydF4y2Badiv> <p>编辑:</p><一个href="https://loop.frontiersin.org/people/1675979/overview">李潘</一个>美国普渡大学</gydF4y2Badiv> <div> <p>审核:</p><一个href="https://loop.frontiersin.org/people/1968982/overview">弗朗西斯科·Tudisco</一个>,意大利格兰萨索科学研究所<bgydF4y2Bar> <a href="https://loop.frontiersin.org/people/1974669/overview">Uthsav Chitra</一个>美国普林斯顿大学</gydF4y2Badiv> <p><span>版权</gydF4y2Baspan>©2023朱和中央大学。这是一个开放分布式根据文章<一个rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" target="_blank">知识共享归属许可(CC)</一个>。使用、分发或复制在其他论坛是允许的,提供了原始作者(年代)和著作权人(s)认为,最初发表在这个期刊引用,按照公认的学术实践。没有使用、分发或复制是不符合这些条件的允许。</p><p><gydF4y2Baspan>*通信:</gydF4y2Baspan>朱昱,<我米gsrc="//www.thespel.com/files/Articles/1020173/fdata-06-1020173-HTML/image_n/fdata-06-1020173-i001.gif" style="float:none;margin:0" alt="是的gydF4y2Ba"><a href="mailto:yz126@rice.edu">yz126@rice.edu</一个></p><div class="clear"></div> </div>   <div class="thin-line-dark"></div> </div> </div> </div> </main> </div> <div class="side-article-subjects only-devices widget-listing people-also-looked-at hidden"> <h5 class="like-h4">人也看了</h5></gydF4y2Badiv> </div> </div> </div> <div id="divTemplates"> <div class="modal fade modal-container impact-modal-container" data-backdrop="static" id="impactModal" tabindex="-1" role="dialog" aria-labelledby="myModalLabel" aria-hidden="true"></div> <div class="modal fade modal-container supplementary-modal-container" data-backdrop="static" data-keyboard="false" id="supplementaryFilesModal" tabindex="-1" role="dialog" aria-labelledby="mySupplementaryModalLabel" aria-hidden="true" style="display: none; padding-right: 17px;"></div> <div class="modal fade modal-container notifyme-modal-container" data-backdrop="static" id="notifyModal" tabindex="-1" role="dialog" aria-labelledby="Notify on publication" aria-hidden="true"></div> </div> </div> <a id="floating-download-pdf-btn" class="floating-button" data-event="downloadfloating-button-click" href="//www.thespel.com/articles/10.3389/fdata.2023.1020173/pdf"><span class="floating-button-text" data-event="downloadfloating-button-click">下载</gydF4y2Baspan></a> <frontiers-footer main-domain="frontiersin.org"></frontiers-footer>   </body> </html>